1、大一轮复习讲义 第十章计数原理、概率、随机变量及其分布 10.2排列、组合 考试要求 1.理解排列的概念及排列数公式，并能利用公式解决一些简单的实 际问题. 2.理解组合的概念及组合数公式，并能利用公式解决一些简单的实 际问题. 主干梳理主干梳理 基础落实基础落实 题型突破题型突破 核心核心探究探究 课时精练课时精练 内容 索引 ZHUGANSHULI JICHULUOSHI 主干梳理 基础落实 1 1.排列与组合的概念排列与组合的概念 知识梳理 名称定义区别 排列 从n个不同元素中取 出m(mn)个元素 按照 排成一列 排列有序， 组合无序 组合合成一组 一定的顺序 定义计算公式性质联系 排
2、 列 数 从n个不同元素中取出 m(mn)个元素的所 有 的个数， 叫做从n个不同元素中 取出m个元素的排列 数.用符号“ ”表示 _ _ (n，mN*，且mn) (1) ； (2)0！_ 2.排列数与组合数排列数与组合数 n！ 1 不同排列 n(n1)(n2) (nm1) 组 合 数 从n个不同元素 中取出m(mn) 个元素的所有 的个 数，叫做从n个 不同元素中取出 m个元素的组合 数.用符号“ ” 表示 _ (n，mN*， 且mn) 不同组合 1 微思考 1.排列问题和组合问题的区别是什么？ 提示元素之间与顺序有关的为排列，与顺序无关的为组合. 2.排列数与组合数公式之间有何关系？它们的
3、公式都有两种形式，如何 选择使用？ (2)两种形式分别为：连乘积形式；阶乘形式. 前者多用于数字计算，后者多用于含有字母的排列数式子的变形与论证. (4)排列定义规定给出的n个元素各不相同，并且只研究被取出的元素也 各不相同的情况.也就是说，如果某个元素已被取出，则这个元素就不再 取了.() 1.判断下列结论是否正确(请在括号中打“”或“”) (1)所有元素完全相同的两个排列为相同排列.() (2)两个组合相同的充要条件是其中的元素完全相同.() 题组一思考题组一思考辨析辨析 基础自测 题组二教材题组二教材改编改编 2.从4本不同的课外读物中，买3本送给3名同学，每人各1本，则不同的 送法种数
4、是 A.12 B.24 C.64 D.81 解析4本不同的课外读物选3本分给3位同学，每人一本， 则不同的分配方法种数为 24. 解析“插空法”，先排3个空位，形成4个空隙供3人选择就座， 3.6把椅子摆成一排，3人随机就座，任何两人不相邻的坐法种数为 A.144 B.120 C.72 D.24 因此任何两人不相邻的坐法种数为 43224. 210 题组三易错自题组三易错自纠纠 5.六个人从左至右排成一行，最左端只能排甲或乙，最右端不能排甲， 则不同的排法共有 A.192种 B.216种 C.240种 D.288种 第二类：乙在最左端，甲不在最右端， 所以共有12096216(种)排法. 6.
5、某校开设A类选修课3门，B类选修课4门，一位同学从中共选3门.若要 求两类课程中各至少选一门，则不同的选法种数为_.30 解析分两种情况： TIXINGTUPO HEXINTANJIU2题型突破 核心探究 题型一排列问题 自主演练 1.用1,2,3,4,5这五个数字，可以组成比20 000大，并且百位数不是数字3 的没有重复数字的五位数，共有 A.96个 B.78个 C.72个 D.64个 解析根据题意知，要求这个五位数比20 000大， 则万位数必须是2,3,4,5这4个数字中的一个， 当万位数是3时，百位数不是数字3，符合要求的五位数有 24(个)； 当万位数是2,4,5时，由于百位数不能
6、是数字3， 因此共有542478(个)这样的五位数符合要求. 2.(2020惠州调研)七人并排站成一行，如果甲、乙两人必须不相邻，那 么不同的排法种数是 A.3 600 B.1 440 C.4 820 D.4 800 解析除甲、乙外，其余5个人排列为 种排法， 再用甲乙去插6个空位有 种， 不同的排法种数是 3 600(种). 3.受新冠肺炎疫情影响，某学校按上级文件指示，要求错峰放学，错峰 有序吃饭.高三年级一层楼六个班排队，甲班必须排在前三位，且丙班、 丁班必须排在一起，则这六个班排队吃饭的不同安排方案共有 A.240种 B.120种 C.188种 D.156种 解析根据题意，按甲班位置分
7、3种情况讨论： 此时有8648(种)安排方案； 此时有6636(种)安排方案； 此时有6636(种)安排方案. 由分类加法计数原理可知共有483636120(种)方案. (1)对于有限制条件的排列问题，分析问题时有位置分析法和元素分析法， 在实际进行排列时一般采用特殊元素优先原则，即先安排有限制条件的 元素或有限制条件的位置，对于分类过多的问题可以采用间接法. (2)常见排列数的求法为：相邻问题采用“捆绑法”.不相邻问题采 用“插空法”.有限制元素采用“优先法”.特殊顺序问题，先让所 有元素全排列，然后除以有限制元素的全排列数. 思维升华 题型二组合问题 自主演练 1.(2020新高考全国)6
8、名同学到甲、乙、丙三个场馆做志愿者，每名同 学只去1个场馆，甲场馆安排1名，乙场馆安排2名，丙场馆安排3名，则 不同的安排方法共有 A.120种 B.90种 C.60种 D.30种 2.为了应对美欧等国的经济制裁，俄罗斯天然气公司决定从10名办公室 工作人员中裁去4人，要求甲、乙二人不能全部裁去，则不同的裁员方 案的种数为_.182 3.从2位女生，4位男生中选3人参加科技比赛，且至少有1位女生入选， 则不同的选法共有_种.(用数字填写答案) 16 (1)解排列、组合问题要遵循的两个原则 按元素(位置)的性质进行分类. 按事情发生的过程进行分步. 具体地说，解排列、组合问题常以元素(位置)为主
9、体，即先满足特殊元 素(位置)，再考虑其他元素(位置). 思维升华 (2)两类含有附加条件的组合问题的方法 “含有”或“不含有”某些元素的组合题型：若“含”，则先将这 些元素取出，再由另外元素补足；若“不含”，则先将这些元素剔除， 再从剩下的元素中选取. “至少”或“最多”含有几个元素的组合题型：解这类题目必须十 分重视“至少”与“最多”这两个关键词的含义，谨防重复与漏解.用 直接法或间接法都可以求解，用直接法分类复杂时，可用间接法求解. 题型三排列与组合的综合问题 多维探究 命题点1相邻问题 例1北京APEC峰会期间，有2位女性和3位男性共5位领导人站成一排 照相，则女性领导人甲不在两端，3
10、位男性领导人中有且只有2位相邻的 站法有 A.12种 B.24种 C.48种 D.96种 剩下1位男性领导人记作B,2位女性分别记作甲、乙； 则女领导人甲必须在A，B之间，此时共有6212(种)排法(A左B右和A 右B左)， 最后再在排好的三个元素中选出四个位置插入乙， 共有12448(种)不同排法. 命题点2相间问题 例2某次联欢会要安排3个歌舞类节目，2个小品类节目和1个相声类节 目的演出顺序，则同类节目不相邻的排法种数是 A.72 B.120 C.144 D.168 解析安排小品节目和相声节目的顺序有三种：“小品1，小品2，相 声”“小品1，相声，小品2”和“相声，小品1，小品2”. 对
11、于第一种情况，形式为“小品1歌舞1小品2相声”， 同理，第三种情况也有36种安排方法， 对于第二种情况，三个节目形成4个空，其形式为“小品1相声小 品2”， 故共有363648120(种)安排方法. 命题点3特殊元素(位置)问题 例3大数据时代出现了滴滴打车服务，二胎政策的放开使得家庭中有 两个孩子的现象普遍存在.某城市关系要好的A，B，C，D四个家庭各有 两个孩子共8人，他们准备使用滴滴打车软件，分乘甲、乙两辆汽车出 去游玩，每车限坐4名(乘同一辆车的4个孩子不考虑位置)，其中A家庭的 孪生姐妹需乘同一辆车，则乘坐甲车的4个孩子恰有2个来自于同一个家 庭的乘坐方式共有 A.18种 B.24种
12、 C.36种 D.48种 解析根据题意，分两种情况讨论： A家庭的孪生姐妹在甲车上，甲车上另外的两个孩子要来自不同的家 庭，可以在剩下的三个家庭中任选2个，再从每个家庭的2个孩子中任选 一个来乘坐甲车， A家庭的孪生姐妹不在甲车上，需要在剩下的三个家庭中任选1个，让 其2个孩子都在甲车上，对于剩余的两个家庭，从每个家庭的2个孩子中 任选一个来乘坐甲车， 故共有121224(种)乘坐方式，故选B. 解排列、组合问题要遵循的两个原则 (1)按元素(位置)的性质进行分类. (2)按事情发生的过程进行分步. 具体地说，解排列、组合问题常以元素(位置)为主体，即先满足特殊元 素(位置)，再考虑其他元素(
13、位置). 思维升华 跟踪训练(1)把5件不同的产品摆成一排，若产品A与产品B相邻，且产 品A与产品C不相邻，则不同的摆法有_种. 36 解析将产品A与B捆绑在一起，然后与其他三种产品进行全排列， 将产品A，B，C捆绑在一起，且A在中间，然后与其他两种产品进行全 排列， (2)数学活动小组由12名同学组成，现将这12名同学平均分成四组分别研 究四个不同课题，且每组只研究一个课题，并要求每组选出1名组长， 则不同的分配方案有 并在各组中选出1名组长，有34种选法， 根据分步乘法计数原理， 第一组选1名组长有3种选法，第二组选1名组长有3种选法，第三组选1名 组长有3种选法，第四组选1名组长有3种选
14、法. KESHIJINGLIAN3 课时精练 基础保分练 1.“中国梦”的英文翻译为“China Dream”，其中China又可以简写为 CN，从“CN Dream”中取6个不同的字母排成一排，含有“ea”字母组 合(顺序不变)的不同排列共有 A.360种 B.480种 C.600种 D.720种 解析从其他5个字母中任取4个，然后与“ea”进行全排列， 12345678910 11 12 13 14 15 16 2.用数字1,2,3,4,5组成的无重复数字的四位偶数的个数为 A.8 B.24 C.48 D.120 12345678910 11 12 13 14 15 16 3.有七名同学站
15、成一排照毕业纪念照，其中甲必须站在正中间，并且乙、 丙两位同学要站在一起，则不同的站法有 A.240种 B.192种 C.96种 D.48种 12345678910 11 12 13 14 15 16 同理，当丙和乙在甲的右侧时也有96种排列方法， 所以共有192种排列方法. A.2,8 B.2,6 C.7,12 D.8 12345678910 11 12 13 14 15 16 x219x840，解得7x12. 又x8，x20， 7x8，xN*，即x8. 5.(2020昆明质检)互不相同的5盆菊花，其中2盆为白色，2盆为黄色， 1盆为红色，现要摆成一排，要求红色菊花摆放在正中间，白色菊花不
16、相邻，黄色菊花也不相邻，共有摆放方法 解析红色菊花摆放在正中间，白色菊花不相邻，黄色菊花也不相邻， 即红色菊花两边各一盆白色菊花，一盆黄色菊花， 12345678910 11 12 13 14 15 16 6.(2021山东临沂重点中学模拟)马路上有七盏路灯，晚上用时只亮三盏 灯，且任意两盏亮灯不相邻，则不同的开灯方案共有 A.60种 B.20种 C.10种 D.8种 解析根据题意，可分为两步： 第一步，先安排四盏不亮的路灯，有1种情况； 第二步，四盏不亮的路灯排好后，有5个空位，在5个空位中任意选3个， 插入三盏亮的路灯， 故不同的开灯方案共有10110(种). 12345678910 11
17、 12 13 14 15 16 7.有5列火车分别准备停在某车站并行的5条轨道上，若快车A不能停在 第3道上，货车B不能停在第1道上，则5列火车不同的停靠方法数为 A.56 B.63 C.72 D.78 12345678910 11 12 13 14 15 16 解析若没有限制，5列火车可以随便停， 快车A停在第3道上，且货车B停在第1道上， 故符合要求的5列火车不同的停靠方法数为 12345678910 11 12 13 14 15 16 8.(多选)(2021苏州质检)现有4个小球和4个小盒子，下面的结论正确的是 A.若4个不同的小球放入编号为1,2,3,4的盒子，则共有24种放法 B.若
18、4个相同的小球放入编号为1,2,3,4的盒子，且恰有两个空盒的放法 共有18种 C.若4个不同的小球放入编号为1,2,3,4的盒子，且恰有一个空盒的放法 共有144种 D.若编号为1,2,3,4的小球放入编号为1,2,3,4的盒子，没有一个空盒但小 球的编号和盒子的编号全不相同的放法共有9种 12345678910 11 12 13 14 15 16 解析若4个不同的小球放入编号为1,2,3,4的盒子中，共有44256(种) 放法，故A错误； 若4个相同的小球放入编号为1,2,3,4的盒子，且恰有两个空盒， 则一个盒子放3个小球，另一个盒子放1个小球或两个盒子均放2个小球， 若4个不同的小球放
19、入编号为1,2,3,4的盒子，且恰有一个空盒， 则两个盒子中各放1个小球，另一个盒子中放2个小球， 12345678910 11 12 13 14 15 16 若编号为1,2,3,4的小球放入编号为1,2,3,4的盒子， 没有一个空盒但小球的编号和盒子的编号全不相同， 若(2,1,4,3)代表编号为1,2,3,4的盒子放入的小球编号分别为2,1,4,3， 列出所有符合要求的情况：(2,1,4,3)，(4,1,2,3)，(3,1,4,2)，(2,4,1,3)， (3,4,1,2)，(4,3,1,2)，(2,3,4,1)，(3,4,2,1)，(4,3,2,1)共9种放法，故D正确. 故选BCD.
20、12345678910 11 12 13 14 15 16 9.若把英语单词“good”的字母顺序写错，则可能出现的错误方法共有 _种(用数字作答). 11 解析把g，o，o，d,4个字母排一列，可分两步进行， 第二步：排两个o，共1种排法， 12345678910 11 12 13 14 15 16 10.某运输公司有7个车队，每个车队的车辆均多于4辆.现从这个公司中 抽调10辆车，并且每个车队至少抽调1辆，那么共有_种不同的抽调 方法. 12345678910 11 12 13 14 15 16 84 解析方法一在每个车队抽调1辆车的基础上，还需抽调3辆车. 方法二由于每个车队的车辆均多于
21、4辆，只需将10个份额分成7份. 可看作将10个小球排成一排，在相互之间的9个空当中插入6个隔板， 12345678910 11 12 13 14 15 16 11.(2020梅州质检)某省高考实行33模式，即语文、数学、英语必选， 物理、化学、政治、历史、生物、地理六选三，今年高一的小明与小芳 进行选科，假若他们对六科没有偏好，则他们至少有两科相同的选法有 _种. 12345678910 11 12 13 14 15 16 200 解析根据题意，分2种情况讨论： 则两人至少有两科相同的选法有20180200(种). 12.(2020全国)4名同学到3个小区参加垃圾分类宣传活动，每名同学只 去
22、1个小区，每个小区至少安排1名同学，则不同的安排方法共有_种. 12345678910 11 12 13 14 15 16 36 由分步乘法计数原理可得不同的安排方法共有6636(种). 技能提升练 13.某宾馆安排A，B，C，D，E五人入住3个房间，每个房间至少住1人， 且A，B不能住同一房间，则不同的安排方法有 A.114 B.90 C.108 D.60 12345678910 11 12 13 14 15 16 解析5个人住3个房间，每个房间至少住1人，则有(3,1，1)和(2,2,1)两种， 故有601842(种)， 故有901872(种)， 根据分类加法计数原理可知，共有427211
23、4(种). 12345678910 11 12 13 14 15 16 14.(2021湖北八市重点高中联考)从4名男生和3名女生中选出4名去参加 一项活动，要求男生甲和乙不能同时参加，女生中的丙和丁至少有一名 参加，则不同的选法种数为_.(用数字作答) 12345678910 11 12 13 14 15 16 23 12345678910 11 12 13 14 15 16 解析设甲参加，乙不参加，由女生中的丙和丁至少有一名参加， 设乙参加，甲不参加，由女生中的丙和丁至少有一名参加， 设甲、乙都不参加，由女生中的丙和丁至少有一名参加， 综合得，不同的选法种数为99523. 拓展冲刺练 15
24、.中国古代中的“礼、乐、射、御、书、数”合称“六艺”.“礼”， 主要指德育；“乐”，主要指美育；“射”和“御”，就是体育和劳动； “书”，指各种历史文化知识；“数”，数学.某校国学社团开展“六艺” 课程讲座活动，每艺安排一节，连排六节，一天课程讲座排课有如下要 求：“数”必须排在前三节，且“射”和“御”两门课程相邻排课，则 “六艺”课程讲座不同排课顺序共有 A.120种 B.156种C.188种 D.240种 12345678910 11 12 13 14 15 16 12345678910 11 12 13 14 15 16 所以满足条件的共有48361224120(种)排法，故选A. 16
25、.用数字0,1,2,3,4,5,6组成没有重复数字的四位数，其中个位、十位和百 位上的数字之和为偶数的四位数共有_个.(用数字作答) 12345678910 11 12 13 14 15 16 324 解析当个位、十位和百位上的数字为三个偶数时，若选出的三个偶数 含有0， 若选出的三个偶数不含0， 故这种情况下符合要求的四位数共有721890(个). 当个位、十位和百位上的数字为一个偶数、两个奇数时，若选出的偶数 是0， 12345678910 11 12 13 14 15 16 若选出的偶数不是0，则再选出两个奇数后，千位上只能从剩余的非0数 字中选一个放上， 12345678910 11 12 13 14 15 16 故这种情况下符合要求的四位数共有72162234(个). 根据分类加法计数原理，可得符合要求的四位数共有90234324(个). 大一轮复习讲义 本课结束 更多精彩内容请登录：
