1、第 6 讲函数的单调性 玩前必备 1 1函数的单调性函数的单调性 (1)(1)单调函数的定义单调函数的定义 增函数减函数 定义 一般地，设函数yf(x)的定义域为A，区间MA.如果取区间M 中的任意两个值x1，x2， 改变量 xx2x10，则 当yf(x2)f(x1)0 时， 就称 函数yf(x)在区间M上是增函数 改变量 xx2x10， 当 yf(x2)f(x1)0 时，就称函数 yf(x)在区间M上是减函数 增函数减函数 图象描述 自左向右看图象是上升的自左向右看图象是下降的 (2)(2)单调区间的定义单调区间的定义 如果函数yf(x)在区间D上是增函数或减函数，那么就说函数yf(x)在这
2、一区间具有(严格的)单 调性，区间D叫做函数yf(x)的单调区间 2 2函数的最值函数的最值 前 提设函数yf(x)的定义域为I，如果存在实数M满足 条 件 (1)对于任意xI，都有 f(x)M； (1)对于任意xI，都有 f(x)M； (2)存在x0I， 使得f(x0) M (2)存在x0I，使得f(x0) M 结 论M为最大值M为最小值 玩转典例 题型一题型一函数单调性的判断和证明函数单调性的判断和证明 例例 1判断并证明函数 yx2 x1在(1，)上的单调性 例例 2 2.设函数f(x) 1，x0， 0，x0， 1，x0， g(x)x 2f(x1)，则函数 g(x)的递减区间是_ 例例
3、3.3. 函数 2 23yxx的单调递增区间为. 玩转跟踪 1.已知函数f(x)2x x1，证明：函数 f(x)在(1，)上为减函数. 2.定义在 R 上的函数 f(x)对任意两个不相等的实数 a，b，总有fafb ab 0，则必有() A.函数 f(x)先增后减 B.f(x)是 R 上的增函数 C.函数 f(x)先减后增 D.函数 f(x)是 R 上的减函数 3.画出函数 yx22|x|1 的图象并写出函数的单调区间. 题型题型二二 函数单调性的应用函数单调性的应用 角度一：利用函数的单调性求最值 例 4(1)函数 f(x) 1 x，x1， x22，x0)，且 f(x)在0,1上的最小值为
4、g(a)，求 g(a)的最大值 角度二：利用函数的单调性求解不等式 例 51.(1)已知yf(x)在定义域(1,1)上是减函数，且f(1a)f(a3)，则实数 a 的取值范围为_ 2.探究与创新 设 f(x)是定义在(0，)上的函数，满足条件： (1)f(xy)f(x)f(y)； (2)f(2)1； (3)在(0，)上是增函数. 如果 f(2)f(x3)2，求 x 的取值范围. 角度三：利用函数的单调性求参数 例 6(1)如果函数 f(x)ax22x3 在区间(，4)上是单调递增的，则实数 a 的取值范围是() A. 1 4，B. 1 4， C. 1 4，0D. 1 4，0 (2).已知 f(
5、x) 3a1x4a，x1， x1，x1 是定义在 R 上的减函数，那么 a 的取值范围是_. 题型题型三三 分类讨论二次函数单调性和最值分类讨论二次函数单调性和最值 例 7求函数12)( 2 axxxf在闭区间2 , 0上的单调性和最小值 【玩转跟踪】 1已知函数 2 ( )22f xxax，求( )f x在5,5上的最大值与最小值 2已知函数32)( 2 xxxf，当tx， 1t时，求)(xf的最大值与最小值 题型题型四四 抽象函数单调性和最值抽象函数单调性和最值 例 8已知函数)(xf对于任意 x，yR，总有 f(x)f(y)f(xy)，且当 x0 时，f(x)0，f(1)2 3. （1）
6、求证：)(xf在 R 上是减函数； （2）求)(xf在3,3上的最大值和最小值 【玩转跟踪】 1.已知函数)(xf的定义域为0(，)，且当1x时，0)(xf且)()()(yfxfyxf （1）求) 1 (f的值； （2）证明)(xf在定义域上的增函数； （3）解不等式0) 2 1 (xxf 玩转练习 1.下列说法中，正确的有() 若任意 x1，x2I，当 x1x2时，fx1fx2 x1x2 0，则 yf(x)在 I 上是增函数； 函数 yx2在 R 上是增函数； 函数 y1 x在定义域上是增函数； 函数 y1 x的单调区间是(，0)(0，). A.0 个B.1 个C.2 个D.3 个 2.下列
7、函数中，在区间(0,1)上是增函数的是() A.y|x|B.y3x C.y1 x D.yx24 3.若函数 f(x)4x2kx8 在5,8上是单调函数，则 k 的取值范围是() A.(，40)B.40,64 C.(，4064，)D.64，) 4.若 f(x)为 R 上的增函数，kf(x)为 R 上的减函数，则实数 k 的取值范围是() A.k 为任意实数B.k0 C.k0D.k0 5.函数 yx|x1|的单调递增区间是_. 6. 函数 f(x)2x2mx3， 当 x2， )时是增函数， 当x(， 2时是减函数， 则 f(1)_. 7.求证：函数 f(x)1 x1 在区间(，0)上是增函数. 8.如果函数 f(x)ax22x3 在区间(，4)上是单调递增的，则实数 a 的取值范围是() A.a1 4 B.a1 4 C.1 4a0 D.1 4a0 9.已知函数 f(x)x2bxc 的图象的对称轴为直线 x1，则() A.f(1)f(1)f(2)B.f(1)f(2)f(1) C.f(2)f(1)f(1)D.f(1)f(1)f(2) 10.讨论函数 yx22(2a1)x3 在2,2上的单调性. 11.已知函数 f(x)在实数集中满足 f(xy)f(x)f(y)，且 f(x)在定义域内是减函数. (1)求 f(1)的值； (2)若 f(2a3)0，试确定 a 的取值范围.
