1、高中数学教学精品论文高中数学教学精品论文 过圆锥曲线焦点弦端点切线的一个性质过圆锥曲线焦点弦端点切线的一个性质 经过圆的直径两端点的切线是平行直线，这是一个众所周知的结论，那么经过圆锥曲线焦 点弦两端点的切线是否也有很优美的结论呢？本人经过探索发现经过圆锥曲线焦点弦两端点的切线确实 有很好的性质，下面就对标准位置的圆锥曲线过焦点弦两端点切线性质作一研究。 我们先来研究抛物线的性质 性质一：过抛物线焦点F的弦 AB 两端点的切线 12 ,l l的交点P的轨迹是相应的准线,且APB是定值 2 证明：设抛物线的方程为 2 2ypx（0p ），过焦点(,0) 2 p F的焦点弦为AB， 设 1122
2、( ,), ( ,)A x yB x y，则过,A B两点的切线 12 , l l的方程分别为 11 ()yyp xx 22 ()yyp xx 由 2 y 1 y得 211 22 1 ()()x yyp y xy x. 因为 22 2 12 121212 , 22 yy xxyypyy pp . 所以 2 p x . 又因为 2 1212 12 , pp kkyyp yy . 所以 12 1kk ，即 2 APB . 当然证明 2 APB ，也可以用抛物线的 光学性质来证显得更为简洁. 过A作AMx轴，过B作BNX 轴 由抛物线的光学性质知： ,CAMPABDBNPBA 0 180MABNBA
3、 000 18021802180PABPBA 即 0 90PABPBA 即 2 APB 利用平几知识及抛物线定义容易得到PFAB .（证明略） 抛物线有上述性质，那么椭圆、双曲线是否也有类似的性质呢？经过探索后发现确实存在类似的性 质 性质二：过椭圆焦点F的弦AB（不与长轴重合）两端点,A B的切线 12 ,l l的交点P的轨迹是焦点F 相应的准线，且APB的取值范围为 2 2 (0,arctan 1 e e (e为椭圆的离心率) 性质三：若过双曲线焦点F的直线与双曲线交于,A B两点,过,A B两点的双曲线的切线 12 ,l l的交点 P的轨迹是焦点F相应的准线（除去该准线与渐近线的交点）,
4、且当,A B在同一支上时APB的取值范围 为 2 22 arctan,arctan) 1 ea eb ；当,A B在两支上时APB的范围是 2 (0,arctan) a b .(e为双曲线的 离心率) 先证明性质二： A B P F N C D M 高中数学教学精品论文高中数学教学精品论文 设椭圆 22 22 1(0) xy ab ab 的右焦点为( ,0)F c，焦点弦AB（不与长轴重合）两端点的坐 标为 1122 ( ,),(,)A x yB xy，则过,A B两点的切线 12 ,l l的方程分别为： 2222 11 b x xa y ya b 2222 22 b x xa y ya b
5、由得 222 211221 ()()b x y xy xa byy（*） 由 11 (,)FAxc y ， 22 (,)BFcxy ,A F B三点共线 所以 2 11221 ()y xy xc yy代入（*） 得 2 a x c ，即P点的轨迹是焦点F相应的准线 下面证明APB的取值范围为 2 2 (0,arctan 1 e e ： 不失一般性设点A在x轴上方，点B在x轴下方,即 12 yy 则APB即为 12 ll到的角. 1 2 1 2 1 l xb k ay ， 2 2 2 2 2 l xb k ay 12 ll 到的角APB的正切值为 21 12 22 21 22 21 4 12 4
6、 12 tan 1 1 ll ll xxbb kk ayay APB x xbk k ay y = 2222 122121 4444 12121212 ()()a bx yx ya b c yy a y yb x xa y yb x x 设AB所在直线为xmyc代入椭圆方程即得 222222 ()b myca ya b化简整理得 222224 ()20y b mab cmyb 2 12 222 2b cm yy b ma ， 4 12 222 b y y b ma 4444 12121212 ()()a y yb x xa y yb myc myc 442442 1212 ()()ab m y
7、 yb mc yyb c 44424242222 222 1 ()( 2)()bab mb cmb cmb cab m ab m 4482622242622 222 1 2a bb mb c ma b cb c m ab m 262 26262 222222 1(1) a bm a ba b m ab mab m 又 21121212 ()()4yyyyyyy y 4224 4226224 2222222222 441 444 () b c mb b c mb ma b b mab mab ma 2 422242 222222 12 441 ab b a ma bm b mab ma y x
8、F B A P O 高中数学教学精品论文高中数学教学精品论文 2222 2622 2 2121 tan (1) 1 a b cabmac APB a bmb m 2 1 01 1m 22 2 212 tan(0, 1 acac APB bb m 因为tany在(0,) 2 是增函数 故APB的取值范围是 2 2 (0,arctan ac b 即 2 2 (0,arctan 1 e e 下面证明性质三： 设双曲线 22 22 1(0,0) xy ab ab 的右焦点为( ,0)F c，过焦点( ,0)F c的直线与双曲线交于两 点的坐标为 1122 ( ,),(,)A x yB xy，过,A B
9、两点的切线分别为 12 ,l l，其方程分别为： 2222 11 b x xa y ya b 2222 22 b x xa y ya b 由得 222 211221 ()()b x y xy xa byy（*） 由 11 (,)FAxc y ， 22 (,)BFcxy ,A F B三点共线 ， 所以 2 11221 ()y xy xc yy代入（*） 得 2 a x c （ ab y c ）即P点的轨迹是焦点F相应 的 准 线 （除去准线与渐近线的交点） 下面证明APB的取值范围： (1)当 1122 ( ,),(,)A x yB xy在同一支上时，不失一般性设点A在x 轴上方，点B在x轴下方
10、，即 12 yy,则APB即为 2 l到 1 l的角.如图所示 1 2 1 2 1 l xb k ay ， 2 2 2 2 2 l xb k ay 2 l到 1 l的角APB的正切值为 12 12 22 12 22 12 4 12 4 12 tan 1 1 ll ll xxbb kk ayay APB x xbk k ay y = 2222 122121 4444 12121212 ()()a bx yx ya b c yy a y yb x xa y yb x x 设AB所在直线为xmyc, 因为 1122 ( ,),(,)A x yB xy在同一支上,所以0 a m b ，将 xmyc代入
11、双曲线方程化简整理得 222224 ()20y b mab cmyb 2 12 222 2b cm yy b ma ， 4 12 222 b y y b ma 4444 12121212 ()()a y yb x xa y yb myc myc 442442 1212 ()()ab m y yb mc yyb c A P B F 高中数学教学精品论文高中数学教学精品论文 44424242222 222 1 ()2()bab mb cmb cmb c b ma b ma 4482622622242 222 1 2a bb mb c mb c ma b c b ma 262262 26262 22
12、2222222 1(1)(1) a bma bm a ba b m b mab maab m 又 21121212 ()()4yyyyyyy y 4224 4226224 2222222222 441 444 () b c mb b c mb ma b ab mab mab m 2 422242 222222 12 441 ab b a ma bm ab mab m 2222 2622 2 2121 tan (1) 1 a b cabmac APB a bmb m 0 a m b ， 22 2 2122 tan,) 1 acaca APB bbb m 因为tany在(, ) 2 是增函数， 故
13、APB的取值范围是 2 22 arctan,arctan) aca bb 即 2 22 arctan,arctan) 1 ea eb (2)当 1122 ( ,),(,)A x yB xy不在在同一支上时，不失一般性设点A在右支、点B在左支，根据对称性 先考虑0 AB k的情况，则APB即为 2 l到 1 l的角，如图所示： 1 2 1 2 1 l xb k ay ， 2 2 2 2 2 l xb k ay 2 l到 1 l的角APB的正切值为 12 12 22 12 22 12 4 12 4 12 tan 1 1 ll ll xxbb kk ayay APB x xbk k ay y = 2
14、222 122121 4444 12121212 ()()a bx yx ya b c yy a y yb x xa y yb x x . 设AB所 在 直 线 为xmyc,因 为 1122 ( ,),(,)A x yB xy在两支上且0 AB k，所以 a m b .将 xmyc代入双曲线方程化简整理得 222224 ()20y b mab cmyb 2 12 222 2b cm yy b ma , 4 12 222 b y y b ma . 4444 12121212 ()()a y yb x xa y yb myc myc A P B F 高中数学教学精品论文高中数学教学精品论文 442
15、442 1212 ()()ab m y yb mc yyb c 262 222 (1)a bm ab m 又 21121212 ()()4yyyyyyy y 4224 4226224 2222222222 441 444 () b c mb b c mb ma b ab mab mb ma 2 422242 222222 12 441 ab b a ma bm b mab ma . 2222 2622 2 2121 tan (1) 1 a b cabmac APB a bmb m . a m b , 2 2 212 tan(0,) 1 aca APB bb m . 因为tany在(0,) 2 是增函数， 故APB的取值范围是 2 (0,arctan) a b 根据对称性知当 a m b 时上述结论也成立 所以当 1122 ( ,),(,)A x yB xy在两支上时APB的取值范围是 2 (0,arctan) a b 通过上述证明我们还可以得到下面一个推论： 过圆锥曲线C的准线l上一点作C的两条切线,则两切点与准线l相应焦点共线 证明略
