1、本资料分享自新人教版高中数学资源大全 QQ 群 323031380 期待你的加入与分享 本资料分享自新人教版高中数学资源大全 QQ 群 483122854 期待你的加入与分享 第 4 节复数 知 识 梳 理 1复数的有关概念 内容意义备注 复数的概念 形如 abi(aR，bR)的数叫 复数，其中实部为 a，虚部为 b 若 b0，则 abi 为实数；若 a 0 且 b0，则 abi 为纯虚数 复数相等 abicdiac且bd(a， b， c，dR) 共轭复数 abi 与 cdi 共轭ac 且 b d(a，b，c，dR) 复平面 建立平面直角坐标系来表示复数 的平面叫做复平面，x 轴叫实轴， y
2、轴叫虚轴 实轴上的点都表示实数；除了原 点外， 虚轴上的点都表示纯虚数， 各象限内的点都表示虚数 复数的模 设OZ 对应的复数为 zabi(a， bR)，则向量OZ 的长度叫做复 数 zabi 的模 |z|abi| a2b2 2.复数的几何意义 复数集 C 和复平面内所有的点组成的集合是一一对应的， 复数集 C 与复平面内所 有以原点 O 为起点的向量组成的集合也是一一对应的，即 (1)复数 zabi复平面内的点 Z(a，b)(a，bR) (2)复数 zabi(a，bR)平面向量OZ . 3复数的运算 设 z1abi，z2cdi(a，b，c，dR)，则 加法：z1z2(abi)(cdi)(ac
3、)(bd)i； 减法：z1z2(abi)(cdi)(ac)(bd)i； 乘法：z1z2(abi)(cdi)(acbd)(adbc)i； 本资料分享自新人教版高中数学资源大全 QQ 群 323031380 期待你的加入与分享 本资料分享自新人教版高中数学资源大全 QQ 群 483122854 期待你的加入与分享 除法：z1 z2 abi cdi （abi） （cdi） （cdi） （cdi） acbd（bcad）i c2d2 (cdi0) 1(1i)22i；1i 1ii； 1i 1ii. 2baii(abi) 3i4n1，i4n 1i，i4n21，i4n3i(nN) 4i4ni4n 1i4n2i
4、4n30(nN) 诊 断 自 测 1判断下列说法的正误 (1)复数 zabi(a，bR)中，虚部为 bi.() (2)复数中有相等复数的概念，因此复数可以比较大小() (3)原点是实轴与虚轴的交点() (4)复数的模实质上就是复平面内复数对应的点到原点的距离，也就是复数对应的 向量的模() 答案(1)(2)(3)(4) 解析(1)虚部为 b；(2)虚数不可以比较大小 2 (2020浙江卷)已知 aR， 若 a1(a2)i(i 为虚数单位)是实数， 则 a() A1B1C2D2 答案C 解析由题可知复数的虚部为 a2，若该复数为实数，则 a20，即 a2.故选 C. 3(2020全国卷)若 z1
5、2ii3，则|z|() A0B1C. 2D2 答案C 解析z12ii312ii1i，|z| 1212 2.故选 C. 本资料分享自新人教版高中数学资源大全 QQ 群 323031380 期待你的加入与分享 本资料分享自新人教版高中数学资源大全 QQ 群 483122854 期待你的加入与分享 4(选修 22P112A2 改编)在复平面内，复数 65i，23i 对应的点分别为 A， B.若 C 为线段 AB 的中点，则点 C 对应的复数是() A48iB82iC24iD4i 答案C 解析A(6，5)，B(2，3)，线段 AB 的中点 C(2，4)，则点 C 对应的复数为 z24i. 5(2020
6、江苏卷)已知 i 是虚数单位，则复数 z(1i)(2i)的实部是_ 答案3 解析z(1i)(2i)2i2ii23i，所以复数 z 的实部为 3. 6设 aR，若复数 zai 1i(i 为虚数单位)的实部和虚部相等，则 a_， |z |_ 解析复数ai 1i （ai） （1i） （1i） （1i） a1（1a）i 2 ，由于复数ai 1i(i 为虚数单 位)的实部和虚部相等，则 a11a，解得 a0，则 z1 2 1 2i，z 1 2 1 2i，则|z | 1 2 2 1 2 2 2 2 . 答案0 2 2 考点一复数的有关概念 【例 1】 (1)已知 i 为虚数单位，则 i607的共轭复数为(
7、) AiBiC1D1 (2)(2021诸暨期末)已知 a，b，cR，i 是虚数单位，若1ai bi ci，则() AabBa1 b 本资料分享自新人教版高中数学资源大全 QQ 群 323031380 期待你的加入与分享 本资料分享自新人教版高中数学资源大全 QQ 群 483122854 期待你的加入与分享 CabDa1 b 答案(1)A(2)C 解析(1)因为 i607(i2)303ii，i 的共轭复数为 i. (2)由题意得 1aici(bi)cbci，则 1c， abc， 则 ab，故选 C. 感悟升华(1)复数的分类、复数相等及复数对应点的位置都可以转化为复数的实 部与虚部应该满足的条件
8、问题，只需把复数化为代数形式，列出实部和虚部满足 的方程(不等式)组即可 (2)解题时一定要先看复数是否为 abi(a，bR)的形式，以确定实部和虚部 【训练 1】 (1)(2021温州适考)若复数 z 1 1iai(i 为虚数单位，aR)的实部与 虚部互为相反数，则 a() A2B1C0D1 (2)(2021杭州市质检)设复数 zai 且 z 1i1bi(a，bR，i 为虚数单位)，则 ab_，|z|_ 答案(1)B(2)610 解析依题意，复数 z 1 1iai 1i （1i） （1i）ai 1 2 a1 2 i，其实部与 虚部互为相反数，所以1 2 a1 2 0，解得 a1，故选 B.
9、(2)由 z 1i1bi 得 z(1bi)(1i)1b(1b)i.又因为复数 zai.所以 1ba， 1b1，解得 a3， b2，则 ab6，zai3i，则|z| 3 2（1）2 10. 考点二复数的几何意义 【例 2】(1)在复平面内， 复数 z1i 对应的向量为OP ， 复数 z2对应的向量为OQ ， 本资料分享自新人教版高中数学资源大全 QQ 群 323031380 期待你的加入与分享 本资料分享自新人教版高中数学资源大全 QQ 群 483122854 期待你的加入与分享 那么向量PQ 对应的复数为() A1iB1iC1iD1i (2)若复数(1i)(ai)在复平面内对应的点在第二象限，
10、则实数 a 的取值范围是 () A(，1)B(，1) C(1，)D(1，) 答案(1)D(2)B 解析(1)因为 z22i，而PQ OQ OP ，故向量PQ 对应的复数为2i(1i) 1i，故选 D. (2)(1i)(ai)a1(1a)i 的对应点在第二象限，则 a10，a0 且 a210， 解得 a1. 6(一题多解)(2021嘉兴期末)已知 i 是虚数单位，z(12i)2i，则|z|() A1B2CiD2i 答案A 解析因为 z(12i)2i，所以复数 z 2i 12i （2i） （12i） （12i） （12i）i，所以|z| |i|1，故选 A. 7 (2021温州适考)已知复数(1i
11、)(ai)为纯虚数(i 为虚数单位)， 则实数 a() A1B1C0D2 答案B 解析因为复数z(1i)(ai)a1(a1)i为纯虚数， 故a10且a10， 即 a1，故选 B. 8(2021名校仿真训练二)已知 a，bR，i 是虚数单位，若(1i)(1bi)a，则 |abi|() A. 2B2C. 5D5 答案C 解析(1i)(1bi)1b(1b)ia，则 1b0， 1ba，b1，a2，则|2i| 5，故选 C. 9(2021名校联盟三联)若复数 z1 2bi(bR，i 为虚数单位)满足 zz Im(z )， 其中z 为 z 的共轭复数，Im(z )表示z 的虚部，则| z 1i|的值为(
12、) A.1 2 B. 2 2 C1D. 2 答案A 解析因为 z1 2bi，所以z 1 2bi，所以 zz 1 4b 2b，解得 b1 2，所以 本资料分享自新人教版高中数学资源大全 QQ 群 323031380 期待你的加入与分享 本资料分享自新人教版高中数学资源大全 QQ 群 483122854 期待你的加入与分享 | z 1i| 1 2 1i 1i| 1 2，故选 A. 10已知 z1，z2为虚数，则“z1z2R”是“z1与 z2互为共轭复数”的() A充分不必要条件B必要不充分条件 C充要条件D既不充分也不必要条件 答案B 解析因为 z1， z2为虚数， 则 z1， z2互为共轭复数等
13、价于 z1z2|z1|20， 可得 z1z2R； 但 z1z2R，可以有 z2kz 1，z1，z2不互为共轭复数，故选 B. 二、填空题 11(2020天津卷)i 是虚数单位，复数8i 2i_ 答案32i 解析 8i 2i （8i） （2i） （2i） （2i） 16i210i 5 1510i 5 32i. 12(2021浙江名师预测一)已知复数 z23i，则z 21 z4 _ 答案 4 15 28 15i 解析由题意z 21 z4 （23i） 21 23i4 412i 63i （412i） （63i） （63i） （63i） 4 15 28 15i. 13(2021宁波期末)若复数 z1ai
14、(aR)，z21i(i 为虚数单位)，则|z2| _；若复数 z1z2为纯虚数，则实数 a 的值为_ 答案21 解析由题意得|z2| 1212 2.因为复数 z1z2(ai)(1i)a1(a1)i 为 纯虚数，所以 a10， a10，解得 a1. 14(2017浙江卷)已知 a，bR，(abi)234i(i 是虚数单位)，则 a2b2 _，ab_ 本资料分享自新人教版高中数学资源大全 QQ 群 323031380 期待你的加入与分享 本资料分享自新人教版高中数学资源大全 QQ 群 483122854 期待你的加入与分享 答案52 解析由已知(abi)234i.即 a2b22abi34i. 从而
15、有 a2b23， ab2， 解得 a24， b21， 则 a2b25，ab2. 能力提升题组 15(2021上海黄浦区调研)设 z1，z2是复数，则下列命题中的假命题是() A若|z1z2|0，则 z 1z 2 B若 z1z 2，则 z 1z2 C若|z1|z2|，则 z1z 1z2z 2 D若|z1|z2|，则 z21z22 答案D 解析A 中，|z1z2|0，则 z1z2，故 z 1z 2，成立B 中，z1z 2，则 z 1z2 成立C 中，|z1|z2|，则|z1|2|z2|2，即 z1z 1z2z 2，C 正确D 不一定成立，如 z11 3i，z22，则|z1|2|z2|，但 z212
16、2 3i，z224，z21z22. 16(一题多解)设 z 是复数，|zi|2(i 是虚数单位)，则|z|的最大值是() A1B2C3D4 答案C 解析法一|zi|2 表示复数 z 在复平面上的对应的点在以(0，1)为圆心，2 为 半径的圆内(含边界)，而|z|表示此圆内(含边界)的点到原点的距离，其最大值为 1 23. 法二因为 2|zi|z|i|z|1，即|z|3. 17若 1i(i 是虚数单位)是关于 x 的方程 x22pxq0(p，qR)的一个解，则 pq() A3B1C1D3 答案C 本资料分享自新人教版高中数学资源大全 QQ 群 323031380 期待你的加入与分享 本资料分享自
17、新人教版高中数学资源大全 QQ 群 483122854 期待你的加入与分享 解析依题意得(1i)22p(1i)q(2pq)2(p1)i0，即 2pq0， p10， 解得 p1，q2，所以 pq1，故选 C. 18(2021七彩阳光联盟三联)复数 z 满足|zi|z3i|，则|z|() A最小值为 1，无最大值B最大值为 1，无最小值 C恒等于 1D无最大值，也无最小值 答案A 解析设 zxyi(x，yR)，因为|zi|z3i|，所以 x2(y1)2x2(y3)2， 解得 y1， 所以复数 z 在复平面内对应的点在直线 y1 上运动， |z| x2y2 可以理解为直线 y1 上的点到坐标原点的距
18、离，所以当 zi 时，距离最短， |z|min1，无最大值，故选 A. 19(2020浙江名师预测三)除了代数形式外，复数还可以用三角形式表示，如 zr(cos isin )基于此，棣莫弗定理表达：若 zr(cos isin )，则 zn rn(cos isin )nrn(cos nisin n)已知复数 z1 3i，则|z2 020|_ 答案22 020 解析z2 cos 3 sin 3 i ，由棣莫弗定理得 z2 020 22 020 cos 2 020 3sin 2 020 3i 22 020 1 2 3 2 i ，所以|z2 020|22 020. 20 已知复数 zxyi， 且|z2| 3， 则y x的最大值为_； 最小值为_ 答案3 3 解析 |z2| （x2）2y2 3， (x2)2y23. 由图可知 y x max 3 1 3， y x min 3. 本资料分享自新人教版高中数学资源大全 QQ 群 323031380 期待你的加入与分享 本资料分享自新人教版高中数学资源大全 QQ 群 483122854 期待你的加入与分享 .
