1、解析几何多选题解析几何多选题 1已知抛物线 2 :4C yx，焦点为F，过焦点的直线l抛物线C相 交于 11 ,A x y ， 22 ,B xy 两点，则下列说法一定正确的是（） AAB的最小值为 2 B线段AB为直径的圆与直线1x 相切 C 1 2 x x为定值 D若 1,0M ，则AMFBMF 2已知点P是双曲线 22 :1 169 xy E的右支上一点， 12 FF双曲线E的 左、右焦点， 12 PFF 的面积为 20，则下列说法正确的有() A点P的横坐标为 20 3 B 12 PFF 的周长为 80 3 C 12 FPF 小于 3 D 12 PFF 的内切圆半径为 3 2 3泰戈尔说
2、过一句话：世界上最远的距离，不是树枝无法相依， 而是相互了望的星星，却没有交会的轨迹；世界上最远的距离， 不是星星之间的轨迹，而是纵然轨迹交会，却在转瞬间无处寻 觅已知点 10M，直线 l：2x ，若某直线上存在点 P，使得点 P 到点 M 的距离比到直线 l 的距离小 1，则称该直线为“最远距离 直线”，则下列结论正确的是（） A点 P 的轨迹曲线是一条线段 B点 P 的轨迹与直线 l：1x 是没有交会的轨迹(即两个轨迹没 有交点) C 26yx 不是“最远距离直线” D 1 1 2 yx 是“最远距离直线” 欢迎关注微信公众号（QQ 群） ：高中数学解题研究群 416652117 第 2
3、页 共 64 页 4已知椭圆 22 :1 63 xy C的左、右两个焦点分别为 12 ,F F，直线 (0)ykx k 与C交于 A，B 两点，AEx轴，垂足为E，直线 BE 与C的另一个交点为P，则下列结论正确的是（） A四边形 12 AFBF为平行四边形 B 12 90FPF C直线 BE 的斜率为 1 2 k D90PAB 5已知 1 F、 2 F分别为双曲线 22 22 1(0,0) xy ab ab 的左、右焦点，且 2 12 2b FF a ，点 P 为双曲线右支一点，I 为 12 PFF 的内心，若 121 2 IPFIPFIF F SSSl=+ 成立，则下列结论正确的有（） A
4、当 2 PFx 轴时， 12 30PFF B离心率 15 2 e C 51 2 D点 I 的横坐标为定值 a 6把方程 | | 1 4 x x y y 表示的曲线作为函数 yf x 的图象，则下 列结论正确的有（） A函数 f x 的图象不经过第三象限 B函数 f x 在 R 上单调递增 C函数 f x 的图象上的点到坐标原点的距离的最小值为 1 D函数 2g xf xx 不存在零点 7已知抛物线 2 4xy的焦点为F， 11 ,A x y ， 22 ,B xy 是抛物线上 两点，则下列结论正确的是（） A点F的坐标为 1,0 B若A，F，B三点共线，则3OA OB C若直线OA与OB的斜率之
5、积为 1 4 ，则直线AB过点F D若 6AB ，则AB的中点到x轴距离的最小值为 2 8 古希腊著名数学家阿波罗尼斯与欧几里得、 阿基米德齐名.他发 现:“平面内到两个定点 ,A B的距离之比为定值1 的点的轨迹 是圆”.后来,人们将这个圆以他的名字命名,称为阿波罗尼斯圆,简 称阿氏圆在平面直角坐标系xOy中, 2,0 ,4,0 ,AB 点 1 2 PA P PB 满足 . 设点P的轨迹为C,下列结论正确的是（ ） AC的方程为 2 2 49xy B在x轴上存在异于 ,A B的两定点,D E,使得 1 2 PD PE C当 ,A B P三点不共线时,射线PO是 APB的平分线 D在C上存在点
6、M,使得 2|MOMA 9动点 (,)M x y 分别到两定点 5,05,0， 连线的斜率的乘积为 16 25 ， 设 (,)M x y 的轨迹为曲线C，12 ,FF分别为曲线C的左、右焦点，则 下列命题中正确的有（） A曲线C的焦点坐标为 12 ,0330FF ； B若12 03FM F，则 12 16 3 3 FMF S ； C 12 FMF 的内切圆的面积的面积的最大值为 9 4 ； D设 3 2 2 A，则 1 MAMF 的最小值为 15 2 10瑞士数学家欧拉（LeonhardEuler）1765 年在其所著的三角 形的几何学一书中提出：任意三角形的外心、重心、垂心在同 一条直线上，
7、后人称这条直线为欧拉线.已知ABC的顶点 4,0A ， 0,4B， 其欧拉线方程为20 xy， 则顶点C的坐标可以是 （） A 2,0 B 0,2 C 2,0 D 0, 2 欢迎关注微信公众号（QQ 群） ：高中数学解题研究群 416652117 第 4 页 共 64 页 11太极图是由黑白两个鱼形纹组成的图案，俗称阴阳鱼，太极 图展现了一种互相转化，相对统一的和谐美. 定义：能够将圆O的 周长和面积同时等分成两个部分的函数称为圆O的一个“太极函 数”.则下列有关说法中，正确的是（） A对于圆O： 22 1xy的所有非常数函数的太极函数中，一定不 能为偶函数 B函数 sin1f xx 是圆O：
8、 2 2 11xy的一个太极函数 C存在圆O，使得 1 1 x x e f x e 是圆O的一个太极函数 D直线 12110mxmy 所对应的函数一定是圆O： 22 2 210 xyRR的太极函数 12已知抛物线 2 :4E yx的焦点为 F，准线为 l，过 F 的直线与 E 交于 A，B 两点， C，D 分别为 A，B 在 l 上的射影， 且| | 3|AFBF ， M 为 AB 中点，则下列结论正确的是（） A90CFD B CMD为等腰直角三角形 C直线 AB 的斜率为3DAOB的面积为 4 13 已知 12 ,F F为椭圆 22 1 43 xy 的左、 右焦点，M为椭圆上的动点， 则下
9、面四个结论正确的是（） A 2 MF 的最大值大于 3 B 12 MFMF 的最大值为 4 C 12 FMF 的最大值为 60 D若动直线l垂直于y轴，且交椭圆于A B、两点，P为l上满足 | |2PAPB 的点，则点P的轨迹方程为 22 2 1 23 xy 或 22 2 1 69 xy 14已知 P 是双曲线 C： 22 1 4 xy m 上任意一点，A，B 是双曲线的 两个顶点， 设直线 PA， PB 的斜率分别为 k1， k2(k1k20)， 若|k1|+|k2|t 恒成立，且实数 t 的最大值为 1，则下列说法正确的是（） A双曲线的方程为 2 2 1 4 x y B双曲线的离心率为5
10、 C函数 log15 a yx (a0，a1)的图象恒过双曲线 C 的一个 焦点 D 设 F1， F2分别是双曲线的左、 右焦点， 若PF1F2的面积为3， 则PF1F2= 3 15已知双曲线 22 22 :1(0,0) xy ab ab 的左、右焦点分别为 12 ,F F， P 是双曲线的右支上异于顶点的一个点， 12 PFF 的内切圆的圆心 为 I，过 2 F作直线PI的垂线，垂足为 M，O 为坐标原点，则以下 结论正确的是（） A 12 PFF 的内切圆的园心 I 在直线x a 上 B| |OMa C若 12 FIF ，则 12 PFF 的面积为 2 tanb D 12 PFF 的内切圆
11、与 x 轴的切点为( ,0)ca 欢迎关注微信公众号（QQ 群） ：高中数学解题研究群 416652117 第 6 页 共 64 页 16关于下列命题，正确的是（） A若点 2,1在圆 222 2150 xykxyk外，则2k 或4k B已知圆M： 22 (cos )(sin )1xy与直线y kx ，对于任意的 R，总存在kR使直线与圆恒相切 C已知圆M： 22 cossin1xy与直线y kx ，对于任意的 kR，总存在R 使直线与圆恒相切 D已知点 ,P x y 是直线2 40 xy 上一动点，PAPB是圆C： 22 21xyy的两条切线，AB是切点，则四边形PACB的面积的 最小值为6
12、 17设 1 F， 2 F分别为双曲线： 22 22 1(0,0) xy ab ab 的左、右焦点,若在 双曲线右支上存在点P，满足 212 PFFF ，且 2 F到直线 1 PF的距离 等于双曲线的实轴长，则（） A双曲线的渐近线方程为4 30 xy B双曲线的离心率为 5 4 C 双曲线的渐近线与抛物线 2 4yx的准线围成的三角形的面积为 4 3 D 双曲线的渐近线与抛物线 2 4yx的交点构成的三角形的面积为 27 2 18 设M，N是抛物线 2 yx 上的两个不同的点，O是坐标原点 若 直线OM与ON的斜率之积为 1 2 ，则（） A| 4 2OMON B以MN为直径的圆的面积大于4
13、 C直线MN过定点(2,0) D点O到直线MN的距离不大于 2 19已知双曲线 22 * 1 xy n nn N，不与x轴垂直的直线l与双曲线 右支交于点B，C， （B在x轴上方，C在x轴下方） ，与双曲线渐近 线交于点A，D（A在x轴上方） ，O为坐标原点，下列选项中正确 的为（） AAC BD 恒成立 B若 1 3 BOCAOD SS ，则AB BCCD CAOD面积的最小值为 1 D对每一个确定的n，若AB BCCD ，则AOD的面积为定值 20已知直线 :220lkxykp 与抛物线 2 :2(0)C ypx p相交于,A B 两点， 点 1, 1M 是抛物线C的准线与以AB为直径的圆
14、的公共点， 则下列结论正确的是（） A 2p B2k C 5AB DMAB的面积为5 5 21在平面直角坐标系xOy中，已知抛物线 C： 2 4yx的焦点为 F， 准线为 l， 过点 F 且斜率大于 0 的直线交抛物线 C 于 A， B 两点 （其 中 A 在 B 的上方） ，过线段AB的中点 M 且与 x 轴平行的直线依次 交直线OA，OB，l 于点 P，Q，N.则（） APM NQ B若 P，Q 是线段MN的三等分点，则直线AB的斜率为2 2 C若 P，Q 不是线段MN的三等分点，则一定有PQ OQ D若 P，Q 不是线段MN的三等分点，则一定有NQ OQ 欢迎关注微信公众号（QQ 群）
15、：高中数学解题研究群 416652117 第 8 页 共 64 页 22抛物线 2 4Cxy：的焦点为 F，P 为其上一动点，设直线 l 与抛 物线 C 相交于 A，B 两点，点 2 2 ,M， 下列结论正确的是（） A|PM| +|PF|的最小值为 3 B抛物线 C 上的动点到点 0,3H 的距离最小值为 3 C存在直线 l，使得 A，B 两点关于 30 xy 对称 D若过 A、B 的抛物线的两条切线交准线于点 T，则 A、B 两点 的纵坐标之和最小值为 2 23已知抛物线 2 20ypx p 上三点 11 ,A x y ， 1,2B ， 22 ,C xy ，F 为抛物线的焦点，则（） A抛
16、物线的准线方程为1x B0FAFBFC ，则FA ， FB ，FC 成等差数列 C若A，F，C三点共线，则 12 1y y D若 6AC ，则AC的中点到y轴距离的最小值为 2 24某同学在研究函数 2 11fxxx 的性质时，联想到两点 间的距离公式，从而将函数变形为 2222 00 1100f xxx，则下列结论正确的是 （） A函数 f x 在区间 ,0 上单调递减， 1,上单调递增 B函数 f x 的最小值为2，没有最大值 C存在实数t，使得函数 f x 的图象关于直线x t 对称 D方程 2f x 的实根个数为 2 25 在棱长为 1 的正方体 1111 ABCDABC D 中， 已
17、知点 P 为侧面 11 BCC B 上的一动点，则下列结论正确的是（） A若点 P 总保持PABD，则动点 P 的轨迹是一条线段； B若点 P 到点 A 的距离为 2 3 3 ，则动点 P 的轨迹是一段圆弧； C若 P 到直线AD与直线1 CC的距离相等，则动点 P 的轨迹是一 段抛物线； D若 P 到直线BC与直线 11 C D的距离比为1:2，则动点 P 的轨迹是 一段双曲线. 26已知双曲线 C 的方程是： 22 22 1 xy ab （0a ，0b ） ，则下列 说法正确的是（） A当ab时，双曲线的离心率为2 B过双曲线 C 右焦点 F 的直线与双曲线只有一个交点的直线有 且只有 2
18、 条； C过双曲线 C 右焦点 F 的直线与双曲线右支交于 M，N 两点， 则此时线段MN长度有最小值； D双曲线 C 与双曲线： 22 22 1 xy ab （0a ，0b ）渐近线相同. 27已知椭圆 22 1 22 :1(0) xy Cab ab 的左、右焦点分别为 12 ,F F，离 心率为 1 e， 椭圆 1 C的上顶点为M， 且 12 0MF MF 曲线 2 C和椭圆 1 C有 相同焦点，且双曲线 2 C的离心率为 2 e，P为曲线 1 C与 2 C的一个公 共点，若 12 3 FPF ，则（） A 2 1 2 e e B 12 3 2 e eC 22 12 5 2 ee D 22
19、 21 1ee 28双曲线 C： 22 1 42 xy 的右焦点为 F，点 P 在双曲线 C 的一条 渐近线上，O 为坐标原点，则下列说法正确的是() 欢迎关注微信公众号（QQ 群） ：高中数学解题研究群 416652117 第 10 页 共 64 页 A双曲线 C 的离心率为 6 2 B双曲线 22 1 48 yx 与双曲线 C 的渐近线相同 C若POPF，则PFO的面积为2 D| |PF 的最小值为 2 29已知 12 ,F F分别为双曲线 22 22 1(0,0) xy ab ab 的左右焦点,且 2 12 2b FF a ,点P为双曲线右支上一点,I为 12 PFF 的内心 ,若 12
20、1 2 IPFIPFIF F SSS 成立,过原点O作PI的平行线交 1 PF于K则下列 结论正确的有() A 51 2 B 51 2 C点I的横坐标为aDPKa 30 已知圆 M: 22 (1 cos )(2sin )1xy ， 直线 l： 20kxyk ， 下面五个命题，其中正确的是（） A对任意实数 k 与，直线 l 和圆 M 有公共点； B对任意实数 k 与，直线 l 与圆 M 都相离； C存在实数 k 与，直线 l 和圆 M 相离； D对任意实数 k，必存在实数，使得直线 l 与圆 M 相切： E.对任意实数，必存在实数 k，使得直线 l 与圆 M 相切； 31若方程 22 1 31
21、 xy tt 所表示的曲线为C，则下面四个选项中错 误 的是（） A若C为椭圆，则13t B若C是双曲线，则其离心率有12e C若C为双曲线，则3t 或1t D若C为椭圆，且长轴在y轴上，则12t 32已知1, F 2 F分别是双曲线 22 22 1 xy ab (0,0)ab 的左、右焦点，A 为左顶点，P 为双曲线右支上一点，若 12 2PFPF 且 12 PFF 的最小 内角为30，则（） A双曲线的离心率3 B双曲线的渐近线方程为2yx C 2 45PAF D直线 220 xy 与双曲线有两个公共点 33古希腊著名数学家阿波罗尼斯与欧几里得、阿基米德齐名.他 发现：“平面内到两个定点A
22、，B的距离之比为定值 1 的点的 轨迹是圆”.后来， 人们将这个圆以他的名字命名， 称为阿波罗尼斯 圆，简称阿氏圆.在平面直角坐标系xOy中， 2,0A ， 4,0B ，点P 满足 1 2 PA PB .设点P的轨迹为C，下列结论正确的是（） AC的方程为 2 2 416xy B在C上存在点M，使得 2MOMA C当A，B，P三点不共线时，射线PO是APB的平分线 D 在三棱锥中PABC，PA 面ABC， 且 3PA ，6BC ，2ACAB， 该三棱锥体积最大值为 12 34已知点 F 是抛物线 2 20ypx p 的焦点，AB,CD 是经过点 F 的弦且 ABCD，AB 的斜率为 k，且 k
23、0，C,A 两点在 x 轴上方. 则下列结论中一定成立的是（） A 2 3 4 OC ODp 欢迎关注微信公众号（QQ 群） ：高中数学解题研究群 416652117 第 12 页 共 64 页 B四边形 ACBD 面积最小值为 2 16p C 111 2ABCDp D若 2 4AFBFp ，则直线 CD 的斜率为3 35已知双曲线 22 22 1(0,0) xy ab ab 的左、右两个顶点分别是 A1,A2, 左、 右两个焦点分别是 F1,F2,P 是双曲线上异于 A1,A2的任意一点， 给出下列命题，其中是真命题的有（） A 12 2PAPAa B直线 12 ,PA PA的斜率之积等于定
24、值 2 2 b a C使得 12 PFF 为等腰三角形的点P有且仅有 8 个 D 12 PFF 的面积为 2 12 tan 2 b APA 36如图，已知椭圆 1 C： 2 2 1 4 x y，过抛物线 2 C： 2 4xy焦点F的 直线交抛物线于M，N两点，连接NO，MO并延长分别交 1 C于A， B两点，连接AB，OMN与OAB的面积分别记为 OMN S ， OAB S ，则 在下列命题中，正确的为（） A若记直线NO，MO的斜率分别为 1 k， 2 k，则 1 2 k k的大小是定值 为 1 4 BOAB的面积 OAB S 是定值 1 C线段OA，OB长度的平方和 22 OAOB是定值
25、5 D设 OMN OAB S S ，则2 欢迎关注微信公众号（QQ 群） ：高中数学解题研究群 416652117 第 14 页 共 64 页 参考答案参考答案，仅供参考，仅供参考 1BCD 【分析】根据抛物线和过焦点的直线位置关系，结合抛物线的定义和 性质，结合韦达定理，逐个判断即可得解. 【解析】抛物线 2 :4C yx的焦点坐标为1,0，准线方程为1x ， 过焦点的弦中通径最短，所以AB最小值为2 4p ，故 A 不正确； 如图，设线段AB中点为D，过点A，B，D作准线的垂线，垂足分别 为 1 A， 1 B， 1 D， 由抛物线定义可知 1 AAAF ， 1 BBBF ， 所以 111
26、11 22 DDAABBAB ， 所以以线段AB为直径的圆与直线1x 相切，故 B 正确； 设AB所在直线的方程为 1xny ， 由 2 1 4 xny yx ， 消去x， 得 2 440yny， 所以 12 4y y ， 2 12 12 1 16 y y x x ，故 C 正确； 又 12 4yyn ， 1221 12 1212 11 1111 AMBM yxyxyy kk xxxx 12211212 1212 2222 0 1111 ynyynyny yyy xxxx ，故 D 正确 故选：BCD. 欢迎关注微信公众号（QQ 群） ：高中数学解题研究群 416652117 第 15 页 共
27、 64 页 【点评】本题考查了抛物线的定义和通径的概念，以及直线和抛物线 的位置关系，考查了利用韦达定理搭桥，建立各个量之间的联系，考 查了转化思想和数形结合思想，计算量相对较大，属于难题. 2ABCD 【分析】在焦点三角形中利用 1212 2 11 2 22 tan 2 PPF FPF F b Sc yr C 三种 表达形式，可判定 ACD 选项正确，由两点间的距离公式表示 2 PF ， 利用双曲线的定义表示 1 PF ，从而表示 12 PFF 的周长，即可判定 B 选 项正确. 【解析】因为双曲线 22 :1 169 xy E，所以1695c 又因为 12 11 21020 22 PPFP
28、F Sc yy ，所以 4 P y 将其代入 22 :1 169 xy E得 22 4 1 169 x ，即 20 3 x ，所以选项 A 正确； 所以 P 的坐标为 20 , 4 3 ，由对称性可知 2 2 2 2013 54 33 PF , 由双曲线定义可知 12 1337 28 33 PFPFa 所以 12 12 1337 210 3 80 33 PF F CPFPFc ，所以选项 B 正确； 因为 12 2 9 20 tantan 22 PF F b S ，所以 93 tantan 22036 ， 即 26 ，所以 12 3 FPF ，所以选项 C 正确； 因为 1212 1801 2
29、23 20 PF FPF F Sr Cr ，所以 3 2 r ，所以选项 D 正确. 欢迎关注微信公众号（QQ 群） ：高中数学解题研究群 416652117 第 16 页 共 64 页 故选：ABCD 【点评】本题考查双曲线的焦点三角形问题，主要涉及面积公式的变 形应用和双曲线的定义使用，属于难题. 3BCD 【分析】先根据题意与抛物线的概念，可以得到点 P 的轨迹方程，再 根据“最远距离直线”逐一判断即可 【解析】由题意可得，点 P 到点 M 的距离比到直线 l 的距离小 1， 即等价于“点 P 到点 M 的距离等于到直线 l：1x 的距离” 故 P 点轨迹是以 10M，为焦点，直线 l
30、：1x 为准线的抛物线， 其方程是 2 4yx，故 A 错误; 点 P 的轨迹方程是抛物线 2 4yx，它与直线 l没交点， 即两者是没有交会的轨迹，故 B 正确; 要满足“最远距离直线”则必须满足与上述抛物线 2 4yx有交点， 把 26yx 代入抛物线 2 4yx， 消去 y 并整理得 2 590 xx 因为 2 54 1 9110 ，无解， 所以 26yx 不是“最远距离直线”，故 C 正确； 把 1 1 2 yx 代入抛物线 2 4yx， 欢迎关注微信公众号（QQ 群） ：高中数学解题研究群 416652117 第 17 页 共 64 页 消去 y 并整理得 2 1240 xx， 因为
31、 2 124 1 41280 ，有解， 所以 1 1 2 yx 是“最远距离直线”，故 D 正确 故选：BCD 【点评】本题主要考查了直线与抛物线的位置关系，抛物线的概念以 及圆锥曲线的轨迹问题，还考查了分析问题与解决问题的能力，属于 较难题 4ABC 【分析】由对称性可证 21 BOFAOF ，即可判断四边形 12 AFBF是否为 平行四边形； 12 FPF中应用余弦定理，结合直线(0)ykx k 斜率的存 在性即可判断 12 90FPF 是否正确； 由对称性设 ( ,)A m km， 则(,)Bmkm ， (m,0)E ，即知直线 BE 的斜率；联立直线 :() 2 k PB yxm 与椭
32、圆方程 22 :1 63 xy C，即可求得P点坐标，进而有直线PA的斜率即可判断 90PAB . 欢迎关注微信公众号（QQ 群） ：高中数学解题研究群 416652117 第 18 页 共 64 页 【解析】 A 选项：根据对称性，如上图有 2112 ,OAOBBOFAOF OFOF ，所以 21 BOFAOF ，即 12 OAFOBF ，则 12 / /AFBF， 12 AFBF ，所以四边形 12 AFBF为平行四边形；A 正确. B 选项：由余弦定理 222 12121212 2cosFFPFPFPF PFFPF ， 12 2 6FF ， 12 ,2 6PFx PFx，由直线(0)yk
33、x k中k存在故6x ， 2 12 (6) cos (2 6) x FPF xx ，令363tx ，则6xt ，所以 欢迎关注微信公众号（QQ 群） ：高中数学解题研究群 416652117 第 19 页 共 64 页 2 12 22 6 cos1 66 t FPF tt ， 2 03t， 12 0cos1FPF ，即 12 90FPF； B 正确. C 选项：若 ( ,)A m km，则(,)Bmkm ， (m,0)E ，所以直线 BE 的斜率为 22 kmk m ；C 正确. D 选项：由上可设 :() 2 k PB yxm ，联立椭圆方程 22 :1 63 xy C，整理 得： 2222
34、2 (2)2120kxmk xm k，若 (,) pp P xy ，则 2 2 2 2 p mk xm k ，即 欢迎关注微信公众号（QQ 群） ：高中数学解题研究群 416652117 第 20 页 共 64 页 2 2 2 2 p mk xm k ， 3 2 2 p mk y k ，所以直线PA的斜率为 3 2 2 2 1 2 2 2 mk km k mkk k ，故 ABAP，即90PAB，故 D 错误. 故选：ABC 【点评】本题考查了椭圆方程，根据直线与椭圆的位置关系，判断交 点与焦点构成图形的形状，动点与焦点所成角的范围、两直线的位置 关系等，属于难题. 5BCD 【分析】当 2
35、PFx 轴时，由 2 212 1 2 b PFcFF a ，得 12 1 tan 2 PFF ；由 2 12 2b FF a 可得 2 10ee 求出离心率；设 12 PFF 的内切圆半径为r， 由 12 2PFPFa ， 12 2FFc ，用 12 PFF 的边长和r表示出等式中的三 角形的面积，解此等式求出；由切线的性质面积和双曲线的定义可 得 I 的横坐标 【解析】当 2 PFx 轴时， 2 212 1 2 b PFcFF a ， 此时 12 1 tan 2 PFF ，所以 A 错误； 2 12 2b FF a ， 222 222 2 bca c aa ， 整理得 2 10ee （e为双
36、曲线的离心率） ， 1e ， 15 2 e ，所以 B 正确. 设 12 PFF 的内切圆半径为 r， 欢迎关注微信公众号（QQ 群） ：高中数学解题研究群 416652117 第 21 页 共 64 页 由双曲线的定义得 12 2PFPFa ， 12 2FFc ， 1 1 1 2 IPF SPFr ， 2 2 1 2 PF SPFr ， 1 2 1 2 2 F F Scrcr ， 121 2 IPFIPFIF F SSSl=+ ， 12 11 22 PFrPFrcr ， 故 12 151 2215 2 PFPFa cc ，所以 C 正确. 设内切圆与 1 PF、 2 PF、 12 FF的切点
37、分别为 M、N、T， 可得 11 | |PMPNFMFT ， 22 F NFT . 由 121212 2PFPFFMF NFTFTa ， 1212 2FFFTFTc ， 可得 2 FTca ，可得 T 的坐标为 ,0a ， 即的横坐标为 a，故 D 正确； 故选 BCD. 【点评】本题考查双曲线的定义和简单性质，利用待定系数法求出参 数的值，考查圆的切线的性质，化简运算能力和推理能力，属于中档 题 6ACD 【分析】根据函数的解析式，分类讨论作出函数的图象，结合图象可 判定 A 准确，B 不正确，根据两点间的距离公式和椭圆的方程，可判 欢迎关注微信公众号（QQ 群） ：高中数学解题研究群 41
38、6652117 第 22 页 共 64 页 定 C 正确，根据双曲线的几何性质和函数的零点的定义，可判定 D 正确. 【解析】由题意，方程 | | 1 4 x x y y ， 当 0,0 xy 时， 2 2 1 4 x y，表示椭圆在第一象限的部分； 当 0,0 xy 时， 2 2 1 4 x y，表示双曲线在第四象限的部分； 当 0,0 xy 时， 2 2 1 4 x y ，表示双曲线在第二象限的部分； 当 0,0 xy 时， 2 2 1 4 x y，此时不成立，舍去， 其图像如图所示，可得该函数的图象不经过第三象限，所以 A 是正 确的； 由函数的图象可得，该函数在R为单调递减函数，所以
39、B 不正确； 由图象可得，函数 f x 的图象上的点P到原点的距离的最小的点在 0,0 xy 的图象上， 设点 ( , )P x y ，则点P满足 0,0 xy 时， 2 2 1 4 x y，即 2 2 1 4 x y 则 2 2 222 3 11 44 POx x xyx，当0 x 时， min 1PO ，所以 C 正确； 令 0g x ，可得 20f xx ，即 1 2 f xx ， 则函数 2g xf xx 的零点，即为函数 yf x 与 1 2 yx 的交点， 又由直线 1 2 yx 为双曲线 2 2 1 4 x y和 2 2 1 4 x y 渐近线， 欢迎关注微信公众号（QQ 群）
40、：高中数学解题研究群 416652117 第 23 页 共 64 页 所以直线 1 2 yx 与函数 yf x 没有交点，即函数 2g xf xx 不 存在零点， 所以 D 是正确的. 故选：ACD. 【点评】本题主要考查了命题的真假判定，函数的单调性、函数的零 点个数的判定，以及椭圆和双曲线的几何性质的综合应用，试题综合 性强，属于中档试题. 7BCD 【分析】 根据抛物线的标准方程， 求得焦点F的坐标， 可判定 A 错误； 设直线AB的方程为 1ykx ，根据韦达定理和向量的运算，可判定 B 正确；设直线AB的方程为y kxm ，根据直线的斜率公式、弦长公式 等，可判定 C、D 正确. 【
41、解析】由抛物线 2 4xy，可得2p ，则焦点F坐标为(0,1)，故 A 错 误； 设直线AB的方程为 1ykx ， 联立方程组 2 1 4 ykx xy ，可得 2 440 xkx，所以 1212 4 ,4xxk x x ， 欢迎关注微信公众号（QQ 群） ：高中数学解题研究群 416652117 第 24 页 共 64 页 所以 2 121212 () 11y yk x xk xx ， 所以 1212 4 13OA OBx xy y ，故 B 正确； 设直线AB的方程为y kxm ， 联立方程组 2 4 ykxm xy ， 可得 2 440 xkxm， 所以 1212 4 ,4xxk x
42、xm ， 所以 222222 121212 ()44y yk x xk xxmk mmkmm ， 因为直线OA与OB的斜率之积为 1 4 ，即 12 12 1 4 yy xx ，可得 2 1 44 m m ，解 得 1m ， 所以直线AB的方程为 1ykx ，即直线过点F，故 C 正确； 因为 2222 1212 1()4116166ABkxxx xkkm， 所以 22 4(1)()9kkm，所以 2 9 9 4(1) m k ， 因为 2 1212 ()242yyk xxmkm ， 所以AB的中点到x轴的距离： 2222 22 99 22 4(1)4(1) dkmkkk kk 2 2 9 1
43、1 4(1) k k 2 2 9 2 (1)13 12 4(1) k k ，当且仅当 2 1 2 k 时等 号成立， 所以AB的中点到x轴的距离的最小值为 2，故 D 正确， 综上所述，正确命题为 BCD. 故选：BCD. 【点评】本题主要考查了抛物线的标准方程及几何性质，以及直线与 抛物线的位置关系的应用，解答此类题目，通常联立直线方程与抛物 欢迎关注微信公众号（QQ 群） ：高中数学解题研究群 416652117 第 25 页 共 64 页 线方程，应用一元二次方程根与系数的关系进行求解，此类问题易错 点是复杂式子的变形能力不足，导致错解，能较好的考查考生的逻辑 思维能力、运算求解能力、分
44、析问题解决问题的能力等 8BC 【分析】通过设出点 P 坐标，利用 1 2 PA PB 即可得到轨迹方程，找出 两点 ,D E即可判断 B 的正误，设出M点坐标，利用2|MOMA 与圆 的方程表达式解出就存在，解不出就不存在. 【解析】设点 ,P x y ，则 2 2 2 2 2 1 = 2 4 xyPA PB xy ，化简整理得 22 80 xyx，即 2 2 416xy，故 A 错误；根据对称性可知，当 6,0 ,12,0 ,DE时， 1 2 PD PE ，故 B 正确；对于 C 选项， 222 cos= 2 APPOAO APO AP PO ， 222 cos= 2 BPPOBO BPO
45、 BP PO ,要证 PO 为角平 分线，只需证明cos=cosAPOBPO，即证 222222 22 APPOAOBPPOBO AP POBP PO ，化简整理即证 22 28POAP，设 ,P x y，则 222 POxy， 222222222 282828APxxyxxyxyxy ，则证 cos=cosAPOBPO， 故C正确； 对于D选项， 设 00 ,M xy ,由 2|MOMA 可得 2 222 0000 =2xyxy，整理得 22 000 3316+160 xyx ，而点 M 在 圆上，故满足 22 80 xyx，联立解得 0=2 x ， 0 y无实数解，于是 D 错 误.故答案
46、为 BC. 欢迎关注微信公众号（QQ 群） ：高中数学解题研究群 416652117 第 26 页 共 64 页 【点评】本题主要考查阿氏圆的相关应用，轨迹方程的求解，意在考 查学生的转化能力，计算能力，难度较大. 9ACD 【分析】 根据动点到两个定点连线斜率的乘积为定值可求得曲线的方 程，可得到椭圆的焦点坐标，根据椭圆焦点三角形的面积公式可得焦 点三角形面积，当焦点三角形内切圆半径最大时面积最大，根据动点 在椭圆上方运动的特点可知半径变化是由小到大再变小， 当动点在上 顶点处内切圆半径最大，利用等面积法可求得内切圆半径；利用椭圆 定义将动点到左焦点的距离转化为动点到右焦点的距离的差， 当点
47、 M 在 A 的上方时有最大值. 【解析】由题意可知: 16 5525 yy xx 化解得 22 1,(5) 2516 xy x ， A 项：2 22 25169cab，3c ， 即曲线 C 的焦点坐标为 12 ,0330FF ， 故 A 项正确； B 项：先推导焦点三角形面积公式： 在 12 MFF 中，设 12 FMF ， 11 MFr ， 22 MFr ，由余弦定理得 222 1212 12 cos 2 MFMFFF MFMF 222 12 12 (2 ) 2 rrc r r 22 121 2 1 2 ()24 2 rrrrc rr 22 1 2 1 2 (2 )24 2 arrc rr
48、 22 1 2 1 2 4()2 2 acrr rr 2 1 2 1 2 2brr rr 2 1 21 2 cos2rrbrr ,即 2 1 2 2 1 cos b rr ， 欢迎关注微信公众号（QQ 群） ：高中数学解题研究群 416652117 第 27 页 共 64 页 1 2 2 1 2 112 sinsin 22 1 cos MF F b Srr 2 sin 1 cos b = 2 tan 2 b 1 2 30 16 tan=16(2- 3) 2 FF S 。 M 故 B 项错误； C 项：在三角形12 MF F中，设内切圆的半径为 r ，由椭圆形定义 12 10MFMF ， 12
49、6FF ， 1 2 1212 1 () 2 MF F SMFMFFFr 2 tan 2 b ，解得 2tan 2 r （ 3 0tan() 24 ） ，当 M 在上顶点时， 3 tan 24 ，内切圆半径 r 取最大值，内切圆最大面积为 9 4 ，故 C 正确； D 项：在三角形12 MF F中, 12 10MFMF ,则 21 10MAMFMAMF ，当 2 MAF、 、 三点共线，并且 M 在 A 的上方时， 1 MAMF 有最小值，即 min12 515 1010 22 AMFAMF（） ，故 D 项正确. 故选：ACD 【点评】本题考查了圆锥曲线方程的求解、圆锥曲线焦点三角形的性 质、
50、椭圆第一定义的应用、数形结合的思想，属于较难题目，解题中 首先对椭圆性质要准确掌握，可以简化计算，其次对字母运算能力要 求较高. 10AD 【分析】 设 ( , )C x y ， 依题意可确定ABC的外心为 (0,2)M ， 可得出 , x y一 个关系式，求出ABC重心坐标，代入欧拉直线方程，又可得出 , x y另 一个关系式，解方程组，即可得出结论. 【解析】设 ( , ),C x yAB的垂直平分线为y x ， ABC的外心为欧拉线方程为20 xy 与直线y x 的交点为 ( 1,1)M ， 欢迎关注微信公众号（QQ 群） ：高中数学解题研究群 416652117 第 28 页 共 64
