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3、当时,P点不存在. 距离的差的绝对值 双曲线的焦点双曲线的焦距 2a|F1F2| 标准方程 图形 标准方程 性 质 范围,yR,xR 对称性对称轴:坐标轴.对称中心:原点 顶点A1,A2A1,A2 渐近线 y=y= 离心率 a,b,c的关系c2=(ca0,cb0) 实、虚轴 线段A1A2叫作双曲线的实轴,它的长|A1A2|=;线段B1B2叫 作双曲线的虚轴,它的长|B1B2|=;a叫作双曲线的实半轴 长,b叫作双曲线的虚半轴长 3.双曲线的性质 xa或x-ay-a或ya (-a,0)(a,0)(0,-a) (1,+) (0,a) a2+b2 2a 2b 题组一常识题 2 (0,6) 题组二常错
4、题 索引:忽视定义中的条件“差的绝对值”;忽视双曲线定义中的条件“2a |F1F2|”;忽视双曲线上的点的位置;忽视双曲线焦点的位置. 5.平面内到点F1(0,-4),F2(0,4)的距 离之差等于6的点的轨迹是 . 6.平面内到点F1(3,0),F2(-3,0)距离之 差的绝对值等于6的点P的轨迹是 . 解析由题知|F1F2|=6,而|PF1|-|PF2|= 6,满足2a=|F1F2|这一条件,故所求点 的轨迹是两条射线. 两条射线 解析由题意知|PF1|=9a+c=10,所以 P点在双曲线的左支上,则有|PF2|- |PF1|=2a=8,故|PF2|=|PF1|+8=17. 思路点拨设双曲
5、线的左、右焦点分别 为F1,F2,由题得|MF1|-|MF2|=16,令 |MF2|=1,求出|MF1|即可; 解析设双曲线的左、右焦点分别为 F1,F2,由题得|MF1|-|MF2|=28=16,不 妨令|MF2|=1,则|MF1|-1|=16,|MF1| =17或-15(舍),点M到另一个焦点的距 离为17. 17 思路点拨 设双曲线的右焦点为F1,连接PF1,由双曲线的定义,可知|PF|=4+ |PF1|,将求|PF|+|PA|的最小值转化为求|PF1|+|PA|的最小值. 解析设双曲线的右焦点为F1,连接PF1,AF1,如图.由双曲线的定义, 可知|PF|=4+|PF1|,所以当|PF
6、1|+|PA|最小时,|PF|+|PA|最小.由图可 知,当点P在线段AF1上时,|PF1|+|PA|最小,故|PF1|+|PA|的最小值为 |AF1|=5,故|PF|+|PA|的最小值为4+5=9. 9 总结反思 应用双曲线的定义,可判定平面内动点的轨迹是否为双曲线,进而求 出曲线方程;可在“焦点三角形”中,利用正弦定理、余弦定理,并结合|PF1|- |PF2|=2a,运用配方法,建立与|PF1|PF2|的联系.应用双曲线的定义时,要注意双 曲线上的点(动点)具备的几何条件,即“到两定点(焦点)的距离之差的绝对值为 常数,且该常数必须小于两定点间的距离”.若去掉绝对值,则点的轨迹是双曲 线的
7、一支,同时注意定义的转化应用. 变式题 (1)已知定点F1(-2,0),F2 (2,0),N是圆O:x2+y2=1上任意一 点,点F1关于点N的对称点为M, 线段F1M的垂直平分线与直线 F2M相交于点P,则点P的轨迹是 () A.椭圆B.双曲线 C.抛物线D.圆 解析如图,连接ON,由题意可得|ON|=1,且 N为MF1的中点,又O为F1F2的中点,|MF2| =2.连接PF1,点F1关于点N的对称点为M, 线段F1M的垂直平分线与直线F2M相交于 点P,|PM|=|PF1|,|PF2|-|PF1|=|PF2|- |PM|=|MF2|=2|F1F2|, 由双曲线的定义可得, 点P的轨迹是以F
8、1,F2为 焦点的双曲线. B BCD A 思路点拨先根据椭圆的方程求出椭圆 的焦点坐标,进而得双曲线的焦点坐标, 设出双曲线的方程,求出b2,即可得到双 曲线的标准方程,最后求出双曲线的渐 近线方程即可; C C 思路点拨将点(2,0)的坐标代入双 曲线的方程,求出实数a的值,进而 可得出该双曲线的渐近线方程; y=2x 思路点拨连接AF1,BF1,CF1,由双曲 线的对称性得四边形AF1BF2是平行 四边形,令|AF1|=|F2B|=m,|AF2|= |F1B|=n,则|CF2|=2n,结合双曲线的 定义可得|CF1|=2a+2n,在F1AC中, 由余弦定理可得m,n的关系,进而得 到m,
9、n与a的关系,在F1AF2中利用余 弦定理可得a,c的关系,进而求解. 思路点拨根据双曲线的对称性和 双曲线的定义,分点A是否在x轴上讨 论,结合三角形中边长的关系,得到离 心率e的取值范围; A A 2 2 2 (2,0) 思路点拨结合题意,根据双曲线渐近线的斜率,求得直线l斜率的取值范围即可. B 总结反思 解决与直线与双曲线的位置关系有关的问题时,有时利用数形结合 思想,有时利用方程思想.根据直线的斜率k与渐近线的斜率或某切线的斜率的 关系来判断直线与双曲线的位置关系会比较快捷. D B 【备选理由】例1考查双曲线的定义、标准方程及应用;例2考查双曲线的定义 和方程、性质,考查向量数量积
10、的性质,以及余弦定理,考查运算能力,属于中档 题;例3考查了双曲线的标准方程及几何性质,圆的几何性质等,考查了化归转化 思想;例4考查双曲线的渐近线及应用,考查学生的运算求解能力;例5主要考查 双曲线离心率的求法,属于中档题;例6考查了直线与双曲线的位置关系,考查了 弦长公式、根与系数的关系等知识. 解析由双曲线的定义知,|PF2|- |PF1|=2a=2,|QF2|-|QF1|=2a=2,所以 |PF2|+|QF2|-(|PF1|+|QF1|)=4,又 |PQ|=|PF1|+|QF1|=4,所以 |PF2|+|QF2|-4=4,则|PF2|+|QF2|=8,所 以PF2Q的周长是 |PF2|+|QF2|+|PQ|=12. 12 D D 4ab=1 C C D D
