1、概率论与数理统计全册配套最概率论与数理统计全册配套最 完整精品课件完整精品课件1 概率论与数理统计 概率统计概率统计 是研究是研究随机现象随机现象数量规律的数量规律的 数学学科数学学科, 理论严谨理论严谨, 应用广泛应用广泛, 发展迅速发展迅速. 目前目前, 不仅高等学校各专业都开设了这门课不仅高等学校各专业都开设了这门课 程程, 而且从上世纪末开始，这门课程特意而且从上世纪末开始，这门课程特意 被国家教委定为本科生考研的数学课程之被国家教委定为本科生考研的数学课程之 一，希望大家能认真学好这门不易学好又一，希望大家能认真学好这门不易学好又 前前言言 不得不学的重要课程不得不学的重要课程. 教
2、材：教材： 概率论与数理统计概率论与数理统计 高祖新高祖新 陈华均编陈华均编 南京大学出版社南京大学出版社 2002年年 主要参考书 茆诗松 程依明 濮晓龙编 概率论与数理统计 教程习题与解答，高等教育出版社，2005。 谢琍 尹素菊 陈立萍编概率论与数理统计解 题指导，北京大学出版社，2003。 屠俊如 洪再吉译基础统计学（Robert Johnson, Patricia Kuby, Elementary Statistics)， 科学出版社，2003。 耿修林 谢兆如编 应用统计学，科学出版 社，2002。 国内有关经典著作国内有关经典著作 1.1.概率论基础及其应用概率论基础及其应用 王
3、梓坤著 科学出版社 1976 年版 2.数理统计引论数理统计引论 陈希儒著 科学出版社 1981年版 国外有关经典著作国外有关经典著作 1.概率论的分析理论概率论的分析理论 P.- S.拉普拉斯著 1812年版 2. 统计学数学方法统计学数学方法 H. 克拉默著 1946年版 概率论的最早著作概率论的最早著作 数理统计最早著作数理统计最早著作 概率统计专业概率统计专业 首位中科院院士首位中科院院士 作业: 每两周一次，单周交。 请用作业纸书写。 联系方式: 手机: 13912963393。 密码:200808 本学科的本学科的 ABC 概率概率(或然率或几率或然率或几率) 随机事件出现随机事件
4、出现 的可能性的量度的可能性的量度 其起源与博弈问题有关其起源与博弈问题有关. 16世纪意大利学者开始研究掷骰子等赌博世纪意大利学者开始研究掷骰子等赌博 中的一些问题；中的一些问题；17世纪中叶，法国数学家世纪中叶，法国数学家B. 帕帕 斯卡、荷兰数学家斯卡、荷兰数学家C. 惠更斯惠更斯 基于排列组合的方基于排列组合的方 法，研究了较复杂法，研究了较复杂 的赌博问题，的赌博问题， 解决了解决了“ 合理合理 分配赌注问题分配赌注问题” ( 即得分问题即得分问题 ). 概率论是一门概率论是一门研究客观世界随机现象数量研究客观世界随机现象数量 规律的规律的 数学分支学科数学分支学科. 发展则在发展则
5、在17世纪微积分学说建立以后世纪微积分学说建立以后. 基人是瑞士数学家基人是瑞士数学家J.伯努利；而概率论的飞速伯努利；而概率论的飞速 论；使论；使 概率论概率论 成为成为 数学的一个分支的真正奠数学的一个分支的真正奠 对客观世界中随机现象的分析产生了概率对客观世界中随机现象的分析产生了概率 概率论的特点是先提出数学模型，然后去概率论的特点是先提出数学模型，然后去 研究它的性质、特点和规律性。研究它的性质、特点和规律性。 数理统计学是一门数理统计学是一门研究怎样去有效地收集、研究怎样去有效地收集、 整理和分析带有随机性的数据，以对所考察整理和分析带有随机性的数据，以对所考察 的的 问题作出推断
6、或预测，直至为采取一定的决问题作出推断或预测，直至为采取一定的决 策策 和行动提供依据和建议的和行动提供依据和建议的 数学分支学科。数学分支学科。 统计方法的数学理论要用到很多近代数学统计方法的数学理论要用到很多近代数学 知识，如函数论、拓扑学、矩阵代数、组合数知识，如函数论、拓扑学、矩阵代数、组合数 学等等，但关系最密切的是概率论，故可以这学等等，但关系最密切的是概率论，故可以这 样说：样说：概率论是数理统计学的基础，数理统计概率论是数理统计学的基础，数理统计 学是概率论的一种应用学是概率论的一种应用. 但是它们是两个并列但是它们是两个并列 的数学分支学科，并无从属关系的数学分支学科，并无从
7、属关系. 本学科的应用本学科的应用 概率统计理论与方法的应用几乎遍及概率统计理论与方法的应用几乎遍及 所有科学技术领域、工农业生产和国民经所有科学技术领域、工农业生产和国民经 济的各个部门中济的各个部门中. 例如例如 1. 气象、水文、地震预报、人口控制气象、水文、地震预报、人口控制 及预测都与及预测都与概率论概率论紧密相关；紧密相关； 2. 产品的抽样验收，新研制的药品能产品的抽样验收，新研制的药品能 否在临床中应用，均要用到否在临床中应用，均要用到假设检验假设检验； 6. 探讨太阳黑子的变化规律时探讨太阳黑子的变化规律时,时间时间 可夫过程可夫过程 来描述来描述; 7. 研究化学反应的时变
8、率，要以研究化学反应的时变率，要以马尔马尔 序列分析序列分析方法非常有用方法非常有用; 4. 电子系统的设计电子系统的设计, 火箭卫星的研制及其火箭卫星的研制及其 发射都离不开发射都离不开可靠性估计可靠性估计; 3. 寻求最佳生产方案要进行寻求最佳生产方案要进行实验设计实验设计 和和数据处理数据处理； 5. 处理通信问题处理通信问题, 需要研究需要研究信息论信息论； 水库调度、购物排队、红绿灯转换等，都水库调度、购物排队、红绿灯转换等，都 可用一类概率模型来描述，其涉及到可用一类概率模型来描述，其涉及到 的知的知 目前目前, 概率统计理论进入其他自然科学概率统计理论进入其他自然科学 装卸、机器
9、维修、病人候诊、存货控制、装卸、机器维修、病人候诊、存货控制、 8. 生物学中研究生物学中研究 群体的增长问题时，群体的增长问题时， 提出了生灭型提出了生灭型随机模型随机模型，传染病流行问传染病流行问 题要用到多变量非线性题要用到多变量非线性生灭过程生灭过程； 9. 许多服务系统，如电话通信、船舶许多服务系统，如电话通信、船舶 识就是识就是 排队论排队论. 领域领域 , 特别是经济学中研究最优决策和经特别是经济学中研究最优决策和经 济的稳定增长等问题济的稳定增长等问题 , 都大量采用都大量采用概率概率 统计方法统计方法. 法国数学家拉普拉斯法国数学家拉普拉斯(Laplace) 说对说对了了:
10、“ 生活中最重要的问题生活中最重要的问题 , 其中绝大其中绝大 领域的趋势还在不断发展领域的趋势还在不断发展. 在社会科学领在社会科学领 多数在实质上只是概率的问题多数在实质上只是概率的问题.” 英国的逻辑学家和经济学家杰文斯曾英国的逻辑学家和经济学家杰文斯曾 对对概率论概率论大加赞美：大加赞美：“ 概率论是生活真正概率论是生活真正 的领路人的领路人, 如果没有对概率的某种估计如果没有对概率的某种估计, 那那 么我们就寸步难行么我们就寸步难行, 无所作为无所作为. “ 得得 分分 问问 题题 ” 甲、乙两人各出同样的赌注，用掷甲、乙两人各出同样的赌注，用掷 硬币作为博奕手段硬币作为博奕手段 .
11、 每掷一次，若正面朝每掷一次，若正面朝 上，甲得上，甲得 1 分乙不得分分乙不得分. 反之，乙得反之，乙得1分，分， 甲不得分甲不得分. 谁先得到规定分数就赢得全部谁先得到规定分数就赢得全部 赌注赌注. 当进行到甲还差当进行到甲还差 2分乙还差分乙还差3分，就分，就 分别达到规定分数时，发生了意外使赌分别达到规定分数时，发生了意外使赌 局局 不能进行下去不能进行下去，问如何公平分配赌注？问如何公平分配赌注？ 确定性现象确定性现象 随机现象随机现象 q 每次试验前不能预言出现什么结果 q 每次试验后出现的结果不止一个 q 在相同的条件下进行大量观察或试 验时，出现的结果有一定的规律性 称之为统计
12、规律性统计规律性 第一章第一章 随机事件及其概率 1.1 随机事件随机事件 是指对研究对象所进行的观察、测量或科学 若它有如下特点,则称为随机试验随机试验,用E表示 q 试验前不能预知出现哪种结果。 基本术语基本术语 q 可在相同的条件下重复行； q 试验结果不止一个,但能明确所有的结果； 是指对研究对象所进行的观察、测量或科学 实验, 统称试验试验. 样本空间样本空间 随机试验E 所有可能的结果 样本空间的元素, 即E 的直接结果, 称为 随机事件随机事件 的子集, 记为 A ,B , 它是满足某些条件的样本点所组成的集合. 组成的集合称为样本空间样本空间 记为 样本点样本点(or基本事件基
13、本事件) 常记为 ， = ,., 3 , 2 , 1 , 0 2 N ),( 213 TyxTyx 其中T1,T2分别是该地区的最低与最高温度 : 3 E观察某地区每天的最高温度与最低温度 : 2 E观察总机每天9:0010:00接到的电话次数 有限样本空间 无限样本空间 : 1 E 投一枚硬币3次，观察正面出现的次数 3 , 2 , 1 , 0 1 例例1 1 给出一组随机试验及相应的样本空间 基本事件基本事件 仅由一个样本点组成的子集 它是随机试验的直接结果,每次试验必定发 生且只可能发生一个基本事件. 必然事件必然事件全体样本点组成的事件,记 为, 每次试验必定发生的事件. 随机事件发生
14、随机事件发生 组成随机事件的一个样 本点发生 不可能事件不可能事件不包含任何样本点的事件, 记为 ,每次试验必定不发生的事件. A 随机事件的关系和运算 雷同集合的关系和运算 事件的关系和运算事件的关系和运算 文氏图文氏图 ( Venn diagram ) A 包含于BBA 事件 A 发生必 导致事件 B 发生 A B BA BA AB 且 1. 事件的包含 2. 事件的相等 BA 或 BA BA A B 事件 A与事件B 至 少有一个发生 BA发生 n AAA, 21 的和事件 n i i A 1 , 21n AAA的和事件 1i i A A 与B 的和事件 3. 事件的并(和) BA 或A
15、B 事件 A与事件B 同时 发生 BA 发生 n AAA, 21 的积事件 n i i A 1 , 21n AAA的积事件 A 与B 的积事件 1i i A BA B A 4. 事件的交(积) BA BA发生 事件 A 发生，但 事件 B 不发生 BA B A A 与B 的差事件 5. 事件的差 A 与B 互斥AB A、 B不可能同 时发生 A B n AAA, 21 两两互斥 , 21n AAA两两互斥 njijiAA ji , 2 , 1, , 2 , 1,jijiAA ji 6. 事件的互斥(互不相容) A 与B 互相对立 BAAB, 每次试验 A、 B中 有且只有一个发生 A B AB
16、 称B 为A的对立事件(or逆事件)， 记为 注意：“A 与B 互相对立”与 “A 与B 互斥”是不同的概念 7. 事件的对立 A 8. 完备完备事件组 n i i A 1 n AAA, 21 若 两两互斥，且 n AAA, 21 则称 为完备完备事件组 1 A n A 1n A 2 A 3 A n AAA, 21 或称 为 的一个划分 q 吸收律 AABA AA A )( ABAA A AA )( q 幂等律AAAAAA q 差化积)(ABABABA q 重余律 AA 运算律运算律 对应事件 运算 集合 运算 q 交换律ABBABAAB q 结合律)()(CBACBA )()(BCACAB
17、q 分配律)()()(CBCACBA )()(CABABCA BABABAAB n i i n i i AA 11 n i i n i i AA 11 q 反演律 运算顺序： 逆交并差，括号优先逆交并差，括号优先 B C A )(BCA B A C A 分配律 图 示 )(CABA A A B )(BA B ABABA)( 红色红色 区域区域 黄色黄色 区域区域 交交 例例2 2 用图示法简化用图示法简化. )(BABA AB A A )(BA 例例3 3 化简事件 ACCBA)( 解解 原式ACCBA ACCBCA CBA ACCBA ACCBA)( CBCCA)( CBA 例例4 4 利用
18、事件关系和运算表达多 个事件的关系 A ,B ,C 都不发生 CBACBA A ,B ,C 不都发生 CBAABC 例例5 5 在图书馆中随意抽取一本书， A表示数学书， B 表示中文书， C表示平装书. 抽取的是精装中文版数学书 CAB BC 精装书都是中文书 BA 非数学书都是中文版的，且 中文版的书都是非数学书 则 事件 作业: P30 习题一 2 、5、7、9、11、13、 18。 在一次乒乓球比赛中设立奖金1千 元.比赛规定谁先胜了三盘,谁获得全部 奖金.设甲,乙二人的球技相等,现已打了 3盘, 甲两胜一负, 由于某种特殊的原因 必须中止比赛.问这1000元应如何分配 才算公平? 问
19、问 题题1 1.2 概率的定义及计算概率的定义及计算 历史上概率的三次定义历史上概率的三次定义 公理化定义 统计定义 古典定义 概率的最初定义 基于频率的定义 1930年后由前 苏联数学家柯尔莫哥洛夫给出 设在 n 次试验中，事件 A 发生了m 次， 频率频率 n m f n 则称 为事件 A 发生的 频率频率 频率的性质频率的性质 q 1)(0Af n q 1)( n f q 事件 A, B互斥，则 )()()(BfAfBAf nnn 可推广到有限个两两互斥事件的和事件 非负性非负性 归一性归一性 可加性可加性 稳定性稳定性 某一定数某一定数 )()(limAPAf n n q 投一枚硬币观
20、察正面向上的次数 n = 4040, nH =2048, f n( H ) = 0.5069 n = 12000, nH =6019, f n( H ) = 0.5016 n = 24000, nH =12012, f n( H ) = 0.5005 频率稳定性的实例频率稳定性的实例 蒲丰蒲丰( Buffon )投币投币 皮尔森皮尔森( Pearson ) 投币投币 例例 Dewey G. 统计了约438023个英语单词 中各字母出现的频率, 发现各字母出现 的频率不同： A: 0.0788 B: 0.0156 C: 0.0268 D: 0.0389 E: 0.1268 F: 0.0256 G
21、: 0.0187 H: 0.0573 I: 0.0707 J: 0.0010 K: 0.0060 L: 0.0394 M: 0.0244 N: 0.0706 O: 0.0776 P: 0.0186 Q: 0.0009 R: 0.0594 S: 0.0634 T: 0.0987 U: 0.0280 V: 0.0102 W: 0.0214 X: 0.0016 Y: 0.0202 Z: 0.0006 频频 率率 的的 应应 用用 第五章指出第五章指出:当试验次数较大时有当试验次数较大时有 事件发生事件发生 的的概概 率率 事件发生事件发生 的的频频 率率 根据如下百年统计资料可得根据如下百年统计资料
22、可得 世界每年发生大地震的概率世界每年发生大地震的概率 近百年世界重大地震近百年世界重大地震 1905.04.04 克什米尔地区 8.0 88 万 1906.08.17 智利瓦尔帕莱索港地区 8.4 2 1917.01.20 印度尼西亚巴厘岛 1.5 万 1920.12.16 中国甘肃 8.6 10 万 1923.09.01 日本关东地区 7.9 14.2 万 1935.05.30 巴基斯坦基达地区 7.5 5 万 时 间 地 点 级别死亡 “重大”的标准 震级 7 级左右 死亡 5000人以上 时 间 地 点 级别死亡 1948.06.28 日本福井地区 7.3 0.51 万 1970.01
23、.05 中国云南 7.7 1 万 1976.07.28 中国河北省唐山 7.8 24.2 1978.09.16 伊朗塔巴斯镇地区 7.9 1.5 1995.01.17 日本阪神工业区 7.2 0.6 万 1999.08.17 土耳其伊兹米特市 7.4 1.7 万 2003.12.26 伊朗克尔曼省 6.8 3 万 2004.12.26 印尼苏门答腊岛附近海域 9.0 15 万 世界每年发生大地震概率约为世界每年发生大地震概率约为1414% % 世界性大流感每世界性大流感每30-4030-40年发生一次年发生一次 近百年世界重大流感 1918年年 西班牙型流感西班牙型流感 H1N1亚型亚型 4
24、4亿人感染亿人感染 50005000万人死亡万人死亡 1957年年 亚洲型流感亚洲型流感 H2N2 亚型亚型 1968年年 香港型流感香港型流感 H3N2 亚型亚型 2020天传遍美国天传遍美国 半年席卷全球半年席卷全球 2005年年8月月26日日“超女超女”决决 赛赛 李宇春 周笔畅 张靓颖 3528308票 3270840票1353906票 手机投票总数手机投票总数 8153054 李宇春李宇春 得票频率 43.27% 周笔畅周笔畅 得票频率 40.12% 张靓颖张靓颖 得票频率 16.61% 得票频率可被视为获胜概率得票频率可被视为获胜概率 概率的概率的 统计定义统计定义 概率的定义概率
25、的定义 在相同条件下重复进行的 n 次 试验中, 事件 A 发生的频率稳定地在某一 常数 p 附近摆动, 且随 n 越大摆动幅度越 小, 则称 p 为事件 A 的概率, 记作 P(A). 对本定义的评价对本定义的评价 优点：直观 易懂 缺点：粗糙 模糊 不便 使用 设 是随机试验E 的样本空间，若能找到 一个法则，使得对于E 的每一事件 A 赋于一个 实数，记为P ( A ), 称之为事件 A 的概率，这种 赋值满足下面的三条公理： q 非负性：0)(,APA q 归一性：1)(P 11 )( i i i i APAP q 可列可加性： , 21 AA其中 为两两互斥事件， 概率的公理化定义概
26、率的公理化定义 概率的性质概率的性质 q 0)(P q )(1)(APAP1)( AP q 有限可加性: 设 n AAA, 21 两两互斥 n i i n i i APAP 11 )( q 若 BA)()()(APBPABP )()(BPAP q 对任意两个事件A, B, 有 )()()(ABPBPABP B A B=AB+(B A) P(B)=P(AB)+ P(B AB) B - AB AB q 加法公式：对任意两个事件A, B, 有 )()()()(ABPBPAPBAP )()()(BPAPBAP 推广推广： )( )()()( )()()()( ABCP BCPACPABP CPBPAP
27、CBAP )() 1()( )()()( 21 1 1 111 n n n nkji kji nji ji n i i n i i AAAPAAAP AAPAPAP 一般一般： 右端共有 项. 12 n 例例1 1 小王参加“智力大冲浪”游戏, 他能答 出甲、乙二类问题的概率分别为0.7和0.2, 两类问题都能答出的概率为0.1. 求小王 解解 事件A , B分别表示“能答出甲,乙类问题” (1) 6 . 01 . 07 . 0)()()(ABPAPBAP (1) 答出甲类而答不出乙类问题的概率 (2) 至少有一类问题能答出的概率 (3) 两类问题都答不出的概率 (2) 8 . 0)()()(
28、)(ABPBPAPBAP (3) 2 . 0)()(BAPBAP 例例2 2 设A , B满足 P ( A ) = 0.6, P ( B ) = 0.7, 在何条件下， P(AB) 取得最大(小)值？ 最大(小)值是多少？ 解解 )()()()(ABPBPAPBAP )()()()(BAPBPAPABP 3 . 01)()(BPAP 1)(BAP 最小值在 时取得 6 . 0)()(APABP 最小值 最大值 )()(BPBAP最大值在 时取得 最小值是否正确？ 例2 中回答当 时, 取得BA)(BAP 这相当于问如下命题是否成立 答：不成立 ！ BA 1)(BAP 式是式是“ “羊肉包子打狗
29、羊肉包子打狗 ” ”有去路有去路,没回路没回路 为什么呢？学了几何概型便会明白. 设 随机试验E 具有下列特点： q 基本事件的个数有限 q 每个基本事件等可能性发生 则称 E 为 古典(等可能)概型 古典概型中概率的计算： 记 中包含的基本事件总数n 的基本事件个数组成 Ak nkAP/)( 则 古典（等可能）概型古典（等可能）概型 概率的概率的 古典定义古典定义 排列组合有关知识复习排列组合有关知识复习 加法原理：完成一件事情有n 类方法，第 i 类 方法中有 mi 种具体的方法，则完成这件事情 n i i m 1 种不同的方法 乘法原理：完成一件事情有n 个步骤，第 i 个 步骤中有 m
30、i 种具体的方法，则完成这件事情 n i i m 1 种不同的方法 共有 共有 排列排列 从 n 个不同的元素中取出 m 个 (不放 回地）按一定的次序排成一排不同的 排法共有 ) 1()2)(1(mnnnnAm n 全排列全排列 !nA n n 可重复排列可重复排列 从 n 个不同的元素中可重复地 取出 m 个排成一排, 不同的排法有 m n 种 不尽相异元素的全排列不尽相异元素的全排列 n 个元素中有 m 类， 第 i 类中有 个相同的元素， i k , 21 nkkk m 将这 n 个元素按一定的次序排成一排， ! ! 21m kkk n 种 不同的排法共有 m kkk, 21 nkkk
31、 m 21 ，不同的分法共有 多组组合多组组合 把 n 个元素分成 m 个不同的组 （组编号）， 各组分别有 个元 素， n n k k k kn k n CCC 2 1 1 种 组合组合 从 n 个不同的元素中取出 m 个(不放 回地）组成一组， 不同的分法共有 )!( ! ! mnm n C m n bam 例例3 3 袋中有a 只白球，b 只红球，从袋中按 不放回与放回两种方式取m个球（ ), 求其中恰有 k 个 （ ）白球的概率mkak , bam ) 1() 1)( )( mbababaAn m ba 解解 （1）不放回情形不放回情形 E: 球编号，任取一球，记下颜色，放在一边， 重
32、复 m 次 : 记事件 A 为m个球中有k个白球，则 )!( ! )!( ! )!( ! ! kmb b ka a kmk m AACn km b k a k mA 又解又解 E1: 球编号, 一次取 m 个球,记下颜色 m ba Cn 1 1: 记事件 A 为m个球中有k个白球，则 km b k aA CCn 不放回地逐次取 m 个球, 与一次任取 m 个 球算得的结果相同. 则 m ba km b k a k m A AAC AP )(mkak , 因此 m ba km b k a C CC AP )(mkak , 称超几 何分布 （2）放回情形放回情形 E2: 球编号, 任取一球, 记下
33、颜色, 放回去, 重复 m 次 m ban)( 2 2: 记 B 为取出的 m 个球中有 k 个白球, 则 m kmkk m ba baC BP )( )( kmk k m ba b ba a C ba a p 记 ),min(, 2 , 1)1 ()(makppCBP kmkk m 称二项分布二项分布 设有 k 个不同的球, 每个 球等可能地落入 N 个盒子中（ ）, 设 每个盒子容球数无限, 求下列事件的概率: Nk （1）某指定的 k 个盒子中各有一球； （4）恰有 k 个盒子中各有一球； （3）某指定的一个盒子没有球； km （2）某指定的一个盒子恰有 m 个球( ) （5）至少有两个
34、球在同一盒子中； （6）每个盒子至多有一个球. 例例4 4 （分房模型）（分房模型） 解解k Nn 设 (1) (6)的各事件分别为 61 AA 则 ! 1 kmA k A N k n m AP ! )( 1 1 k k N N kC AP ! )( 4 k k N N AP ) 1( )( 3 k mkm k N NC AP ) 1( )( 2 k k N k N kCN AP ! )( 5 )(1 4 AP k A Nm) 1( 3 mkm kA NCm ) 1( 2 ! 4 kCm k NA ! 5 kCNm k N k A ! 6 kCm k NA )()( 46 APAP 例例4的的
35、“分房模型分房模型”可应用于很多类似场合可应用于很多类似场合 “球”可 视为 人 “盒子” 相应 视为 房子 信封信 钥匙 门锁 女舞伴 生日人 男舞伴 例例5 5 “分房模型分房模型”的应用的应用 生物系二年级有 n 个人，求至少有两 人生日相同（设为事件A ) 的概率. 解解 为 n 个人的生日均不相同,这相当于 A 本问题中的人可被视为“球”，365天为 365只“盒子”. 若 n = 64， 每个盒子至多有一个球. 由例4（6） n n nC AP 365 ! )( 365 . 365 ! 1)(1)( 365 n n nC APAP .997. 0)(AP 解解 .5040 4 10
36、 An 例例6 6 在0,1,2,3, ,9中不重复地任取四个数， 求它们能排成首位非零的四位偶数的概率. 设 A为“能排成首位非零的四位偶数” 四位偶数的末位为偶数, 故有 种可能 1 5 C 而前三位数有 种取法,由于首位为零的四 3 9 A 位数有 种取法,所以有利于A发生的取 12 48 C A 2296 2 8 1 4 3 9 1 5 ACACnA 法共有 种. 90 41 5040 2296 )(AP 2121 AAAAA 解解 n n9 设 A 表示事件 “n 次取到的数字的乘积 能被10整除” 设 A1 表示事件 “n 次取到的数字中有偶数” A2表示事件 “n 次取到的数字中
37、有5” A = A1 A2 例例7 7 在1,2,3, ,9中重复地任取 n ( )个数, 求 n 个数字的乘积能被10整除的概率. 2 n n AP 9 5 1 n n AP 9 8 2 n n AAP 9 4 21 n nnn AAPAPAP AAPAP 9 485 2121 21 . 9 485 1 n nnn AP 将15 名同学(含3 名女同学), 平均分成 三组. 求 (1) 每组有1 名女同学(设为事件A)的概率； (2) 3 名女同学同组(设为事件B)的概率 解解 5 5 5 10 5 15 CCCn （1） 1 1 1 2 1 3 4 4 4 8 4 12 CCCCCCnA
38、91 25 )(AP （2） 5 5 5 10 2 12 1 3 CCCCnB 91 6 )(BP 例例8 8 把标有 1,2,3,4 的 4 个球随机地放入标有 1,2,3,4 的 4 个盒子中，每盒放一球，求 至少有一个盒子的号码与放入的球的号 码一致的概率。 解解 设 A 为所求的事件 设 Ai 表示 i 号球入 i 号盒， i = 1,2,3,4 则 4 1 i i AA 4 , 3 , 2 , 1, 4 1 ! 4 ! 3 )(iAP i 例例9 9( 类似于教材 P.18 例13 ) 41, 12 1 ! 4 ! 2 )(jiAAP ji 41, 24 1 ! 4 ! 1 )(kj
39、iAAAP kji 24 1 )( 4321 AAAAP 4141 )()()( ji ji i i AAPAPAP 8 5 )()( 4321 41 AAAAPAAAP kji kji 由广义加法公式 1o 明确所作的试验是等可能概型,有时需 设计符合问题要求的随机试验, 使其成为 等可能概型. 3o 计算古典概率时须注意应用概率计算的有关公式, 将复杂 问题简单化. 如例7. 2o 同一题的样本空间的基本事件总数 随试验设计的不同而 不同, 如 例3不放回试验的两种不同设计. 一般 越小越好. n n 计算古典概率注意事项计算古典概率注意事项 若P(A) 0.01 , 则称A为小概率事件.
40、 小概率事件 一次试验中小概率事件一般是不 会发生的. 若在一次试验中居然发生了, 则可怀疑该事件并非小概率事件. 小概率原理 ( 即实际推断原理 ) 例例1010 区长办公室某一周内曾接待过9次来 访, 这些来访都是周三或周日进行的,是否 可以断定接待时间是有规定的？ 解解 假定办公室每天都接待，则 P( 9次来访都在周三、日) = = 0.0000127 9 9 7 2 这是小概率事件,一般在一次试验中不会发 发生. 现居然发生了, 故可认为假定不成立, 从而推断接待时间是有规定的. 柯尔莫哥洛夫 ( A. H. 1903-1987 ) 1939年任苏联科学 院院士.先后当选美,法, 意,
41、荷,英,德 等国的外籍 院士 及皇家学会会员. 为 20 世纪最有影响的俄 国数学家. 俄国数学家 柯尔莫哥洛夫为开创现代数学的一 系列重要分支作出重大贡献. 他建立了在测度论基础上的概率论 公理系统, 奠定了近代概率论的基础. 他又是随机过程论的奠基人之一, 其主要工作包括: 20年代 关于强大数定律、重对数 律的基本工作; 1933年在概率论的基本概念 一文中提出的概率论公理体系(希尔伯 特第6问题) 30年代建立的马尔可夫过程的两 个基本方程; 用希尔伯特空间的几何理论建立 弱平稳序列的线性理论; 40年代完成独立和的弱极限理论, 经验分布的柯尔莫哥洛夫统计量等; 在动力系统中开创了关于
42、哈密顿系 统的微扰理论与K系统遍历理论; 50年代中期开创了研究函数特征的 信息论方法, 他的工作及随后阿诺尔德 的工作解决并深化了希尔伯特第13问题 用较少变量的函数表示较多变量的 函数 ; 60年代后又创立了信息算法理论; 1980年由于它在调和分析, 概率论, 遍历理论 及 动力系统方面 出色的工作 获沃尔夫奖; 他十分重视数学教育,在他的指引 下,大批数学家在不同的领域内取得重 大成就.其中包括.M.盖尔范德,B. 阿诺尔德, .西奈依等人. 他还非常重视基础教育, 亲自领导 了中学 数学教科书的编写工作. 问问 题题 2 已知 P ( A ) = P ( B ) = P(C) = 1
43、/4 , P(AB) = 0 , P(AC) = P(BC) = 1/6 则事件A，B，C 全不发生的概率为 . 通过做此题 你能发现什么问题？ （此题是1992年考研填空题） 设样本空间为有限区域 , 若样本点 落入 内任何区域 G 中的概率与区域G 的测度成正比, 则样本点落入G内的概率 为 的测度 的测度 G AP)( 1.3 1.3 几何概型几何概型 例例1111 某人的表停了，他打开收音机听电台 报时，已知电台是整点报时的，问他等待 报时的时间短于十分钟的概率 9点10点 10分钟 6 1 60 10 )(AP 几何概型几何概型 (等可能概型的推广) 例例1212 两船欲停同一码头,
44、 两船在一昼夜内 独立随机地到达码头. 若两船到达后需在 码头停留的时间分别是 1 小时与 2 小 时， 试求在一昼夜内，任一船到达时，需 要等 待空出码头的概率. 解解 设船1 到达码头的瞬时为 x , 0 x 24 船2 到达码头的瞬时为 y , 0 y 0) 的一些平行直线， 现向此平面任意投掷一 根长为l( 0 , 则 )(/ )(APABP 称 为事件 A 发生的条件下事 件 B 发生的条件概率，记为 定义定义 从而有从而有 A AB k k ABP 7 4 10/ 7 10/ 4 n k n k A AB ABP )( )( AP ABP （1） 古 典 概 型 可用缩减样本空间法
45、 （2） 其 他 概 型 用定义与有关公式 条件概率的计算方法 条件概率也是概率条件概率也是概率, , 故具有概率的性质：故具有概率的性质： 0)(ABP 1)(AP 11i i i i ABPABP q 非负性 q 归一性 q 可列可加性 )()()()( 212121 ABBPABPABPABBP q )(1)(ABPABP q )()()( 21121 ABBPABPABBP q 利用条件概率求积事件的概率即乘法公式乘法公式 ) 0)()()(APABPAPABP ) 0)()()(BPBAPBPABP 推广推广 ) 0)( )()( 121 12112121 n nnn AAAP AA
46、AAPAAPAPAAAP 乘法公式乘法公式 某厂生产的灯泡能用1000小时的概率 为0.8, 能用1500小时的概率为0.4 , 求已用 1000小时的灯泡能用到1500小时的概率 解解 令 A 灯泡能用到1000小时 B 灯泡能用到1500小时 所求概率为 )( )( AP ABP ABP AB 2 1 8 . 0 4 . 0 )( )( AP BP 例例1 1 例例2 2 从混有5张假钞的20 张百元钞票 中任意抽出2张, 将其中1张放到验钞机上 检验发现是假钞. 求2 张都是假钞的概率. 解一解一 令 A 表示 “其中1张是假钞”. B表示 “2 张都是假钞” 由缩减样本空间法得 4/1
47、9 0.2105.P A B 下面两种解法哪个正确？ 解二解二 令 A 表示“抽到2 张都是假钞”. B表示“2 张中至少有1张假钞” BA )(APABP 2 20 2 5 /CC 2 20 1 15 1 5 2 5 / )(CCCCBP )(/ )(BPABPBAP 所以 118. 085/10)/( 1 15 1 5 2 20 2 5 CCCC 例例3 3 盒中装有5个产品, 其中3个一等品，2个 二等品, 从中不放回地取产品, 每次1个, 求 （1）取两次，两次都取得一等品的概率; （2）取两次，第二次取得一等品的概率; （3）取三次，第三次才取得一等品的概率; （4）取两次，已知第二
48、次取得一等品，求 第一次取得的是二等品的概率. 解解 令 Ai 为第 i 次取到一等品 （1） 10 3 4 2 5 3 )()()( 12121 AAPAPAAP (3) 213121321 )(AAAPAAPAPAAAP 10 1 3 3 4 1 5 2 （2）直接解更简单5/3)( 2 AP )()()()( 212121212 AAPAAPAAAAPAP（2） 5 3 4 2 5 3 4 3 5 2 (4) )( )()( )( )( 2 212 2 21 21 AP AAPAP AP AAP AAP 5 . 01 5 3 10 3 条件概率与无条件概率条件概率与无条件概率 之间的大小
49、无确定关系之间的大小无确定关系 )( )( )( )( )( BP AP BP AP ABP ABP 若若 AB 一般地一般地 条件概率条件概率无条件概率无条件概率 例例4 4 为了防止意外,矿井内同时装有A 与B两 两种报警设备, 已知设备 A 单独使用时有效 的概率为0.92, 设备 B 单独使用时有效的概 率为0.93, 在设备 A 失效的条件下, 设备B 有 效的概率为 0.85, 求发生意外时至少有一个 报警设备有效的概率. 设事件 A, B 分别表示设备A, B 有效 85. 0ABP 92. 0AP 93. 0BP已知 求BAP 解解 解解由 )(1 )()( AP ABPBP ABP 08. 0 )(93. 0 85. 0 ABP 即 862. 0)(ABP 故 988. 0862. 093. 092. 0 )()()()( ABPBPAPBAP 解法二解法二 BAP 988. 0)(BAP )()()(ABPAPBAP 012. 085. 0108. 0 )(1)( ABPAP B1 Bn AB1 AB2 ABn ji n i i BB B 1 )( 1 ji n i i ABAB ABA n i i ABPAP 1 )()()()( 1 i n i i BAPBP 全概率公式 A Bayes公式)(ABP k )( )( AP ABP k n i ii kk
