1、高一数学参考答案（第 1 页 共 10 页） 福州市福州市 20202021 年第二学期质量检查年第二学期质量检查 数学参考答案及评分细则 评分说明： 1 本解答给出了一种或几种解法供参考， 如果考生的解法与本解答不同， 可根据试题 的主要考查内容比照评分标准制定相应的评分细则。 2 对计算题， 当考生的解答在某一步出现错误时， 如果后继部分的解答未改变该题的 内容和难度，可视影响的程度决定后继部分的给分，但不得超过该部分正确解答应给分数 的一半；如果后继部分的解答有较严重的错误，就不再给分。 3解答右端所注分数，表示考生正确做到这一步应得的累加分数。 4只给整数分数。 一、单项选择题：本题共
2、一、单项选择题：本题共 8 小题，每小题小题，每小题 5 分，共分，共 40 分分 1B 2A 3A 4D 5B 6B 7C 8C 二、多项选择题：本题共二、多项选择题：本题共 4 小题，每小题小题，每小题 5 分，共分，共 20 分分 9BCD 10BD 11CD 12AB 三、填空题：本大题共三、填空题：本大题共 4 小题，每小题小题，每小题 5 分分，共，共 20 分分 138 1420 1513； 52 39 , 25 25 或 12 5239 2525 ee160.846 12.【解答】因为 2 cb abbc，所以cb，故 A 正确； 由余弦定理得， 2222 cos 2222 a
3、cbaababc B acaccb ，所以2 coscbB， 由正弦定理得， sin sin cC bB ，所以 sin cos 2sin C B B ，即sin2sincosCBB， 所以sinsin2CB，所以2CB或2CB ， 因为ABC ，若2CB ，可得AB，所以ab， 又 2 cb ab， 所以 222 cab， 此时 2 C ， 4 AB ， 满足2CB， 故 B 正确； 当 4 AB ， 2 C 时，ac，故 C 错误； 高一数学参考答案（第 2 页 共 10 页） 由 B 选项可知2CB，故)2 )0ABCBB ，即 3 B ，故 D 错误. 15.【解答】因为2,7 a，4
4、,3b，所以13a b，向量a在向量b上的投影向量 为 52 39 , 25 25 a bb a abb . 16.【解答】将 A，B，C 型电子元件分别接入 3 号位，1 号位，2 号位，或者将 A，B， C 型电子元件分别接入 3 号位，2 号位，1 号位时，该电路子模块能正常工作的概率最 大，记事件E “A元件正常工作”，事件F “B元件正常工作”，记事件G “C元件 正常工作”， 记事件H “电路子模块能正常工作”，则()( ) 1( ) ( )P HP EP F P G 0.9 1(10.8)(10.7)0.846. 四、解答题：本大题共四、解答题：本大题共 6 小题，共小题，共 7
5、0 分分 17. 【命题意图】本小题主要考查直线与直线、直线与平面、平面与平面的位置关系；考 查空间想象能力、逻辑推理能力；考查化归与转化思想、数形结合思想；考查直观想 象、逻辑推理等核心素养；体现基础性和综合性. 【解答】（1） 因为平面ABD 平面BCD， 平面ABD平面BCDBD，BC 平面BCD， BCBD，所以BC 平面ABD. 2 分 因为AD 平面 ABD， 所以BCAD， 又ABAD， 而ABBCB，AB 平面 ABC， BC 平面 ABC，所以AD 平面 ABC. 4 分 又因为AC 平面 ABC，所以ADAC. 5 分 （2）存在点G，满足2DGGB时，使得平面EFG平面
6、ABC. 6 分 理由如下：在平面ABD内，因为2DEEA，2DGGB，即 DGDE GBEA ， 所以EGAB. 7 分 又因为EG 平面ABC，AB 平面ABC，所以EG平面ABC， 同理可得FG平面ABC. 9 分 G BD C A E F 高一数学参考答案（第 3 页 共 10 页） 又EGFGG，EG 平面EFG，又FG 平面EFG， 故平面EFG平面 ABC. 故存在点G，满足2DGGB时，使得平面EFG平面 ABC. 10 分 18. 【命题意图】本小题主要考查同角三角函数的关系、三角恒等变换等基础知识；考查 运算求解能力，逻辑推理能力；考查化归与转化思想、函数与方程思想；考查逻
7、辑推 理、数学运算等核心素养；体现基础性. 【解答】解法一： （1）由 22 1 sincos, 5 sincos1, 联立可得 2 25sin5sin120， 1 分 解得 4 sin 5 或 3 sin 5 ， 3 分 又0,，sin0，故 3 sin 5 不合题意，舍去. 4 分 13 cossin 55 , 5 分 于是 4 tan 3 . 6 分 （2）由 2 sin 10 ，0, 2 ，可得 7 2 cos 10 ， 7 分 所以 47 2322 sinsincoscossin 5105102 . 9 分 又因为0,， 3 cos0 5 ，所以, 2 ，所以 3 , 22 ， 10
8、 分 所以 3 4 . 12 分 解法二： （1）由 1 sincos 5 ，可知 2 1 (sincos )12sincos 25 ， 所以 12 sincos 25 2 分 即 222 sincostan12 25sincostan1 3 分 高一数学参考答案（第 4 页 共 10 页） 解得 4 tan 3 或 3 tan 4 . 4 分 又0,，则sin0， 当 4 tan 3 时， 4 sin 5 ， 3 cos 5 ，符合题意. 当 3 tan 4 时， 3 sin 5 ， 4 cos 5 ，不合题意，舍去. 5 分 终上所述， 4 tan 3 . 6 分 （2）同解法一. 12
9、分 19. 【命题意图】本小题主要考查频率分布直方图、数字特征、古典概型等基础知识；考 查运算求解能力；考查化归与转化思想、必然与或然的思想；考查数据分析、数学运 算、数学建模、数学抽象等核心素养；体现基础性、综合性、应用性. 【解答】解法一： （1）由频率分布直方图可得， 0.0050.025 20.01101a ，解得0.035a . 2 分 样本数据的平均数为：500.05600.25700.35800.25900.171. 5 分 （2）由频率分布直方图可知，成绩在75,85，85,95内的频率分别为 0.25，0.1，所 以采用分层抽样的方法从样本中抽取的 7 人中，成绩在75,85
10、内的有 5 人，成绩在 85,95的有 2 人. 7 分 从这 7 人中随机抽取 2 人进行调查分析，记事件A=“2 人中至少有 1 人成绩在85,95 内”， 事件 1 A=“2 人中恰有 1 人成绩在85,95内”， 事件 2 A=“2 人成绩都在85,95 内”，则 12 AAA .因为 1 A与 2 A互斥，所以根据互斥事件的概率加法公式，可得 12 P AP AP A. 将成绩在75,85内的 5 个人分别记为 12345 ,B B B B B， 将成绩在85,95内 2 个人分别 记为 12 ,C C，设从这 7 人中第一次抽取的人记为 1 x，第二次抽取的人记为 2 x，则可用
11、数组 12 (,)x x表示样本点. 可知样本空间 121314151112 (,),(,),(,),(,),(,),.,(,)B BB BB BB BB CC C， 1111221223125 (,),(,),(,),(,),(,),.,(,)AB CB CB CB CB CC B， 21221 (,),(,)AC CC C， 高一数学参考答案（第 5 页 共 10 页） 因为样本空间包含的样本点个数为 42n ， 8 分 且每个样本点都是等可能的，又因为 1 20n A ， 2 2n A， 10 分 由古典概型公式可得 20211 424221 P A . 12 分 解法二： （1）同解法
12、一 5 分 （2）由频率分布直方图可知，成绩在75,85，85,95内的频率分别为 0.25，0.1，所 以采用分成抽样的方法从样本中抽取的 7 人中，成绩在75,85内的有 5 人，成绩在 85,95的有 2 人. 7 分 从这 7 人中随机抽取 2 人进行调查分析，记事件A=“2 人中至少有 1 人成绩在85,95 内”， 事件 1 A=“2 人中恰有 1 人成绩在85,95内”， 事件 2 A=“2 人成绩都在85,95 内”，则 12 AAA .因为 1 A与 2 A互斥，所以根据互斥事件的概率加法公式，可得 12 P AP AP A. 将成绩在75,85内的 5 个人分别记为1,2,
13、3,4,5，将成绩在85,95内 2 个人分别记为 6,7，设从这 7 人中抽取的 2 个人记为 1 x， 2 x，不妨设 12 xx，则可用数组 12 (,)x x表 示样本点.可知样本空间 121212 ( ,)|,1,2,3,4,5,6,7,x xx xxx且， 1 (1,6),(2,6),(3,6),(4,6),(5,6),.,(5,7)A ， 2 (6,7)A ， 因为样本空间包含的样本点个数为 21n ， 8 分 且每个样本点都是等可能的，又因为 1 10n A ， 2 1n A， 10 分 由古典概型公式可得 10111 212121 P A . 12 分 20. 【命题意图】本
14、小题主要考查函数的奇偶性、单调性、函数与方程等基础知识；考查 逻辑推理能力、 直观想象能力、 运算求解能力； 考查化归与转化思想、 数形结合思想、 函数与方程思想；考查直观想象、逻辑推理、数学运算等核心素养；体现基础性、综 合性. 【 解 答 】 解 法 一 ： （ 1 ） f x的 定 义 域 为, ， 对 任 意 的x， 有 ee xx fxf x ，所以函数 ee xx f x 为偶函数. 1 分 考虑 f x在0,上的单调性： 12 ,0,x x，且 12 xx， 高一数学参考答案（第 6 页 共 10 页） 有 1122 12 eeee xxxx f xf x 2 分 1212 ee
15、ee xxxx 21 12 12 ee ee e xx xx xx 1212 12 eee1 e xxxx xx 4 分 由 21 0 xx，得 12 ee0 xx ， 12 e1 xx ， 12 e0 xx ，于是 12 0f xf x， 即 12 f xf x，所以 f x在0,上单调递增. 5 分 又因为 f x是偶函数，所以 f x在,0上单调递减. 综上所述， f x在区间0,上单调递增，在,0上单调递减. 6 分 （2）因为 211 2ee xx g xxxa 2 11 =1ee1 xx xa 将 g x的图像向左平移 1 个单位得到 2 ee1 xx h xxa ， 7 分 对任
16、意的x，有 hxh x，故 h x是偶函数. 9 分 要使 g x有唯一零点， 即 h x有唯一零点， 而 h x的图像关于y轴对称， 故 00h， 求得 1 2 a . 11 分 由（1）可知，当 1 2 a 时， h x在区间0,上单调递增，在,0上单调递减， 又 00h，故可知 h x有唯一零点0，符合题意，故 1 2 a . 12 分 解法二：（1）同解法一. 6 分 （2）因为 211 2ee xx g xxxa 2 11 =1ee1 xx xa 2 2121 222 2ee xx gxxxa 211 4442ee xx xxxa 211 =2ee xx xxa ， 高一数学参考答案
17、（第 7 页 共 10 页） 所以 2gxg x，即1x 为 g x的对称轴. 9 分 要使函数 g x有唯一零点，所以 g x的零点只能为1x ， 10 分 即 21 11 1 112 1ee0ga ，解得 1 2 a . 11 分 由（1）可知，当 1 2 a 时， g x在区间 1,上单调递增，在,1 上单调递减，又 10g，故可知 g x有唯一零点1，符合题意，故 1 2 a . 12 分 21. 【命题意图】本小题主要考查正弦定理等基础知识；考查逻辑推理能力、运算求解能 力；考查化归与转化思想、数形结合思想；考查直观想象、逻辑推理、数学运算、数 学建模、数学抽象等核心素养；体现基础性
18、、综合性、创新性、应用性. 【解答】解法一：作图如下 3 分 选择一条水平基线HG（如图） ，使得,H G B三点在同一条直线上. 4 分 在,H G两点用测角仪测得A的仰角分别为, . 5 分 用米尺测得HGa， 即CDa， 测得测角仪的高度是h.(若没有做出DH， 扣掉 1 分) 6 分 在ACD中，由正弦定理，可得 sinsin ACCD ，即 sin sin a AC ， 8 分 在Rt ACD中，有 sinsin sin sin a AEAC ， 10 分 所以建筑物的高度 sinsin sin a ABAEhh .(若漏掉h，扣一分) 12 分 解法二：同解法一. 6 分 在Rt
19、ACE，Rt ADC中分别有 tan AE DE ， tan AE CE ， 8 分 高一数学参考答案（第 8 页 共 10 页） 所以 (tantan) tantantantan AEAEAE CDDECE ， 所以 tantan tantan a AE . 10 分 所以建筑物的高度 tantan tantan a ABAEhh .(若漏掉h，扣一分) 12 分 22. 【命题意图】本小题主要考查直线与直线、直线与平面、平面与平面的位置关系、平 面与平面所成角等基础知识；考查空间想象能力、逻辑推理能力、运算求解能力；考 查化归与转化思想、 数形结合思想； 考查直观想象、 逻辑推理、 数学运
20、算等核心素养； 体现基础性和综合性. 【解答】解法一： （1）连接DB交AC于O，连接OM， 1 分 因为M，O分别为SB，DB的中点，所以SDMO. 2 分 又因为SD 平面MAC，MO 平面MAC，所以SD平面MAC. 4 分 （2）因为SCBCABSASBa，所以CMSB，AMSB， 故AMC为二面角ASBC的平面角. 6 分 因为2ACa， 3 2 AMCMa， 所以由余弦定理可得， 222 1 cos 23 AMCMAC AMC AM CM . 7 分 取 S B 的中点N，连接A N，C N， 因为S CB CB AS Aa ，所以A NS B ，C NS B ， 故A NC为二面
21、角AS BC 的平面角. 9 分 因为 3 2 A NC Na， 由余弦定理可得， 222 1 cos 23 A NC NA C A NC A N C N . 10 分 O B C S A D M 高一数学参考答案（第 9 页 共 10 页） 故180AMCA NC， 即二面角ASBC的平面角与二面角AS BC 的平 面角互补. 11 分 故当S与 S ，B与 B ，C与 C 重合时， 正四面体SA B C 的侧面S A B 与正四棱锥 SABCD的侧面SAB为同一平面， 由对称性同理可得，正四面体SA B C 的侧面S A C 与正四棱锥SABCD的侧面 SDC为同一平面，故拼成的新的几何体
22、由 5 个面组成. 12 分 解法二： （1）同解法一. 4 分 （2）如图所示， 由于S 平面SAB，S 平面SCD，故设平面SAB平面SCDl，在直线l上取一点 A ，使其在S点的右侧，并满足SASBSCa ，连接A C与A B，下证ASBC 是棱长为a的正四面体： 因为DCAB，DC 平面SAB，AB 平面SAB，所以DC平面SAB. 6 分 又 因 为平 面SCD平面SAB SA ，DC 平面SCD， 所 以DC SA ， 所以 60A SCSCD . 8 分 又SASCa ，故SA C为边长为a的正三角形，所以A Ca. 10 分 同理可得A Ba，所以ASBC 是棱长为a的正四面体， 所以正四面体ASBC 的侧面SA C与正四棱锥SABCD的侧面SDC为同一平面， 正四面体ASBC 的侧面SA B与正四棱锥SABCD的侧面SAB为同一平面， 故拼成 N B A C S A (S) (B) (C) B C S A D D A S C B l A 高一数学参考答案（第 10 页 共 10 页） 的新的几何体由 5 个面组成. 12 分
