1、高考数学培优专题库教师版 第十六讲第十六讲古典概型与几何概型古典概型与几何概型 A A 组组 一、一、选择题选择题 1、从个位数与十位数之和为奇数的两位数中任取一个，其个位数是 0 的概率为（） A 9 4 B 1 3 C 9 2 D 9 1 【答案】：D 【解析】：根据计数原理，个位数与十位数之和为奇数的两位数共有452 1 5 1 4 1 5 CCC个， 其中个位数是 0 的两位数有5 1 1 1 5 CC个， 因此由古典概型可知个位数是 0 的概率 9 1 45 5 P。 2、锅中煮有芝麻馅汤圆6个，花生馅汤圆5个，豆沙馅汤圆4个，这三种汤圆的外部特 征完全相同从中任意舀取4个汤圆，则每
2、种汤圆都至少取到1个的概率为（） A 8 91 B 25 91 C 48 91 D 60 91 【答案】：C 【解析】：本题考察古典概型。由题目条件可知总的舀法为： 4 15 C，而所求事件可分为三 类，即芝麻馅汤圆、花生馅汤圆，豆沙馅汤圆取得个数分别按 1，1，2；1，2，1；2，1，1 三类，故所求概率 112121211 654654654 4 15 48 91 CCCCCCCCC P C 。 3、如图，在圆心角为直角的扇形 OAB 中，分别以 OA、OB 为直径作两个半圆，在扇形 OAB 内随机取一点，则此点取自阴影部分的概率是() A1 2 B.1 2 1 C. 2 D. 1 【答案
3、】：A 高考数学培优专题库教师版 【解析】 ： 本题考察几何概型以及面积的相关计算。 如图设阴影部分两块的面积分别为 1 S， 2 S，OAR，则 8 )2( ) 2 ( 2 1 4 ) 2 ( 2)S-(2 2 2 2 DOCODC1 RR R SS 扇形 ， 1DOAB2 S-SSS 扇形 = 8 )2( 8 )2( ) 2 ( 4 1 22 22 2 RRR RS ，故而所求概率 2 1 4 4 )2( 2 2 AOB 21 R R S SS P 扇形 。 4、（2016 重庆二诊理 5）在区间1，4上任取两个数，则所取两个数的和大于 3 的概率 为（） A. 18 1 B. 32 9
4、C. 32 23 D. 18 17 【答案】：D 【解析】：在区间1，4上任取两个数记作（x，y），则基本事件构成集合 41 , 41),(yxyx ，面积933 S，满足条件的事件 3, 41 , 41),(yxyxyxA ， 如图阴影面积 2 17 11 2 1 9 A S； 故所求概率 18 17 9 2 17 S S P A。 高考数学培优专题库教师版 二、二、填空题填空题 5、从 0，1，2，3，4，5，6，7，8，9 中任取七个不同的数则这七个数的中位数是 6 的 概率为_。 【答案】： 6 1 【解析】：从 0 到 9 十个数字中任取七个不同的数有 7 10 C种取法，要使七个数
5、字的中位数 是 6，则 6，7，8，9 必须取，然后再从 0，1，2，3，4，5 中任取 3 个数字，有 3 6 C种取法， 故所求概率 6 1 7 10 3 6 C C P。 6、投掷两颗骰子，其向上的点数分别为 m 和 n，则复数(mni)(nmi)为实数的概率 为。 【答案】：1 6 【解析】：投掷两颗骰子，共向上的点数 m、n，用(m，n)记录基本事件，则基本事件构 成集合Nnmnmnm, 61 , 61),(。因为imnmnminnim)(2)( 22 ，则它 为实数的等价条件是 22 nm ，又 m、n 均为正整数，从而 mn。故所求事件有(1，1)，(2， 2)，(3，3)，(4
6、，4)，(5，5)，(6，6)基本事件共 6 个，中共有 36 个基本事件，则 P 6 36 1 6。 7、已知正方体 1111 DCBAABCD内有一个内切球 O，则在正方体内任取点 M，点 M 在球 O 内的概率是。 【答案】： 6 高考数学培优专题库教师版 【 解 析 】 ： 设 正 方 体 棱 长 为 a ， 则 正 方 体 的 体 积 3 1 aV ， 内 切 球 的 体 积 为 3 3 2 6 1 23 4 a a V ，故点 M 在球 O 内的概率为 6 6 1 3 3 1 2 a a V V P。 8、若区域2),(yxyxM，在区域 M 内的点的坐标为),(yx，则0 22
7、yx的概率 是_。 【答案】：1 2 【解析】：本题考察几何概型及线性规划的综合应用。如图，区域 M 是以(2，0)，(2， 0)，(0，2)，(0，2)为顶点的正方形，其中满足0 22 yx的是直线 yx 和 yx 所夹 的如图所示的阴影部分，显然阴影部分的面积恰好是区域 M 面积的一半，故所求的概率为1 2。 三、解答题三、解答题 9、某校高三有 5 名同学报名参加甲、乙、丙三所高校的自主招生考试，每人限报一所高 校。求这三所高校中每个学校都至少有一名同学报考的概率。 【答案】： 81 50 【解析】：因为每名学生都有 3 种报考方法，所以 5 名同学报名参加甲、乙、丙三所高 校的自主招生
8、考试的报考方法总数为24335种。 三所高校中每个学校都至少有一名同学报考有两种情形： （1）三所学校报名人数为 3，1，1，共有60 3 3 3 5 AC种； （2）三所学校报名人数为 2，2，1，共有90 3 3 2 2 2 2 2 4 1 5 A A CC C种； 所以三所高校中每个学校都至少有一名同学报考的方法总数为 60+90=150 种， 高考数学培优专题库教师版 故所求概率 81 50 243 150 P。 10、某车间共有 12 名工人，随机抽取 6 名，他们某日加工零件个数的茎叶图如图所示， 其中茎为十位数，叶为个位数. （1）根据茎叶图计算样本均值； （2）日加工零件个数大
9、于样本均值的工人为优秀工人，根据茎叶图推断该车间 12 名工 人中有几名优秀工人？ （3）从该车间 12 名工人中，任取 2 人，求恰有 1 名优秀工人的概率. 【解析】：本题考查统计中的茎叶图、样本均值、用样本估计总体、古典概型等知识， 除应用频率估算概率外，还特别要注意基本公式的应用. （1）样本均值 171920212530 22 6 x ； （2）样本中优秀工人为 2 名，频率为 21 63 ，由此估计该车间 12 名工人中有 1 124 3 名 优秀工人； （3）由于 12 名工人中有 4 名优秀工人，任取 2 人恰有 1 名优秀工人的概率 33 16 2 12 1 4 1 8 C
10、CC P。 B B 组组 一、选择题一、选择题 1、某校高三年级举行一次演讲赛共有 10 位同学参赛，其中一班有 3 位，二班有 2 位， 其它班有 5 位，若采用抽签的方式确定他们的演讲顺序，则一班有 3 位同学恰好被排在一起 （指演讲序号相连），而二班的 2 位同学没有被排在一起的概率为（） A 1 10 B 1 20 C 1 40 D 1 120 【答案】：B 【解析】：10 位同学参赛演讲顺序共有 10 10 A种； （1）一班有 3 位同学恰好被排在一起有 3 3 A种方法； 高考数学培优专题库教师版 （2）将一班的同学捆在一起与其他的 5 位同学共 6 个对象排成一列有 6 6 A
11、种方法； （3）二班的 2 位同学插入以上 6 个对象所形成的 7 个间隙有 2 7 A种方法； 根据分布计数原理：一班有 3 位同学恰好被排在一起（指演讲序号相连），而二班的 2 位同学没有被排在一起共有 3 3 A 6 6 A 2 7 A种方法； 故所求概率 20 1 10 10 2 7 6 6 3 3 A AAA P。 2、10 张奖券中只有 3 张有奖，5 个人购买，至少有 1 人中奖的概率是（） A. 3 10 B. 1 12 C. 1 2 D. 11 12 【答案】：D 【解析】：方法一（直接法）：本题考察古典概型。由题意知试验所包含的所有基本事 件数为252 5 10 C，至少有
12、一人中奖包括：一人中奖，两人中奖，三人中奖，其基本事件数为 2 7 3 3 3 7 2 3 4 7 1 3 CCCCCC。则所求概率 12 11 5 10 2 7 3 3 3 7 2 3 4 7 1 3 C CCCCCC P。 方法二（正难则反）：所求事件的对立事件是没有人中奖，其基本事件数为 5 7 C。则至少 有 1 人中奖的概率 12 11 1 5 10 5 7 C C P。 3、已知事件“在矩形 ABCD 的边 CD 上随机取一点 P，使APB 的最大边是 AB”发生的概 率为 2 1 ，则 AD AB =（） A. 1 2 B. 1 4 C. 3 2 D. 7 4 【答案】：D 【解
13、析】：本题的关键是找出使APB 的最大边是 AB 的临界条件。如图， 在矩形 ABCD 中，以 AB 为半径作圆交 CD 分别于 E，F，当点 P 在线段 EF 上运动时满足题 设要求，所以 E、F 为 CD 的四等分点，设4AB，则4, 3ABAFDF在直角三角形 ADF 高考数学培优专题库教师版 中，7 22 DFAFAD，所以 4 7 AB AD 。 4、（2016 全国卷 12）从区间10，随机抽取n2 个数,2121 ,.,., nn yyyxxx 构成n个数对 ),(,., ,2221nn yxyxxx 其中两数的平方和小于1的数共有m个，则用随机模拟的方法得到的 圆周率的近似值为
14、（） A. m n4 B. m n2 C. n m4 D. n m2 【答案】：C 【解析】：由题意得 ),.,2 , 1)( , niyx ii 在如图所示方格中，而平方和小于 1 的点均在如图 所示的阴影部分中，由几何概型知 41 4 P ； 故而有 n m 4 ，即 n m4 。 二、填空题二、填空题 5、某轻轨列车有 4 节车厢，现有 6 位乘客准备乘坐，设每一位乘客进入每节车厢是等可 能的，则这 6 位乘客进入各节车厢的人数恰好为 0，1，2，3 的概率为。 【答案】： 128 45 【解析】 :6 位乘客进入车厢的方案共有 6 4种， 6 位乘客进入各节车厢的人数恰好为 0， 1，
15、 2，3 的方案有 4 4 3 3 2 5 1 6 0 6 ACCCC种，从而所求概率 128 45 46 4 4 3 3 2 5 1 6 0 6 ACCCC P。 6、在区间-3，3上随机取一个数 x，使得|x+1|-|x-2|1 成立的概率为_。 【答案】： 1 3 【解析】：设( )12f xxx ，则 3, 31 ( )1221, 12 3,23 x f xxxxx x ； 由21 1x ，解得12x，即当13x时，( )1f x ； 高考数学培优专题库教师版 由几何概型公式得所求概率为 3 1 )3(3 13 P。 7、连掷两次骰子得到的点数分别为 m 和 n，设向量),(nma 与
16、向量) 1, 1 ( b的夹角为 ，则 2 , 0 的概率是_。 【答案】： 7 12 【解析】：由题目条件可 22 2 cos nm nm ba ba ， 因为 2 , 0 ，则有nm 。 满足条件nm 的概率 6 1 36 6 1 P， 显然nm 的概率与nm 的概率相等， 从而nm 的概率为 12 5 ) 6 1 1 ( 2 1 2 P， 因此满足nm 的概率为 12 7 12 5 6 1 21 PPP。 8、已知关于 x 的二次函数14)( 2 bxaxxf。设集合 P1，1，2，3，4，5，Q 2，1，1，2，3，4，分别从集合 P 和 Q 中任取一个数作为 a 和 b 的值，函数
17、yf(x) 在区间1，)上是增函数的概率为_。 【答案】： 9 4 【解析】：抛物线14)( 2 bxaxxf的对称轴为 a b x 2 。 因为 yf(x)在区间1，)上为增函数，则有0a且1 2 a b ，即ba2且0a。 若 a1，则 b2，1； 若 a2，则 b2，1，1； 若 a3，则 b2，1，1； 若 a4，则 b2，1，1，2； 若 a5，则 b2，1，1，2， 高考数学培优专题库教师版 从而该事件包含基本事件数为 16，所有基本事件数为 66=36； 因此所求概率 9 4 36 16 P。 三、解答题三、解答题 9、一个袋中装有黑球，白球和红球共 n( * nN)个，这些球除
18、颜色外完全相同已知从 袋中任意摸出 1 个球，得到黑球的概率是 2 5 现从袋中任意摸出 2 个球 （1）若 n=15，且摸出的 2 个球中至少有 1 个白球的概率是 4 7 ，设表示摸出的 2 个球中 红球的个数,求随机变量的概率分布及数学期望E； （2）当 n 取何值时，摸出的 2 个球中至少有 1 个黑球的概率最大，最大概率为多少? 【解析】：（1）设袋中黑球的个数为x(个)，记“从袋中任意摸出一个球，得到黑球” 为事件 A，则 2 ( ) 155 x P A ，解得6x ； 设袋中白球的个数为y(个)，记“从袋中任意摸出两个球，至少得到一个白球”为事件 B，则 2 15 2 15 4
19、( )1 7 y C P B C ， 化简得 2 291200yy，解得5y 或24y (舍) 从而红球的个数为15654(个) 故随机变量的取值为 0，1，2，分布列是 012 P 11 21 44 105 2 35 的数学期望 1144256 012 2110535105 E （2）设袋中有黑球z个，则 2 (5,10,15, 5 zn n） 设“从袋中任意摸出两个球，至少得到一个黑球”为事件 C， 则 1 1 25 6 25 16 1)( 2 5 3 n CP C C n n n ； 当5n 时，( )P C最大，最大值为 7 10 。 10、某市公租房房屋位于 A.B.C 三个地区，设
20、每位申请人只申请其中一个片区的房屋， 且申请其中任一个片区的房屋是等可能的，求该市的任 4 位申请人中: 高考数学培优专题库教师版 （）若有 2 人申请 A 片区房屋的概率; （）申请的房屋在片区的个数的分布列与期望。 【解析】 ：（） 所有可能的申请方式有 4 3种， 恰有2人申请A片区房源的申请方式有 22 4 2C 种， 从而恰有 2 人申请 A 片区房源的概率为 27 8 3 2 4 22 4 C P。 （）的所有可能值为 1，2，3。 4 31 1 327 p， 24 3 4 22 14 2 327 C p ， 23 43 4 4 3 39 C A p 综上知，的分布列为： 123
21、p 1 27 14 27 4 9 从而有 114465 123 2727927 E C C 组组 一、选择题一、选择题 1、节日前夕，小李在家门前的树上挂了两串彩灯，这两串彩灯的第一次闪亮相互独立， 且都在通电后的 4 秒内任一时刻等可能发生，然后每串彩灯在 4 秒内为间隔闪亮，那么这两 串彩灯同时通电后，它们第一次闪亮的时刻相差不超过 2 秒的概率是() A. 1 4 B. 1 2 C. 3 4 D. 7 8 【答案】：C 【解析】：由于两串彩灯第一次闪亮相互独立且在通电后 4 秒内任一时刻等可能发生， 所以总的基本事件为如图所示的正方形的面积，而要求的是第一次闪亮的时刻相差不超过 2 秒的
22、基本事件为如图所示的阴影部分的面积。 高考数学培优专题库教师版 如图所示，根据几何概型的计算公式可知它们第一次闪亮的时刻相差不超过 2 秒的概率 是 123 164 。 2、在二项式 n x x) 2 ( 的展开式中只有第五项的二项式系数最大，把展开式中所有的项 重新排成一列，则有理项都互不相邻的概率为（） A. 6 1 B. 4 1 C. 3 1 D. 12 5 【答案】：D 【解析】：因为展开式中只有第五项的二项式系数最大，所以8n，其通项公式为 4 316 8 4 8 81 2 2 r rr r r r r xC x xCT ，当 8 , 4 , 0r 时，项为有理项， 展开式的 9 项
23、全排列为 9 9 A种，所有的有理项互不相邻可把 6 个无理项全排，把 3 个有理 项插入形成的 7 个空中，有 3 7 6 6A A， 所以有理项互不相邻的概率为 12 5 9 9 3 7 6 6 A AA P 。 3、以平行六面体 1111 DCBAABCD的任意三个顶点为顶点作三角形，从中随机取出两个 三角形，则这两个三角形不共面的概率为（） A 385 367 B 385 376 C 385 192 D 385 18 【答案】：A 【解析】：已平行六面体 1111 DCBAABCD的任意三个顶点为顶点作三角形共有56 3 8 C 个，从中取出两个三角形共有 2 56 C种，其中两个三角
24、形共面的结果有 2 4 12C种，故两个三角形 不共面的概率 385 36712 1 2 56 2 4 C C P 。 高考数学培优专题库教师版 4、向边长分别为13, 6 , 5的三角形区域内随机投一点 M，则该点 M 与三角形三个顶点距 离都大于 1 的概率为（） A 18 1 B. 12 1 C. 9 1 D. 4 1 【答案】：A 【解析】：设ABC 的三边 AB=5，BC=6，AC=， 根据余弦定理可得 5 4 552 133625 cos B，), 0(B，则 5 3 sinB， 所以ABC 的面积9 5 3 65 2 1 S； 而在ABC 的内部且离点 A 距离小于等于 1 的点
25、构成的区域的面积为 2 1 1 2 1 AS， 同理可得在ABC 的内部且离点 B、C 距离小于等于 1 的点构成的区域的面积分别为 2 2 1 2 1 BS， 2 3 1 2 1 CS，所以在ABC 内部，且与三角形三个顶点距离都大于 1 的平面 区域的面积为 2 9)(9)(9 321 CBASSS， 根据几何概型的概率计算公式可得所求概率为 18 1 9 2 9 P。 二、填空题二、填空题 5、连续投掷两次骰子得到的点数分别为 m、n，向量),(nma 与向量)0 , 1 ( b的夹角记为 ，则 4 , 0 的概率为。 【答案】： 12 5 【解析】：连续投掷两次骰子的点数 m、n，构成
26、的向量),(nma ，共有 36 个，因为 a与 b的夹角 4 , 0 ，则) 1 , 2 2 (cos 22 nm m ba ba ， 即1 2 2 22 nm m ，从而有 nm； 又满足要求的向量 a有(2，1)，(3，1)，(3，2)，(4，1)，(4，2)，(4，3)，(51)，(5， 2)，(5，3)，(5，4)，(6，1)，(6，2)，(6，3)，(6，4)，(6，5)共 15 个， 故所求概率 12 5 36 15 P。 高考数学培优专题库教师版 6、某中学早上 8 点开始上课，若学生小张与小王均在早上 7:40 至 8:00 之间到校，且两 人在该时间段的任何时刻到校都是等可
27、能的，则小张比小王至少早 5 分钟到校的概率 为。 【答案】： 32 9 【解析】：设设小张到校的时间为 x，小王到校的时间为 y。(x，y)可以看成平面中的点 试验的全部结果所构成的区域为5030,5030),(yxyx是一个矩形区域，对应的面 积 S=2020=400； 则小张比小王至少早 5 分钟到校事件5xyxA作出符合题意的图象， 如图，符合题意的区域为ABC， 联立 60 50 y xy 解得 C(55，60)；联立 40 50 y xy 得 B(40，35)， 则1515 2 1 ABC S， 由几何概率模型可知小张比小王至少早 5 分钟到校的概率 32 9 2020 1515
28、2 1 P。 7、某艺校在一天的 6 节课中随机安排语文、数学、外语三门文化课和其他三门艺术课各 1 节，则在课表上的相邻两节文化课之间最多间隔 1 节艺术课的概率为_(用数字作 答)。 【答案】：【答案】： 3 5 【解析【解析】：基本事件总数为 6 6 A720，事件“相邻两节文化课之间最多间隔 1 节艺术课” 所包含的基本事件可分为三类： 第一类：三节艺术课各不相邻有 33 34 A A144； 第二类：有两节艺术课相邻有 32211 33223 A C A C C216； 高考数学培优专题库教师版 第三类：三节艺术课相邻有 133 233 C A A72. 由古典概型概率公式得所求概率
29、为 5 3 720 72216144 P。 8、已知平面区域 2 40),(xyyx，直线mmxyl2:和曲线 2 4:xyC有 两个不同的交点，直线l与曲线 C 围成的平面区域为 M，向区域内随机投一点 A，点 A 落在 区域 M 内的概率为)(MP，若 1 , 2 2 )( MP ，则实数 m 的取值范围是。 【答案】：0，1 【解析】：如图，不难发现直线恒过定点(2，0)，平面区域为如图所示的上半 圆，直线过(2，0)，(0，2)时，它们围成的平面区域为 M，向区域上随机投一点 A， 点 A 落在区域 M 内的概率为)(MP，此时 2 2 )( MP， 当直线与 x 轴重合时，1)(MP
30、； 故实数 m 的取值范围是0，1。 三、解答题三、解答题 9、美国次贷危机引发 2008 年全球金融动荡，波及中国股市，甲、乙、丙、丁四人打算 趁目前股市低迷之际“抄底”.若四人商定在圈定的 6 只股票中各自随机购买一只（假定购买 时每支股票的基本情况完全相同）。 （）求甲、乙、丙、丁四人恰好买到同一只股票的概率； （）求甲、乙、丙、丁四人中至多有两人买到同一只股票的概率； （）由于国家采取了积极的救市措施，股市渐趋“回暖”。若某人今天按上一交易日 的收盘价 20 元/股，买入某只股票 1000 股（10 手），且预计今天收盘时，该只股票比上一 交易日的收盘价上涨 10%（涨停）的概率为 0
31、.6，持平的概率为 0.2，否则将下跌 10%（跌停） ， 求此人今天获利的数学期望（不考虑佣金，印花税等交易费用）。 【解析】：（1）四人恰好买到同一只股票的概率 216 1 6 1 6 1 6 1 6 1 6 1 P； 高考数学培优专题库教师版 （2）（方法 1）四人中有两人买到同一只股票的概率 216 135 64 3 6 2 4 2 6 2 2 2 2 2 4 2 ACA A CC P； 四人中每人买到不同的股票的概率 18 5 64 4 6 3 A P； 所以四人中至多有两人买到同一只股票的概率 72 65 18 5 216 135 32 PPP （方法 2）四人中有三人恰好买到同一
32、只股票的概率 54 5 64 2 6 3 4 4 AC P 所以四人中至多有两人买到同一只股票的概率 72 65 54 5 216 1 11 41 PPP； （3）每股今天获利钱数的分布列为： 20 2 0 .6 0 .2 0 .2 所以，10 手股票在今日交易中获利钱数的数学期望为 1000E100020.600.2(2)0.2800。 10、某高校数学系计划在周六和周日各举行一次主题不同的心理测试活动，分别由李老 师和张老师负责，已知该系共有 n 位学生，每次活动均需该系 k 位学生参加（n 和 k 都是固 定的正整数）。假设李老师和张老师分别将各自活动通知的信息独立、随机地发给该系 k
33、位 学生，且所发信息都能收到。记该系收到李老师或张老师所发活动通知信息的学生人数为 x。 （1）求该系学生甲收到李老师或张老师所发活动通知信息的概率； （2）求使 )(mXP 取得最大值的整数 m。 【解析】（1）因为事件 A=“学生甲收到李老师所发信息”与事件 B=“学生甲收到张老 师所发信息”是相互独立的事件，所以AB与相互独立， 由于 P(A)=P(B)= n k C C k n k n 1 1 ，则 n k BPAP1)()(， 故所求概率 2 2 2 2 )1 (1 n kkn n k P 。 （2）当 k=n 时，m 只能取 n，有 P(X=m)=P(X=n)=1；当 kn 时，整
34、数 m 满足kmt， 高考数学培优专题库教师版 其中 t 是 2k 和 n 中的较小者，由于“李老师和张老师各自独立、随机地发活动通知信息给 k 位同学”所包含的基本事件总数为 2 k n C，当 X=m 时，同时收到李老师和张老师转发信息的学 生人数恰为 2k-m，仅收到李老师或仅收到张老师转发信息的学生人数均为 m-k，由乘法计数 原理知：事件X=m所包含基本事件数为 km kn km k k n km kn mk k k n CCCCCC 2 ， 此时 k n km kn km k k n km kn km k k n C CC C CCC mxP 2 )(， 当tmk时，P(X=m)
35、1(mXP 112 (1)()(2) m km kmkmk kn knn k CCCCmknmkm -+ -+ - - -+- 2 2 2 mk n 郏- + （k+1） ， 假如 2 2 2 kkt n - + （k+1） 成立，则当 2 （k+1）能被n+2整除时， 22 22 +1 22 kkkt nn - + （k+1）（k+1） ，故 P（X=m）在 2 =2 2 mk n - + （k+1） 和 2 =2 +1 2 mk n - + （k+1） 处取得 最大值；当 2 +1k（）不能被 n+2 整除时， 2 ()=2 2 P Xmmk n =- + （k+1） 在处达最大值。（注：x 表示不超过 x 的最大整数） 下面证明 2 2 2 kkt n - + （k+1） 。 因为1kn，所以 22 1 2- 22 kk nn - -= + （k+1）kn-k 2 11 0 22 k kkk nn - = + ( +1)- ， 而 22 (+1 20 22 knk kn nn - -= - + ( +1)） ，故 2 2 2 k kn n - + ( +1) ，显然 2 22 2 k kk n - + ( +1) ， 因此 2 2 2 kkt n - + （k+1） 。
