1、高中数学教学精品论文高中数学教学精品论文 巧用模型破解法解决某类平面向量问题巧用模型破解法解决某类平面向量问题 平面向量是高中数学的重要内容.把平面向量(高中内容)与平面几何(初中内容)融合命题(以选择题 或填空题的形式出现),已形成新高考试题中的一道靓丽风景,解决这类问题的主要方法是利用(分离)或构 造三种几何模型. 一、构造特殊三角形一、构造特殊三角形 特殊三角形,例如等边三解形,直角三解形等中的几何关系较明显,利用构造特殊三角形的方法求解这 类问题,可以取到事半功倍的效果. 例例 1 1(2005 年 高 考 全 国 卷 I) ABC 的 外 接 圆 的 圆 心 为 O, 两 条 边 上
2、 的 高 的 交 点 为 H,)(OCOBOAmOH,则实数m=_. 解析解析: : 这是个定值探讨问题,所以可以取直角三角形来解. 如图,在ABCRt中,C为直角, O 为斜边 AB 的中点,垂心 H 与点 C 重合,所以此时有 OHOHOAOAOCOBOA 1m. 例例 2 2(2006 年全国大联考)O 为ABC 所在平面内一点,且满足032OCOBOA,则AOC 与BOC 的面积的比值为 A. 2:1B. 3:1C. 4:1D. 5:1 解析解析: :构造等边ADE, O 为其中心, 则0OEODOA,取点 B、C, 使OCOEOBOD3,2,如图,则有 . 1 2 BO AO S S
3、 BOC AOC 选 A. 例例 3 3(2006 年高考湖南)如图所示,ABOM /,点P在由射线OM、线段OB及AB的延长线围成 的阴影区域内(不含边界)运动,且OByOAxOP,则x的取值范围是_;当 2 1 x时,y的 取值范围是_. 解析解析: :题目中并没有告诉AOB 中的具体元素的大小,故可以取以AOB 为直 角且两直角边为 1 的AOBRt,令jOBiOA ,i、j是在直角坐标系中与x 轴、y轴方向相同的两个单位向量.则),(yx为在直角坐标系中点P的坐标. 观察图形知,x的取值范围是)0 ,(. 设直线 2 1 x与直线AB、OM分别相交于C、D,注意到直线AB、OM 的方程
4、分别为1xy、xy,将二者分别与直线 2 1 x联立,求得 ) 2 3 , 2 1 (C、) 2 1 , 2 1 (D.所以, 当 2 1 x时,y的取值范围是) 2 3 , 2 1 (. C(H) A B O A DE B C O O A B P M A x B y C P M D O 高中数学教学精品论文高中数学教学精品论文 二、利用二、利用( (分离分离) )三点共线图形三点共线图形 如果 C 分在向线段AB的比为,即CBAC,则对平面内的任一点O都有 OBOAOC 11 1 推论:三点 A、B、C 共线的充要条件是,对于平面内的任一点O,存在实数 m、 n,使得OBnOAmOC,其中
5、m+n=1. 例例 4 4(2006 年高考 江西)已知等差数列 n a的前 n 项和为 n S,若OCaOAaOB 2001 ,且 A、B、C 三点共线(该直线不过点O),则 200 S等于 A. 100B. 101C. 200D. 201 解析解析: :由题意知 A、B、C 三点共线,则1 2001 aa. .100 2 )(200 2001 200 aa S故选 A. 例例 5 5 题目同例 2. 解析解析: :由032OCOBOA得,OBOAOC 21 2 21 1 ,故可按下列方法求作出符合题意的一 般图形: 在 AB 上取点 D,使DBAD2,则有 OBOAOD 21 2 21 1
6、 再作OD的相反向量OC. . 1 2 DB AD S S BOC AOC 选 A. 三、作向量的合成或分解图形三、作向量的合成或分解图形 利用向量的线性运算的几何定义可以作出几个向量的合成向量;由平面向量的基本定理知,同一平面 内的任一向量都可以表示为两个不共线向量的线性组合,课本中,以共线向量为基础,通过一个向量在其他 两个方向上的分解,说明了该定理的本质,这也是我们进行向量分解的方法与依据. 例例 6 6 题目同例 2. 解析解析: :由032OCOBOA得,OCOBOA32 按下列方法作图: 作向量OCOB, 再作合成向量OD=OCOB32 作向量的相OD反向量得.OA O A B C
7、 O B D A C OB C A M ND 高中数学教学精品论文高中数学教学精品论文 则由图有:. 1 2 OB OM S S S S S S BOC MOC BOC DOC BOC AOC 选 A. 例例 7 7(2006 年 黄 冈 ) 已 知O为 锐 角ABC所 在 平 面 上 的 任 一 点 , 点P满 足 ) coscos ( 2 CAC AC BAB ABOCOB OP ,), 0( ,则动点P的轨迹一定通过ABC的 A. 重心B. 外心C. 垂心D. 内心 解析解析: :取BC中点D,则DPODOP OCOB OP 2 . 问题的关键是如何作出合成向量 CAC AC BAB A
8、B AF coscos . 如图,以A为起点,作与BC平行的两个单位向量AM、AN,分别过M、N作BC的垂线交AB、 AC于R、S,则, cosBAB AB AR CAC AC AS cos 以AR、AS为两邻边作平行四边形ARFS. 则 CAC AC BAB AB ASARAF coscos . 观察图形知BCAF (设 RS 交 AF 于 T,易证 AFBC). 而DPAF CAC AC BAB AB ) coscos ( 所以,AFDP/ 所以,BCDP 因为D为BC中点,所以P的轨迹一定通过ABC的外心.选 B. 例例 8 8 题目同例 2. 解析解析: :将向量OP沿向量OA、OB分
9、解,如图OAxOE ,OByOF . OFOEOP. 因为OAxOE ,且OE与OA反向,所以x的取值范围是)0 ,(. 当 2 1 x时 ,2:1:OAEO. 如 图 , 由 相 似 三 角 形 的 知 识 , 易 知 OBESOBER 2 3 , 2 1 .而ESEPER,所以y的取值范围是) 2 3 , 2 1 (. 巩固练习巩固练习: : 1.(2006 年高考陕西)已知非零向量AB与AC满足0 BC AC AC AB AB 且 2 1 AC AC AB AB ,则 MAN F R S P D BC T A OE M R S N B P F 高中数学教学精品论文高中数学教学精品论文 A
10、BC为() A. 等边三角形B. 直角三角形 C. 等腰非等边三角形D. 三边均不相等的三角形 2.(2006 年高考福建)已知0, 3, 1OBOAOBOA,点C在AOB内,且 30AOC,设 OBnOAmOC(m,nR R),则 n m 等于() A. 3 1 B.3C. 3 3 D.3 3.(2005 年高考试题改编题) 设ABC 的外接圆的圆心为 O,两条边上的高的交点为 H,求证 OCOBOAOH. 参考答案参考答案: : 1.A 2.B 3.证明:如图,D 为 BC 中点,BE 为圆的直径,由图, 易请四边形 AHCE 为平行四边形,则有: AHOAOH ECOA ODOA2 OCOBOA. H O A BCD E
