1、第1页 共 9 页 极值点偏移 2：非纯偏移（转化） 【例 1】 【2021贵州贵阳市高三上期末质检理科】已知函数 lnf xaxx有两个零点 12 ,x x. （1）求a的取值范围； （2）求证： 2 12 x xe. 【答案】 ： （1） 1 0, e ； （2）证明见解析. 【解析】 ：(1) fx有两个零点 lnx a x 有两个相异实根 令 lnx G x x ，则 2 1 ln x Gx x 由 0Gx 得：0 xe，由 0Gx 得：xe， G x在0,e单调递增，在, e 单调递减， max 1 G xG e e ， 又 10G，当01x时， 0G x ；当1x 时， 0G x
2、当x 时， 0G x ， f x有两个零点时，实数a的取值范围为 1 0, e （2）不妨设 12 xx，由题意得 11 22 ln ln axx axx , 1212 lnlna xxxx， 2121 lnlna xxxx, 21 21 lnlnxx a xx ， 要证： 2 12 x xe，只需证 12 lnln2xx. 2 2112 121212 2 211 1 1 lnln lnlnln 1 x xxxx xxa xxxx x xxx x ， 令 2 1 x t x ，1t ，只需证 1 ln2 1 t t t 第2页 共 9 页 1t ， 1 0 1 t t ，只需证： 21 ln
3、1 t t t . 令 21 ln1 1 t F ttt t , 2 22 114 0 11 t Ft t tt t ， F t在 1,递增， 10F tF ， 21 ln 1 t t t 成立. 综上所述， 2 12 x xe成立 【解法二】欲证 2 12 ex x ，需证 12 lnln2xx若 f x有两个极值点 1 x， 2 x，即函数 fx有两个零 点 又 lnfxxmx， 所以， 1 x， 2 x是方程 0fx的两个不同实根 显然0m ， 否则， 函数 fx 为单调函数，不符合题意 由 11 1212 22 ln0 lnln ln0 xmx xxm xx xmx ， 【例 2】 【
4、2019四川宜宾三诊理科】已知函数 2 ax f xea x，0a （1）讨论 fx的单调性； （2）若函数 fx有两个零点 1212 ,x xxx，求证： 12 2 axax ee 【答案】 ： （1） fx的增区间是0,，减区间是,0； （2）证明见解析. 【解析】 ： （1）对函数求导可得1 axax fxaeaa e（ ）（），令0fx （ ），得0 x 第3页 共 9 页 当0a时，若0 x ，则1 ax e ，即 0fx（ ）；若0 x，则 1 ax e ，即 0fx（ ） 当0a时，若0 x，则1 ax e ，即 0fx（ ）；若0 x，则 1 ax e ，即 0fx（ ） 综上
5、， fx的单调递增区间是0 ，），单调递减区间是0（， ） （2）证明：由（1）知， fx有两个零点时， 12 0 xx， 0 0020fea， 1 2 a 令 1 1 ax et， 2 2 ax et，则 1122 ln ,lnaxt axt 12 tt，为方程ln20tta的两个根 令 ln2g ttta ，则 12 tt，为 g t的两个零点， 12 01tt 1211 22gtg tgtg t 1111 2ln 22ln2ttatta 111 22ln 2lnttt 令 11111 h t22tln 2tlnt ,t(0,1)，则 2 1111 1 1 111111 2 222(1)1
6、1 20 222 t tttt h t ttt tt t 1 h t（ ）在01（ ， ）上单调递增， 1 10h th（ ）（） 12 20gtg t（） （ ），即 12 2gtg t（）（ ） 11 1 t gt tt ，当1t（，）时，g t（ ）单调递增 12 211tt（）（，），（，）， 12 2tt ， 12 2tt ， 12 2 axax ee. 【演练题组 1】 1、已知函数 1 2 2 ln x e f xaxaR xx . （1）若1a ，求 fx的单调区间； （2）若 fx在0,2上有两个极值点 12 ,x x 12 xx. （i）求实数a的取值范围； （ii）求证：
7、 12 1x x . 【答案】 ： （1）递减区间0,2，递增区间为2,； （2） （i）1 2 e a， （ii）证明见解析. 第4页 共 9 页 【解析】 ： （1） 1 3 2 0 x xex fxx x ，令 1 0 x g xex x ， 1 1 x g xe ， 因为0 x ， 1 1 x e e ， 所以当0,1x时， 0gx ， g x单调递减； 所以当1,x时， 0gx ， g x单调递增，所以 0 110g xge ， 所以当0,2x时， 0fx ，当2,x时， 0fx ， fx的单调递减区间0,2，单调递增区间为2,. （2） （i） 1 3 2 0 x xeax fxx
8、 x ， 要使 fx在0,2上有两个极值点 12 ,x x，则 1x g xeax 在0,2上有两个不同的零点， 1a 时，由（1）知， 11xx g xeaxex ， 令 1x S xex ，故 1 10 x Sxe ，所以 S x在0,2上为增函数， 所以 00S xS，故 0g x ，故 g x在0,2上无零点，舍. 当ae时，0,2x， 1 1 , x ee e ， 1 0 x gxea ， 则 g x在0,2上单调递减 ，故 g x最多只有一个零点，不合题意，舍去. 当1ae时，由（1）知所以 g x在0,ln1a上单调递减，在ln1,2a上单调递增， 所以 min ln1lng x
9、gaaa ，即要使 1 00 ln1ln0 220 g e gaaa gea ，解得1 2 e a， 综上所述，a的取值范围为1 2 e a. （ii）由（i）知， 12 0g xg x， 12 0ln12xax ， 即 1 2 1 1 1 2 x x eax eax ，故 11 22 1lnln 1lnln xax xax ，所以 1212 22lnlnxxax x ， 第5页 共 9 页 要证 12 1x x ，只要证 12 22ln0 xxa，就要证 21 22lnxax， 由上可知 g x在ln1,a上单调递增，所以只要证 21 22lng xgax，而 21 g xg x， 所以只要
10、证 11 22lng xgax， （*） 令 22ln0ln1h xg xgaxxa，即 2 2ln 1 221ln xa x h xeeaxaa e ， 所以 2 2ln2 2ln 11 2220 xa xxa x hxeeaeea ee ，故 h x在0,ln1a上单调递增， 所以当0,ln1xa时， 1 ln0h xha，即 22ln0g xgax， 11 22ln0g xgax，即（*）式成立，所以 12 1x x 得证. 2、已知函数 lnf xaxx（aR） （1）求函数 f x的单调区间； （2）若函数 f x有两个零点 12 ,x x，证明： 12 11 2 lnlnxx .
11、【答案】 ： 【解析】 ： 第6页 共 9 页 3、已知函数 2 2lnlnfxxxax.（aR） （）令 g xxfx，讨论 g x的单调性并求极值； （）令 2 2lnh xfxx，若 h x有两个零点； （i）求a的取值范围； （ii）若方程ln0 x xeaxx有两个实根 12 ,x x，且 12 xx，证明： 12 2 12 xx e e x x . 【答案】 ： （） g x单调递减区间为0,2，单调递增区间为2,，极小值为 222ln2ga， 无极大值； （） （i）ae； （ii）证明见解析. 【解析】 ： （）因为 2ln 1 xa fx xx ，所以 2lng xxfxxx
12、a ， 0,x 则 2x gx x ， x0,222, gx 负0正 g x单调递减极小值单调递增 第7页 共 9 页 所以 g x单调递减区间为0,2，单调递增区间为2, 极小值为 222ln2ga，无极大值. （） （i） lnh xxax有两个零点. 因为 1 axa h x xx 当0a 时， 0h x ， h x单调递增，不可能有两个零点； 当0a 时，令 0h x ，得0 xa， h x单调递减； 令 0h x ，得xa， h x单调递增.所以 min lnh xh aaaa 要使 h x有两个零点，即使 0h a ，得ae， 又因为 110h ，( )0h eea，所以 h x在
13、1,e存在唯一一个零点，且ae， 2 ee0 aa ha， 所以 h x在, a e e上存在唯一一个零点，符合题意. 综上，当ae时，函数 h x有两个零点. 法二： lnh xxax有两个零点. 等价于1x 时， ln x a x 有两个实根， （1） 令 ln x F x x ， 2 ln1 ln x Fx x 当0,1x时， 0Fx ， F x单调递减，且 0F x ； 当1,xe时， 0Fx ， F x单调递减； 当,xe时， 0Fx ， F x单调递增； F ee， 1x ， F x ；x ， F x . 要使（1）有两个实数根，即使 aF ee， 综上，当ae时，函数 h x有两
14、个零点. 第8页 共 9 页 （ii）elnelne0 xxx xaxxxaxx有两个实根，令 extx ， lng ttat 有两个零点 1 t， 2 t， 1 11e x tx， 2 22e x tx， 所以 11 22 ln0 ln0 tat tat ，所以 2121 lnlnatttt（1） ； 2121 lnlnatttt（2） 要证 12 2 12 xx e e x x ，只需证 12 2 12 xx xex ee，即证 12 12 lnln2 xx xex e， 所以只需证 12 lnln2tt. 由（1） （2）可得 22 11 21 2121 2 21 1 1 ln lnln
15、lnln 1 tt tttt tttt t tt t ，只需证 22 11 2 1 1 ln 2 1 tt tt t t . 设 12 0tt，令 2 1 t t t ，则1t ，所以只需证 1 ln2 1 t t t ，即证 4 ln20 1 t t 令 4 ln2 1 th t t ，1t ，则 2 22 114 0 11 t h t t tt t ， 10h th，即当1t 时， 4 ln20 1 t t 成立. 所以 12 lnln2tt，即 12 2 12 xx xex ee，即 12 2 12 xx e x x e . 4、已知函数 32 2 32 x xx f xxea （1）讨
16、论 f x的极值点的个数； （2）若 f x有 3 个极值点 123 ,x x x（其中 123 xxx） ，证明： 2 132 x xx 【答案】 ： （1）答案见解析； （2）证明见解析. 【解析】 ： （1） 2 11 xx fxxea xxxeax 00 f ， 1 x e fxx xa x ， f（x）的极值点的个数即为 0fx 的变号方程根的个数 第9页 共 9 页 令 x e g x x ， 2 1 x xe gx x ，故g（x）在（0，1）上单调递减（1，+）上单调递增，在（，0） 上单调递减，且当x0 时，g（x）0即 ,0, x e g xe x 根据y a 与 yg x
17、的交点个数可得： 当a0 时，f（x）有 2 个极值点，当ea0 时，f（x）只有 1 个极值点， 当ae时，f（x）有 3 个极值点 （2）证明：因为f（x）有 3 个极值点x1，x2，x3（其中x1x2x3） ，所以 1 1 x eax ， 3 3 x eax 且x21， 即得 31 13 xx ee xx ，要证 2 132 x xx，即x1x31， 由 31 13 xx ee xx ，得 3 31 1 3 1 x xx x xe e xe ，设 3 1 x k x ，k1， 31 xx ek ，所以x3x1lnk， 联立 31 3 1 xxlnk x k x ，得 1 3 1 1 lnk x k klnk x k ， ， 所以 2 13 2 1 k lnk x x k ， 所以要证x1x31，只需 2 2 1 1 k lnk k ，k1， 则有 2 2 1 () k lnk k ，即 11k lnkk kk ，则需证明 1 0lnkk k 令 kt ，t1，即需证明 2 1 0h tlntt t 因为 2 2 222 12121 10 ttt h t tttt 恒成立， 所以h（t）在t（1，+）上是单调递减函数，则有 1 11 10 1 h thln ， 即 2 1 0h tlntt t 成立，所以x1x31，即 2 132 x xx 得以证明
