1、高中数学教学精品论文高中数学教学精品论文 “直线与平面直线与平面”错解点击错解点击 在“直线与平面”内容中，为了研究直线与直线之间，直线与平面之间，平面与平面之间的各 种关系，引进了一些基本概念和数学方法，例如“异面直线”，“直线与平面所成的角”、“二面角”等 概念，反证法、同一法等方法，对于这类特定的概念理解不准确，对这些方法的掌握存在某些缺陷，解题 时就容易出错 下面通过几例，对产生错误的解法进行分析，研究纠正错误的方法，从中吸取有益的教训，以 加深对知识的理解，提高解题能力 例 1证明；斜线上任意一点在平面上的射影，一定在斜线的射影上 错解如图,对于平面，直线 AB 是垂线，垂足 B 是
2、点 A的射影；直线 AC 是斜线，C 是斜足，直线 BC 是斜线 AC 的射影 在 AC 上任取一点 P，过 P 作 PO交 BC 于 O， 点 P 在平面上的射影在 BC 上 点击这样的证明似乎有点道理， 事实上这些点也是在这条斜线在该平面的 射影上，但仔细分析，这些点在这条斜线在该平面的射影上的理论根据不足，过点 P 作 PO交 BC 于 O， 恰恰是本题要证明的是一种易犯的逻辑错误，许多同学在解题中往往错而不觉，对此应引起警觉 正解AC 是平面的斜线，点 C 是斜足，AB，点 B 是垂足 则 BC 是 AC 在平面上的射影 在 AC 上任取一点 P，过点 P 作 PO,垂足为 O AB，
3、PO AB， 点 P 在 A、B、C 三点确定的平面上，因此，PO平面 ABC， OBC 例 2已知、是两个不重合的平面， 若平面平面，平面平面，则平面平面； 若平面内不共线的三个点到平面的距离相等，则平面平面； a、b 是平面内的两条直线，且 a，b，则平面平面； 以上正确命题的个数为() (A)O 个(B)1 个(C)2 个(D)3 个 错解三个命题都正确，选(D) 点击产生错误的原因是对问题不能全面的分析，缺乏把握空间元素位置关系的能力，不是用 特殊代替一般，就是用一般统盖?特殊”如判断、是真命题，只是考虑了图 1 与图 2 的情况，而忽 略了图 3 与图 4 的情况 (1)(2)(3)
4、(4) 而判断是真命题，则是对平面与平面平行的判定定理：“如果一个平面内的两条相交直线都 平行于另一个平面，那么这两个平面平行”没有真正理解，用任意两条直线代替了定理中的特指条件“两 条相交直线” 高中数学教学精品论文高中数学教学精品论文 正解因为三个命题都不正确，所以选(A) 例 3如图E1、E2、F1、F2、G1、G2、H1、H2分别是空间四边形 ABCD 的边 AB、BC、CD、DA 上的 三等分点，求证：E1H1，与 F1G2是异面直线 错证 1(直接法) 连 BD，由题设 AB AE1 = 3 1 ， AD AH1 = 3 2 ， E1H1与 BD 不平行，设其交点为 P， 则 PB
5、D CB CF1 = CD CG2 = 3 2 ,则F1G2BD，PF1G2 又 E1P平面 BCD，且 E1E1P， E1平面 BCD 故平面 BCD 内一点 P 与平面 BCD 外一点 E1的连线 E1P(即 E1H1)与平面 BCD 内不过 P 点的直线 F1G1 是异面直线 错证 2(反证法) 设 E1H1与 F1G2不是异面直线，则 E1H 与 F1G 相交或 E1H1F1G2 设 E1H1F1G2=P， E1H平面 ABD，F1G平面 CBD， 则 E1H1与 F1G2的公共点 P 应在平面 ABD 与平面 CBD 的交线 BD 上， 则 F1G2 BD=P，这与 F1G2BD(C
6、BD 中， CB CF1 = CD CG2 = 3 2 )矛盾， E1H1与 F1G2 不相交 设 E1H1F1G2， F1G2BD，由公理 4 知 E1H1BD，这与 E1H1BD=P(在ABD 中， AB AE1 = 3 1 ， AD AH1 = 3 2 ，E1H1与 BD 不平行，必相 交于一点 P)矛盾， E1H1与 F1G2不平行 综合(1)、(2)知 E1H1与 F1G2是异面直线 点击采用证法 1 时，有些同学往往忽略强调点 P 在平面 CBD 上但不在直线 F1G2上，且点 E1 在直线 E1P 上但不在平面 CBD 上，只证 E1H1与 F1G2无公共点的一面，而忽视它们不在
7、同一平面上，便得出 E1H1与 F1G2是异面直线的结论，这是对其判定定理的片面理解，因而是错误的 在采用证法 2 时，易犯的错误也是不全面，只排除了 E1H1与 F1G2不可能相交而忽略了还应排除 它们平行的可能因此，一定要深刻理解异面直线的定义，克服证题中的片面性 例 4在正方体 ABCDA1B1C1D1中，求它的对角线 BD1与平面 A1B1CD 所成的角 错解连结 A1C 交 BD1于 E，则D1EA 为 BD1与平面 A1B1CD 所成角设正方体的边长为 a. 则 A1E=D1E= 2 3 a又A1D1=a， 在A1ED1中，由余弦定理得 高中数学教学精品论文高中数学教学精品论文 c
8、osA1ED1= EDEA DAEDEA 11 2 11 2 1 2 1 2 = aa aaa 2 3 2 3 2 ) 2 3 () 2 3 ( 222 = 2 2 2 3 4 2 a a = 3 1 A1ED1=arccos 3 1 ,即 BD1与平面 A1B1CD 所成角为 arccos 3 1 . 点击以上证法的错误在于， A1ED1不是直线 BD1与平面 A1B1CD 所成的角.平面的一条斜线与它 在平面上的射影所成的锐角，叫做这条直线与这个平面所成的角，本题中 D1A1不垂直于平面 A1B1CD，所以 A1E 不是 D1E 在平面 A1B1CD 内的射影 正是对“直线在平面内的射影”
9、 这个概念理解不清， 导致了以上错误， 所以在解此类题时，一定要先找出斜足，再作出垂足，垂足与斜足连线才得射影. 正解A1B1平面 A1ADD1,又 A1B1平面 A1B1CD 平面 A1ADD1平面 A1B1CD. 连结 AD1交 A1D 于 O,则D1OA1D, D1O平面 A1B1CD. 连 A1C 交 BD1于 E，连 OE，则 OE 为 D1E 在平面 A1B1CD 内的射影, D1EO 为 BD1与平面 A1B1CD 所成的角. 设正方体的边长为 a, 则 D1O= 2 2 a, OE= 2 1 AB= 2 1 a, 在 RtD1OE 中,tanD1EO= OE OD1 =2, D
10、1E0=aretan2，即 BD1与平面 A1B1CD 所成的角为 arctan2. 例 5已知， AB 是半径为 R 的O 的直径，0CAB，P、Q 是 圆上两点，且AOP=30 0，COQ=450,沿 OC 折叠使半 圆面成一直二面 角(如图)，求 P、Q 两点间的距离. 错解在平面 AOC 内，过点 P 作 PDOC 于 D， 平 面 AOC 平面 BOC，则 PD平面 BOC，连结 DQ， DQ平面 BOC，PDQ 是直二面角 AOCB 的平面角， PDQ=90 0 AOP=30 0， POD=600 在 RtPOD 中， PD=Rsin60 0= 2 3 R, 在 RtDOQ 中，
11、DQ=Rsin45 0= 2 2 R, 在 RtPDQ 中，PQ= 22 QDPD = 22 4 2 4 3 RR =R 2 5 ,即 P、Q 两点间的距离是 高中数学教学精品论文高中数学教学精品论文 R 2 5 点击此证法的错误在于对二面角的平面角理解有误判定一个角是否是二面角的平面角，必 须同时满足三个条件： 顶点在棱上； 角的两边分别在两个半平面内； 这两条射线都必须垂直于棱 误 解中忽视了条件中的“都”字，事实上，DQ 与 OC 不垂直，这再次提醒我们必须搞清空间每个元素的确 切含义，概念一定要清楚，解题过程中要严格按定义要求落实，不能随心所欲 正解同错解，得 PD= 2 3 R. 又 0D= 2 1 R在0DQ 中，由余弦定理得 DQ 2=0D2+0Q2一 20DOQcos450 = 2 2 2 2) 2 ( 22 R R R R = 4 225 R 2 在 RtPDQ 中，由勾股定理，得 PQ= 22 DQPD = 22 4 225 4 3 RR =R 2 228 . 故 P、Q 两点之间的距离为R 2 228 .
