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3、会向量在解决数学和实际问题中的作用. 1.平面向量的数量积 (1)概念 已知两个非零向量a和b,它们的夹角为,我们把数量叫作a与b的 数量积(或内积),记作ab,即ab=,并规定零向量与任一向量的数 量积为,即. (2)几何意义 向量的投影:叫作向量a在b方向上(b在a方向上)的投影. 向量的数量积:数量积ab等于a的长度|a|与的 乘积. |a|b|cos |a|b|cos |a|cos (|b|cos ) 0 b在a方向上的投影 0a=0 非零 ab (ab) ac+bc ab=ba a(b) 3.平面向量数量积的性质 设a,b为两个非零向量,e是与b同向的单位向量. ea=ae=. ab
4、. 当a与b同向时,ab=;当a与b反向时,ab=. 特别地,aa=a2=或|a|=. cos=. |ab|a|b|. |a|cos ab=0 -|a|b| |a|b| |a|2 向量表示坐标表示 向量a的模|a|= a,b的数量积 ab=|a|b|cosab= a与b垂直abab=0ab a与b的夹角cos= 4.平面向量数量积的有关结论 已知两个非零向量a=(x1,y1),b=(x2,y2),为a与b的夹角. x1x2+y1y2 x1x2+y1y2=0 题组一常识题 1.教材改编 已知a=(-3,4),b=(-5,2), 则ab=. 解析由题得ab=(-3)(-5)+42=23. 23 2
5、.教材改编已知a,b均为单位向量, 它们的夹角为60,则|a+3b|= . 1 4.教材改编已知向量a=(3,2), b=(-2,-4),c=a+kb,kR,则a与b夹 角的余弦值为;若bc,则 k=. 题组二常错题 索引:没有找准向量的夹角致误;不理解向量的数量积的几何意义致误;向量 的数量积的有关性质应用不熟练致误. 5.已知向量a与向量b平行,且|a|=3,|b|=4, 则ab=. 解析由题意知,向量a与向量b的 夹角=0或180. 当=0时,ab=34cos 0=12; 当=180时,ab=34cos 180 =-12. -12或12 菱形 A 思路点拨画出图形,结合向量的数量积的几何
6、意义判断求解即可. A (2)2020洛阳模拟 若a=(3,m)(mR),b=(-6,4),且a=b(R),则 (a+b)(3a+b)= () A.0 B.-5 C.-12 D.-13 D 思路点拨根据向量共线的坐标表示可得m=-2,再根据平面向量数量积的坐 标表示可得结果. 解析 a=b,34-m(-6)=0,解得m=-2,a=(3,-2),b=(-6,4), a+b=(-3,2),3a+b=(3,-2),(a+b)(3a+b)=-9+(-4)=-13.故选D. 总结反思解决向量数量积的运算问题的三种方法: (1)当已知向量的模和夹角时,可利用定义法求解; (2)当已知向量的坐标或可通过建立
7、平面直角坐标系表示向量的坐标时,可 利用坐标法求解; (3)利用向量数量积的几何意义求解. 变式题 (1)2020海口模拟 已知向量 a=(-1,2),b=(m,-2m-1),ab=8,则m= () A.-2 B.-1 C.1 D.2 解析因为a=(-1,2),b=(m,-2m-1),所 以ab=-m+2(-2m-1)=-5m-2,因为 ab=8,所以-5m-2=8,解得m=-2.故选 A. A BD C 图4-28-1 B 思路点拨由题意知,该学生左、右胳膊上的拉力F1,F2满足|F1|=|F2|=400, 计算-(F1+F2)的模,再求出该学生的体重即可. 思路点拨根据向量加法、减法的几何
8、意义、余弦定理和基本不等式求解 即可. D 思路点拨利用已知条件求出|a+b|,然后利用向量的数量积公式求解夹角即可. B 解析如图,以A为坐标原点,以AB所在直线为x轴, AC所在直线为y轴,建立平面直角坐标系,则B(3,0),C(0,2), E(2,0),F(0,1),直线CE的方程为x+y-2=0, B 微点3平面向量的垂直 例4 (1) 2020全国卷 已知单位向量a,b的夹角为60,则在下列向量中,与b 垂直的是() A.a+2b B.2a+bC.a-2b D.2a-b D 思路点拨求平面向量的数量积是否为0,即可判断两向量是否垂直. (2) 2020石家庄模拟 已知向量 a=(2,
9、1),b=(2,-3),且ka+b与a-b垂直, 则k=() A.3B.2C.-2D.-3 A 思路点拨根据题意,求出ka+b和a-b的 坐标,由(ka+b)(a-b)=4(k-3)=0,可得k的 值. 解析由向量a=(2,1),b=(2,-3),得 ka+b=(2k+2,k-3),a-b=(0,4), ka+b与a-b垂直, (ka+b)(a-b)=4(k-3)=0,解得k=3. 故选A. 总结反思 (1)当向量a与b是坐标形式,即a=(x1,y1),b=(x2,y2)时,若要证明ab, 则只需证明ab=0,即证明x1x2+y1y2=0. (2)当向量a,b是非坐标形式时,要把a,b用已知的
10、不共线向量作为基底来表示, 且要知道不共线的向量的模与夹角,进行运算证明ab=0. (3)数量积的运算ab=0ab是对非零向量而言的,若a=0,则虽然有ab=0, 但不能说ab. 应用演练 1. 【微点1】2020成都七中模拟 设 向量a=(m,1),b=(1,2),且 |a+b|2=|a|2+|b|2,则m= () A.0B.1C.2D.-2 解析由|a+b|2=|a|2+|b|2得, a2+b2+2ab=a2+b2,ab=0, ab=m+2=0,解得m=-2.故选D. D C D C D 总结反思利用向量运算进行转化,化归为三角函数的问题或三角恒等变换 问题是常规的解题思路和方法.以向量为
11、载体考查三角形问题时,要注意正 弦定理、余弦定理等知识的应用. 解析由|a+b|a-tb|,可得 (a+b)2(a-tb)2,即a2+2ab2+b2a2- 2abt+t2b2.设a与b的夹角为,可 得t2-2cos t-2cos -10对任意 tR都成立,所以 =4cos2+4(2cos +1)0, 即cos =-1,又0,所以=. 故选D. D D 图4-28-2 【备选理由】 例1是向量数量积的应用问题,考查向量垂直的充要条件与向 量夹角的求解;例2是向量数量积的应用问题,考查向量的模与夹角,利用二次 函数求模的最值问题;例3考查了平面向量数量积的运算,考查了转化与化归 思想和运算能力;例4为通过建立坐标系求向量模的最值问题. 例1配合例3、例4使用 2020保 定一模 已知a与b均为单位向量,若 b(2a+b),则a与b的夹角为( ) A.30 B.45 C.60 D.120 D D A 4
