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3、与二项分布 独立重复试验二项分布 定义 在相同条件下重复做的n次试验 称为n次独立重复试验 在n次独立重复试验中,用X表示事件A发 生的次数,设每次试验中事件A发生的概 率是p,此时称随机变量X服从二项分布, 记作,并称p为 计算公式 Ai(i=1,2,n)表示第i次试验的结 果,则 P(A1A2An)=P(A1)P(A2)P(An) XB(n,p)成功概率 题组一常识题 题组二常错题 索引:条件概率公式套用错误;对相互独立事件至少有一个发生的概率的理解 有误;对二项分布概念理解不清. 4.某单位在一次春游踏青中,开展有奖 答题活动.从2道文史题和3道理科题中 不放回地依次抽取2道题,在第一次
4、抽 到理科题的前提下第二次抽到理科题 的概率为. 7. 将三颗骰子各掷一次,设事件A=三 颗骰子点数都不同,事件B=至少出 现一个6点,则P(A|B)=. 思路点拨 先算出由0,1,2,3,4组成的所有三位 正整数的个数,注意0不排首位,数字可重复;再 计算递增数的个数,此时数字不重复,从左到右 逐渐减小;最后套用条件概率公式求解. B 思路点拨 分析八卦的分类,再分别求出 P(B),P(AB),利用条件概率公式即可求解. B 变式题 (1)2020福州三模某种疾 病的患病率为0.5%,已知在患该种 疾病的条件下血检呈阳性的概率为 99%,则患该种疾病且血检呈阳性的 概率为 () A.0.49
5、5%B.0.9405% C.0.9995%D.0.99% 解析 (1)设事件A表示“患该种疾病”, 事件B表示“血检呈阳性”,事件AB表示 “患该种疾病且血检呈阳性”,则 P(A)=0.5%,P(B|A)=99%,P(AB)=0.5% 99%=0.495%.故选A. A B 思路点拨 (1)记“甲队总得分为3分”为事件A,“甲队总得分为1分”为事件B,甲队得 3分,即三人都回答正确,甲队得1分,即三人中只有1人回答正确,其余2人都回答错误,由 此利用相互独立事件的概率乘法公式能分别求出甲队总得分为3分与1分的概率. (2)求甲队总得分为2分且乙队总得分为1分的概率. 思路点拨 (2)记“甲队总
6、得分为2分”为事件C,“乙队总得分为1分”为事件D,事件C即 甲队三人中有2人回答正确,1人回答错误,事件D即乙队三人中只有1人回答正确,其余2人回 答错误,由题意得事件C与事件D相互独立,由此利用相互独立事件的概率乘法公式能求出 甲队总得分为2分且乙队总得分为1分的概率. 总结反思 (1)求相互独立事件同时发生的概率时,一般先求出每个事件发生的 概率,再求积. (2)使用相互独立事件同时发生的概率计算公式时,要掌握公式的适用条件,即 各个事件是相互独立的,而且它们能同时发生. 探究点三独立重复试验与二项分布 例3 2020东北三省四市联考某大型单位举行了一次全体员工 都参加的考试,从中随机抽
7、取了20人的分数.如图10-64-2所示的茎 叶图记录了他们的考试分数(以十位数字为茎,个位数字为叶),若 分数不低于95分,则称该员工的成绩为“优秀”. (1)从这20人中任意选取3人,求恰有1人成绩“优秀”的概率. (2)根据这20人的分数补全频率分布表和如图10-64-3所示的频率分布 直方图,并根据频率分布直方图解决下面的问题. 估计所有员工的平均分数(同一组中的数据用该组区间的中点值作 代表); 思路点拨 平均数的估计值为各小矩形的组中值与其面积乘积的和; 组别分组频数频率 160,70) 270,80) 380,90) 490,100 (2)根据这20人的分数补全频率分布表和如图1
8、0-64-3所示的频率分布直方图,并根据频率分 布直方图解决下面的问题. 估计所有员工的平均分数(同一组中的数据用该组区间的中点值作代表); 组别分组频数频率 160,70)20.01 270,80)60.03 380,90)80.04 490,10040.02 若从所有员工中任选3人,记X表示抽到的员工成绩为“优秀”的人数,求X的分布列和 数学期望. X0123 P 思路点拨 要注意X服从的是二项分布,不是超几何分布,利用二项分布的分布列及数 学期望公式求解即可. 总结反思(1)独立重复试验是在同样的条件下重复地、各次之间相互独立地进行的 一种试验.在这种试验中,每一次试验只有两种结果,即某
9、事件要么发生,要么不发生,并 且任何一次试验中该事件发生的概率都是一样的. (2)二项分布满足的条件: 每次试验中,事件发生的概率是相同的; 各次试验中的事件是相互独立的; 每次试验只有两种结果:事件要么发生,要么不发生; 随机变量是这n次独立重复试验中事件发生的次数. (3)解此类题时常用互斥事件概率加法公式,相互独立事件概率乘法公式及对立事件的 概率公式. X0123 P 【备选理由】例1考查事件独立性的应用;例2是关于条件概率的题型;例3考 查了平均数的计算、古典概型、几何概型以及二项分布的分布列、数学期 望,考查了学生综合运用知识分析解决问题的能力. (2)为提高该系统的工作性能,拟增
10、加两个功能一样的其他品牌的元件,且每个元 件正常工作的概率均为p,则当p满足什么条件时,可以提高整个系统的工作性能? 例2 配合例1使用2020阜新二中月考甲、乙两地都位于长江下游,根据一百多年的气 象记录知道,甲、乙两地一年中雨天占的比例分别为20%和18%,两地同时下雨的比例为 12%,以此作为概率,问: (1)乙地为雨天时甲地也为雨天的概率是多少? (2)甲地为雨天时乙地也为雨天的概率是多少? 例3 配合例3使用2020河南阶段测试大学的生活丰富多彩,很多学生除了学习本专 业的必修课外,还会选择一些选修课来充实自己.甲同学调查了自己班上的50名同学学 习选修课的情况,并作出如下表格: (
11、1)求甲同学班上人均学习选修课科数; 每人选择选修课科数0123456 频数159151352 例3 配合例3使用2020河南阶段测试大学的生活丰富多彩,很多学生除了学习本专 业的必修课外,还会选择一些选修课来充实自己.甲同学调查了自己班上的50名同学学 习选修课的情况,并作出如下表格: (2)现从学习选修课科数为5,6的同学中随机抽出三名同学,求这三名同学中恰有一名学 习选修课科数为6的概率; 每人选择选修课科数0123456 频数159151352 例3 配合例3使用2020河南阶段测试大学的生活丰富多彩,很多学生除了学习本专 业的必修课外,还会选择一些选修课来充实自己.甲同学调查了自己班上的50名同学学 习选修课的情况,并作出如下表格: 每人选择选修课科数0123456 频数159151352 (3)甲同学和乙同学的某门选修课是在同一个班,且该门选修课开始上课的时间是早上 8:00,已知甲同学每次上课都会在7:00到7:40之间的任意时刻到达教室,乙同学每次上课 都会在7:20到8:00之间的任意时刻到达教室,求连续3天内,甲同学比乙同学早到教室的 天数X的分布列和数学期望. X0123 P
