1、一轮复习大题专练一轮复习大题专练 24解三角形（求值问题解三角形（求值问题 1） 1已知四边形ABCD中，ABAD， 6 BDC ，2AD ，4DC （1）若 5 cos 3 ABD，求BD，BC； （2）若CADC ，求sinCBD 解： （1）在Rt ABD中，由于 5 cos 3 ABD， 所以 2 2 sin1cos 3 ABDABD， 故3 sin AD BD ABD ， 在BDC中，利用余弦定理： 222 2cos2512 3BCBDCDBD DCBDC， 故2512 3BC （2）设CBDx，由于CADC ，由 6 BDC ， 所以 5 6 Cx ， 6 ABDx ， 在Rt A
2、BD中，由于2AD ， 所以 2 sin sin() 6 AD BD ABD x ， 在BCD中，由正弦定理： sinsin BDCD CCBD ，整理得 4 5 sin sin() 6 BD x x ， 所以 24 5 sin sin()sin() 66 x xx ， 所以 2 4sin2sin10 xx ， 由于sin0 x ， 得： 15 sin 4 x 即 15 sin 4 CBD 2记ABC的内角A，B，C的对边分别为a，b，c已知 2 bac，点D在边AC上， sinsinBDABCaC （1）证明：BDb； （2）若2ADDC，求cosABC 解： （1）证明：由正弦定理知，2
3、sinsin bc R ABCACB ， 2 sinbRABC，2 sincRACB， 2 bac， 2 sin2 sinbRABCaRACB ， 即sinsinbABCaC， sinsinBDABCaC BDb； （2）由（1）知BDb， 2ADDC， 2 3 ADb， 1 3 DCb， 在ABD中，由余弦定理知， 222 22222 2 2 () 139 3 cos 2 212 2 3 bbc BDADABbc BDA BD ADb bb ， 在CBD中，由余弦定理知， 222 22222 2 1 () 109 3 cos 1 26 2 3 bba BDCDBCba BDC BD CDb
4、bb ， BDABDC ， coscos0BDABDC， 即 2222 22 139109 0 126 bcba bb ， 得 222 1136bca， 2 bac， 22 31160caca， 3ca 或 2 3 ca， 在ABC中，由余弦定理知， 22222 cos 22 acbacac ABC acac ， 当3ca时， 7 cos1 6 ABC（舍)； 当 2 3 ca时， 7 cos 12 ABC； 综上所述， 7 cos 12 ABC 3如图，在ABC中，9AB ， 2 cos 3 B ，点D在BC边上，7AD ，ADB为锐角 （）求BD； （）若BADDAC ，求sinC的值及C
5、D的长 解： （1）ABD中，由余弦定理得 222 2cosADABBDAB BDB， 所以 2 2 498129 3 BDBD ， 解得8BD 或4BD ， 当4BD 时， 1649812 cos 2477 ADB ，此时 2 ADB ，不符合题意，舍去， 当8BD 时， 6449812 cos 2877 ADB ，此时 2 ADB ，符合题意， （2）BAD中， 222 11 cos 221 ABADBD BAD AB AD ， 所以 8 5 sin 21 BAD， 又 3 5 sin 7 ADB， 所以 3 51128 517 5 sinsin()sin() 721721147 CADB
6、CADADBBAD， ACD中，由正弦定理得 sinsin CDAD CADC ， 所以 78 5392 sin sin211717 5 147 AD CDCAD C 4已知函数 2 ( )2 3sin cos2cos1f xxxx （1）若0 x， 2 ，求函数( )f x的值域； （2） 在ABC中，a，b，c分别是角A，B，C所对的边， 若7a ，3b ， 且()3 2 A f， 求边c的值 解： （1） 2 ( )2 3sin cos2cos13sin2cos22sin(2) 6 f xxxxxxx ， 若0 x， 2 ，则 7 2, 666 x ， 所以 1 sin(2) 1 26
7、x ，1( ) 2f x ， 所以函数( )f x的值域 1，2； （2）因为()2sin()3 26 A fA ， 所以 3 sin() 62 A ， 由A为三角形内角得 63 A 或 2 63 A ， 所以 6 A 或 2 A ， 当 6 A 时，7a ，3b ， 由余弦定理得 2 337 cos 22 3 c A c ， 解得4c ， 当 2 A 时，7a ，3b ， 由勾股定理得 2 73c，即2c ， 综上2c 或4c 5ABC的内角A，B，C的对边分别为a，b，c，已知(2cos)(2coscos)aCcBA （）求cosC； （）若ABC的面积 8 3 3 ABC S，sin()
8、sin()2sin2ABABB，求c 解：( ) I因为(2cos)(2coscos)aCcBA 所以sin(2cos)sin(2coscos)ACCBA， 整理得2sinsincossincos2sincossin()2sincosACAACCBACCB， 所以2sin()sin()2sincosBCACCB， 所以2sincos2sincossin()2sincosBCCBACCB， 2sincossin()sinBCACB 因为sin0B ， 所以 1 cos 2 C ； ()II因为sin()sin()2sin2ABABB， 所以sincoscossincossincos4sincos
9、ABinBAABBABB ， 整理得sincos2sincosABBB， 当 2 B 时，cos0B ， 3 C ， 6 A ，此时 18 3 23 ABC Sac ，且3ca， 解得4c ； 当cos0B 时，sin2sinAB，由正弦定理得2ab， 此时 2 138 3 sin2 243 ABC SabCb ， 所以 4 3 3 b ， 8 3 3 a ， 所以 2 16644 38 31 216 33332 c ， 所以4c 6ABC中，内角A、B、C所对的边分别为a、b、c若sin3 sin()0 2 cAaC ， 36cb，且点M满足 1 3 AMAB （）求角C； （）求CM的长 解： （） sin3 sin()0 2 cAaC ，可得sin3 cos0cAaC， sinsin3sincos0CAAC， 又sin0A ， tan3C ， 2 C ， 2 3 C （） 3 sin 2 C ，36cb，可得2 3b ， 由正弦定理得， 3 sin1 2 sin 23 b bC B cb ， 0 3 B ， 6 B ， 6 ABC ，由 1 3 AMAB ，可得 1 62 3 AM ， 在ACM中 ， 由 余 弦 定 理 得 ， 222 2cosCMAMACAM ACA， 即 222 3 2(2 3)222 34 2 CM ， 解得2CM
