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3、等,则展开式共有项. 16 3.教材改编 在(x-2)n的展开式中,只有 第3项的二项式系数最大,则含x的项的 系数等于. -32 4.教材改编 已知(m+x)7=a0+ a1x+a2x2+a3x3+a4x4+a5x5+a6x6+a7 x7(m为常数),若展开式中各项的 系数和为128,则m=. 解析 (m+x)7=a0+a1x+a2x2+ a3x3+a4x4+a5x5+a6x6+a7x7(m为常数), 令x=1,得(m+1)7=a0+a1+a2+a3+a4 +a5+a6+a7=128,解得m=1. 1 题组二常错题 索引:二项展开式的通项公式记错致误;混淆二项式系数之和与各项系数之和 致误.
4、 5.(1-2x)7的展开式中第4项的 系数是. -280 解析 由题意得2n=32,解得 n=5,令x=1,得各项系数的和 为(1-2)5=-1. -1 7.已知(1+x)10=a0+a1(1-x)+a2(1- x)2+a10(1-x)10,则a8=. 180 35 A 8 C B BCD BCD 15 1215 B 16 思路点拨 首先利用二项展开式的通 项公式求出含x2与x3的项的系数,然后根 据题意建立等式得到a,b的关系,最后结 合均值不等式可求得结果. C C 总结反思 求几个多项式和的展开式中的特定项只需要先分别求出每一个 多项式中的特定项,再合并即可.通常要用到方程或不等式的知
5、识求解. 54 C 总结反思 几个多项式积的展开式中的特定项(系数)问题的处理方法:先分别将 每个多项式化简或展开为多项式和的形式,再分类考虑特定项产生的每一种情形, 求出相应的特定项进行合并即可. 变式题 (1)2020安徽江淮十校三 联 (x+1)4(1-2x)3的展开式中x6的 系数为 () A.20B.-20 C.44D.40 B (2)2020湘赣粤6月联考 若 (1+ax)5(1+2x)的展开式所有系 数之和为-3,则此展开式中不 含() A.x项B.x2项 C.x3项 D.x6项 C 角度3三项展开式中的特定项(系数)问题 例5 (多选题)2020广东海丰模拟 若(x2-2x+2
6、)5=a0+a1x+a2x2+a10 x10,则下列选项正确 的是 () A.a0=32B.a2=320C.a1+a2+a10=-32D.|a1|+|a2|+|a10|=3093 思路点拨 令x=0,求出a0,可判断选项A; 根据多项式乘积的运算法则,结合组合知识求出a2,可判断选项B; 令x=1,求出a0+a1+a2+a10,结合a0的值,可判断选项C; 利用(x2+2x+2)5的展开式的所有项的系数之和为|a0|+|a1|+|a2|+|a10|,结合a0的值,可判断 选项D. AD 角度3三项展开式中的特定项(系数)问题 例5 (多选题)2020广东海丰模拟 若(x2-2x+2)5=a0+
7、a1x+a2x2+a10 x10,则下列选项正确 的是 () A.a0=32B.a2=320C.a1+a2+a10=-32D.|a1|+|a2|+|a10|=3093 AD 总结反思 三项展开式中的特定项(系数)问题的处理方法: (1)通常先将三项式转化为二项式积的形式,然后利用多项式积的展开式中的特定 项(系数)问题的处理方法求解. (2)将其某两项看成一个整体,直接利用二项式定理展开,然后再分类考虑特定项 产生的所有可能情形. 变式题 (2x2+x-1)5的展开式中, 含x3的项的系数为.(用 数字填写答案) -30 【备选理由】 例1侧重考查利用二项展开式的通项公式求指定项(系数); 例
8、2考查赋值法求相关系数之和; 例3考查几个多项式积的展开式中的特定项(系数)问题; 例4考查三项展开式中的特定项(系数)问题; 例5考查整除问题. 10 例2 配合例2使用 已知x(1-x)7= a1x+a2x2+a3x3+a4x4+a5x5+a6x6+a7x7 +a8x8,则a1+3a2+7a3+15a4+31a5+ 63a6+127a7+255a8=. 解析 令x=1,得a1+a2+a3+a4+a5+ a6+a7+a8=0,令x=2, 得-2=2a1+4a2+8a3+16a4+32a5+64a6 +128a7+256a8,所以a1+3a2+7a3+ 15a4+31a5+63a6+127a7+255a8=-2. -2 -4 -6 例5 补充使用 2020辽宁葫 芦岛一模 502020+2被7除后的 余数为 . 3
