1、高考数学培优专题库教师版 第十九讲第十九讲 正态分布强化专题练正态分布强化专题练 A 组 一、选择题 1在如图所示的正方向中随机投掷 10000 个点，则落入阴影部分（曲线C为正态分布1,1N 的密 度曲线）的点的个数的估计值为（附：若 2 ,XN ，则()0.6827PX， (22 )0.9545PX.（） A. 906B. 1359C. 2718D. 3413 【答案】B 【解析】由正态分布的性质可得，图中阴影部分的面积 0.95450.6827 0.1359 2 S ， 则 落 入 阴 影 部 分 （ 曲 线C为 正 态 分 布1,1N 的 密 度 曲 线 ） 的 点 的 个 数 的 估
2、 计 值 为 0.1359 100001359 1 N . 本题选择 B 选项. 22017 年 1 月我市某校高三年级 1600 名学生参加了 2017 届全市高三期末联考，已知数学考试成绩 2 100,XN（试卷满分 150 分） 统计结果显示数学考试成绩在 80 分到 120 分之间的人数约为总人 数的 3 4 ，则此次期末联考中成绩不低于 120 分的学生人数约为 A. 120B. 160C. 200D. 240 【答案】C 【解析】结合正态分布图象的性质可得：此次期末联考中成绩不低于 120 分的学生人数约为 3 1 4 1600200 2 . 本题选择 C 选项. 3已知随机变量
3、X 服从正态分布 2 0,40.84,(24)NP XPX，且则 A. 084B. 068C. 032D. 016 【答案】B 【解析】40.84P x (4)1 0.840.16P x ， (2)= (4)0.16P xP x (24)4(2)0.840.160.68PxP xP x.故选 B 4随机变量X服从正态分布 2 3,且40.84P X ,则(24)PX A.0.16B.0.32C.0.68D.0.84 【答案】C 【解析】 由题(4)141 0.840.16P xP x ,又随机变量X服从正态分布 2 3,， 则对称 轴3X ，则(2)(4)0.16P xP x，可得 (24)4
4、(2)0.840.160.68PxP xP x故本题答案选C 5已知随机变量X1,1N，其正态分布密度曲线如图所示，若向正方形OABC中随机投掷 10000 个点，则落入阴影部分的点的个数的估计值为（） 附：若随机变量X 2 ,N ，则()0.6826PX， (22 )0.9544PX A. 6038B. 6587C. 7028D. 7539 【答案】B 【解析】由题意 1 (01)10.68261 034130.6587 2 PX ，则落入阴影部分的点的个数 的估计值为10000 0.65876587，故选 B. 二、填空题二、填空题 6在我校 2015 届高三 11 月月考中理科数学成绩
5、2 (90,)N（0） ，统计结果显示 (60120)0.8P，假设我校参加此次考试有 780 人，那么试估计此次考试中，我校成绩高于 120 分 的有人 【答案】78 【解析】 我校成绩高于120分的有 1 0.8 78078 2 人. 7已知随机变量服从正态分布 2 1,N，若00.2P，则12P_ 【答案】3 . 0 【解析】 高考数学培优专题库教师版 由 正 态 分 布 的 图 象 可 知2 . 0)0()2(PP, 故6 . 00221)20(P, 故 12P3 . 06 . 0 2 1 . 三、解答题三、解答题 8质监部门从某超市销售的甲、乙两种食用油中分别各随机抽取 100 桶检
6、测某项质量指标，由检测 结果得到如下的频率分布直方图： （）写出频率分布直方图（甲）中的值；记甲、乙两种食用油 100 桶样本的质量指标的方差分别 为，试比较，的大小（只要求写出答案） ； （）估计在甲、乙两种食用油中随机抽取 1 捅，恰有一桶的质量指标大于 20； （）由频率分布直方图可以认为，乙种食用油的质量指标值服从正态分布其中近 似为样本平均数，近似为样本方差，设表示从乙种食用油中随机抽取 10 桶，其质量指标值位 于（14.55，38.45）的桶数，求的数学期望 注：同一组数据用该区问的中点值作代表，计算得 若，则， 【解析】 （），. （）设事件：在甲种食用油中随机抽取 1 桶，其
7、质量指标不大于 20， 事件：在乙种食用油中随机抽取 1 桶，其质量指标不大于 20， 事件：在甲、乙两种食用油中随机抽取 1 桶，恰有一个桶的质量指标不大于 20，且另一个不大于 20， 则， ， （）计算得：，由条件得， 从而， 从乙种食用油中随机抽取 10 桶，其质量指标值位于（14.55,38.45）的概率是 0.6826， 根据题意得， . 9某种产品的质量以其质量指标值衡量，并依据质量指标值划分等极如下表： 质量指标值m185m 185205m205m 等级三等品二等品一等品 从某企业生产的这种产品中抽取 200 件，检测后得到如下的频率分布直方图： （1）根据以上抽样调查数据 ，
8、能否认为该企业生产的这种产品符合“一、二等品至少要占 全部产品 90%”的规定？ （2）在样本中，按产品等极用分层抽样的方法抽取 8 件，再从这 8 件产品中随机抽取 4 件， 求抽取的 4 件产品中，一、二、三等品都有的概率； （3）该企业为提高产品质量，开展了“质量提升月”活动，活动后再抽样检测，产品质量 指标值X近似满足218,140XN，则“质量提升月”活动后的质量指标值的均值比活动前大 约提升了多少？ 【 解 析 】（ 1 ） 根 据 抽 样 调 查 数 据 ， 一 、 二 等 品 所 占 比 例 的 估 计 值 为 0.2000.3000.2600.0900.0250.875，由于
9、该估计值小于 0.92，故不能认为该企业生产的 这种产品符合“一、二等品至少要占全部产品 92%”的规定. （2）由频率分布直方图知，一、二、三等品的频率分别为 0.375、0.5、0.125，故在样本中 用分层抽样方法抽取的 8 件产品中，一等品 3 件，二等品 4 件，三等品 1 件，再从这 8 件产品中 随机抽取 4 件，一、二、三等品都有的情况有 2 种：一等品 2 件，二等品 1 件，三等品 1 件； 一等品 1 件，二等品 2 件，三等品 1 件，故所求的概率 211121 341341 4 8 3 7 C C CC C C P C . （3）“质量提升月”活动前，该企业这种产品的
10、质量指标值的均值约为 170 0.025 180 0.1 190 0.2200 0.3210 0.26220 0.09230 0.025 200.4 “质量提升月”活动后，产品质量指标值X近似满足218,140XN，则218E X . 所以，“质量提升月”活动后的质量指标值的均值比活动前大约提升了 17.6 高考数学培优专题库教师版 10某食品店为了了解气温对销售量的影响，随机记录了该店 1 月份中 5 天的日销售量y（单位：千 克）与该地当日最低气温x（单位：C ）的数据，如下表： x258911 y1210887 （1）求出y与x的回归方程 ybxa； （2）判断y与x之间是正相关还是负相
11、关；若该地 1 月份某天的最低气温为6 C ，请用所求回归方 程预测该店当日的销售量； （3）设该地 1 月份的日最低气温X 2 ,N ，其中近似为样本平均数x， 2 近似为样本方 差 2 s，求(3.813.4)PX. 附：回归方程 ybxa中， 1 2 2 1 n ii i n i i x ynxy b xn x ， aybx. 103.2，3.21.8， 若X 2 ,N ， 则()0.6826PX， (22 )0.9544PX. 【解析】 (1) 令5n , 1 135 7 5 n i i xx n ， 1 145 9 5 n i i yy n , 1 2875 7 928 n ii i
12、 x ynxy 2 22 1 2955 750 n i i xn x 28 0.56 50 b 90.56712. 92aybx （或者： 323 25 ） 所求的回归方程是0.5612.92yx (2) 由0.560 b 知y与x之间是负相关， 将6x 代入回归方程可预测该店当日的销售量0.5612.929.56yx (千克) （或者： 239 25 ） (3)由(1)知7x，又由 22222 22 1 2757879711 710 5 s 得3.2 从而(3.813.4)(2 )PXPX. ()(2 )PXPX 11 ()(22 ) 22 PXPX 0.8185 B B 组组 一、选择题
13、1已知随机变量X服从正态分布3,1N，且40.1587P X ，则(24)PX=（） A. 0.6826B. 0.3413C. 0.4603D. 0.9207 【答案】A 【 解 析 】 由 正 态 分 布 的 性 质 可 得 ， 正 态 分 布 的 图 象 关 于 直 线3x 对 称 ， 则 (24)12 0.15870.6826Px . 本题选择 A 选项. 2 某校高考数学成绩近似地服从正态分布 2 100,5N， 且(110)0.96P， 则(90100)P 的值为（） A. 0.49B. 0.48C. 0.47D. 0.46 【答案】D 【 解 析 】 依 据 题 设 条 件 及 正
14、 太 分 布 的 对 称 性 可 知1101 0.960.04P ，所 以 900.04P，则2901001 2 0.040.92P ，所以901000.46P，应选答案 D。 3设随机变量服从正态分布0,1N，若(1)Pp，则( 10)P （） A. 1 2 pB.1pC. 1 2 pD.12p 【答案】C 【解析】随机变量服从正态分布0,1N，(1)(1)PPp . 11 ( 10)12 (1) 22 PPp 4设随机变量X服从正态分布 2 4,N，若()0.3P Xm，则(8)P Xm（） A.0.2B.0.3C.0.7D.与的值有关 【答案】C 【解析】试题分析：因为随机变量X服从正态
15、分布 2 4,N，所以曲线关于4x 对称，所以 高考数学培优专题库教师版 ()(8)0.3P XmP Xm，所以(8)0.7P Xm，故选 C. 5随机变量X1,4N，若20.2p x ，则01px为（ ） A.0.2B.0.6C.0.4D.0.3 【答案】D 【解析】02P XP X， 1 0.2 2 010.3 2 PX ，故选 D 6已知随机变量服从正态分布 2 ,N ，若(2)(6)0.15PP，则(24)P等于 （） A.0.3B.0.35C.0.5D.0.7 【答案】B 【解析】根据正态分布密度曲线的对称性可知，若(2)(6)PP，函数的对称轴是4， 所以(24)0.50.150.
16、35P，故选 B. 7高三某班有 50 名学生,一次数学考试的成绩服从正态分布: 2 105,10N,已知 951050.3413P,该班学生此次考试数学成绩在 115 分以上的概率为() A.0.1587B.0.3413C.0.1826D.0.5000 【答案】A 【解析】因为数学考试的成绩服从正态分布: 2 105,10N,，所以该正态曲线关于105x 对 称， 11 1051951051 0.34130.1587 22 PP，故选 A. 8随机变量0,1N，则12P（） A00215B01359 C01574D02718 （ 参 考 数 据 ：0.6826P，220.9544P， 330
17、.9974P） 【答案】B 【解析】根据正态分布的对称性，有 0.95440.6826 120.1359 2 P 二、填空题 9已知随机变量X服从正态分布3,1N，且213P XcP Xc，则c 。 【答案】 4 3 【解析】 由题设和正态分布的性质可得32312cc，即43 c，所以 3 4 c。故应填 4 3 。 三、解答题 10从某企业的某种产品中抽取 500 件，测量这些产品的一项质量指标值，由测量结果得如下频率分 布直方图： （）求这 500 件产品质量指标值的样本平均数x和样本方差 2 s（用同一组数据用该区间的中点值用 代表） ； （）由频率分布直方图可以认为，这种产品的质量指标
18、值Z服从正态分布 2 , N，其中近似 为样本平均数x， 2 近似为样本方差 2 s. （i）利用该正态分布，求(187.8212.2)PZ； （ii）某用户从该企业购买了 100 件这种产品，记X表示这 100 件产品中质量指标值位于区间 187.8 , 212.2的产品件数，利用（i）的结果，求EX. 附：15012.2， 若 2 ( , )ZN， 则()0.6826PZ，(22 )0.99544PZ 【解析】 （）抽取产品质量指标值的样本平均数x和样本方差 2 s分别为 1700.021800.091900.222000.332100.242200. 082300.02x 200， 22
19、2222 2 300.02200.09100.220 0.33100.24200.08300.02s 150， （） （i）由（）知200 , 150ZN， 从而187.8212.220012.220012.20.6826PZPZ, (ii)由（i）知，一件产品中质量指标值位于区间187.8 , 212.2的概率为0.682，依题意知 100 , 0.6826XB，所以1000.682668.26EX . C C 组组 一、选择题一、选择题 高考数学培优专题库教师版 12016 年 1 月某校高三年级 1600 名学生参加了教育局组织的期末统考，已知数学考试成绩 2 100,XN（试卷满分为
20、150 分） 统计结果显示数学考试成绩在 80 分到 120 分之间的人数约为总 人数的 3 4 ，则此次统考中成绩不低于 120 分的学生人数约为（） A80B100 C120D200 【答案】D 【解析】正态曲线图象的对称轴为100X ，根据其对称性可知， 成绩不低于1200分的学生人数约 为 31 16001200 42 人，故选 D. 2已知随机变量X服从正态分布，其正态分布密度曲线为函数 ( ) () 2 2 2 1 2 x fxe p - - =的图象，若 ( ) 2 0 1 3 fx dx = ，则 () 4P X =（） A 1 6 B 1 4 C 1 3 D 1 2 【答案】
21、A 【解析】由已知得函数 f x的图像关于直线2x 对称，且与直线0 x ，2x 和0y 构成的图形 面积为 1 3 ，所以 11 4122 36 P X ，选 A 3已知某批零件的长度误差（单位：毫米）服从正态分布 2 0,3N，从中随机取一件，其长度误差 落在区间3,6内的概率为（） （ 附 ： 若 随 机 变 量服 从 正 态 分 布 2 ,N ， 则68.26%P， 2295.44%P） A4.56%B13.59% C27.18%D31.74% 【答案】B 【解析】 由题意 1 3368.26%6695.44%3695.44%68.26%13.59% 2 PPP（ ），（ ）， （ ）
22、 （） 故选 B 4设两个正态分布 2 111 (,)(0)N 和 2 222 (,)(0)N 曲线如图所示,则有 （） A 1212 , B 1212 , C 1212 , D 1212 , 【答案】A 【解析】由正态曲线和均值、标准差的意义，得 1212 , ；故选 A 5设 2 (1,)XN，其正态分布密度曲线如图所示，且(X3)0.0228P，那么向正方形 OABC 中 随机投掷 10000 个点，则落入阴影部分的点的个数的估计值为（） 附 ：（ 随 机 变 量服 从 正 态 分 布 2 (1,)N， 则()68.26%P， (22 )P 95.44%） A6038B6587C7028
23、D7539 【答案】B 【解析】由题意得，(1)(3)0.0228P XP X ， ( 13)1 0.02280.9544PX ，1 210 ， 1 (01)(02)0.3413 2 PXPX， 故估计的个数为10000 (1 0.3413)6587个， 故选 B 二、填空题 高考数学培优专题库教师版 6若随机变量 2 2,3XN，且1P XP xa，则 5 21 xaax x 展开式中 3 x项的 系数是_ 【答案】1620 【解析】随机变量 2 2,3XN，均值是 2，且1P XP xa，3a ； 555 22 2 111 33693xaaxxxxxx xxx ； 又 5 1 3x x 展
24、开式的通项公式为 3 5 5 5 2 155 1 313 r r rr rrr r TCxCx x ， 令 3 51 2 r ， 解 得 8 3 r ， 不 合 题 意 ， 舍 去 ； 令 3 52 2 r ， 解 得2r ， 对 应 2 x的 系 数 为 2 32 5 12270C；令 3 53 2 r ，解得 4 3 r ，不合题意，舍去；展开式中 3 x项的系数是 6 2701620，故答案为 1620. 三、解答题 7某食品公司研发生产一种新的零售食品，从产品中抽取 100 件作为样本，测量这些产品的 一项质量指标值，由测量结果得到如图频率分布直方图： （）求直方图中a的值； （）由频
25、率分布直方图可以认为，这种产品的质量指标值Z服从正态分布 2 200,12.2N， 试计算数据落在187.8,212.2上的概率 参考数据：若 2 ,ZN ，则()0.6826PZ， (22 )0.9544PZ （）设生产成本为y，质量指标为x，生产成本与质量指标之间满足函数关系 0.4 ,205, 0.8 80,205, x x y xx 假设同组中的每个数据用该组区间的右端点值代替，试计算生产该食品的 平均成本 【解析】 （）0.033a （）由（）知， 2 200,12.2ZN，从而 (187.8212.2)(200 12.2200 12.2)0.6826PZPZ 由题设条件及食品的质量
26、指标的频率分布直方图，得食品生产成本分组与频率分布表如下： 组 号 1234567 分 组 60,7070,7474,7878,8282,9292,100100,108 频 率 0.0 2 0.0 9 0.2 2 0.3 3 0.2 4 0.0 8 0.02 根据题意，生产该食品的平均成本为 70 0.0274 0.0978 0.2282 0.33 92 0.24 100 0.08 108 0.0284.52 8未来制造业对零件的精度要求越来越高.3D 打印通常是采用数字技术材料打印机来实现的，常在模 具制造、工业设计等领域被用于制造模型，后逐渐用于一些产品的直接制造，已经有使用这种技术打印而
27、 成的零部件该技术应用十分广泛，可以预计在未来会有广阔的发展空间某制造企业向 A 高校 3D 打印 实验团队租用一台 3D 打印设备，用于打印一批对内径有较高精度要求的零件该团队在实验室打印出了 一批这样的零件，从中随机抽取 10 件零件，度量其内径的茎叶图如图所示（单位：m） （I）计算平均值与标准差 （）假设这台 3D 打印设备打印出品的零件内径 Z 服从正态分布 N（，） ；该团队到工厂安装调 试后，试打了 5 个零件度量其内径分别为（单位：m） ：86、95、103、109、118，试问此打印设备是 否需要进一步调试，为什么？ 参考数据：P（2Z+2）=0.9544，P（3Z+3）=0
28、.9974，0.9544 3=0.87， 0.9974 4=0.99，0.04562=0.002 【解析】 （I）平均值=105m 方差=36，标准差=6 （）需要进一步调试，Z 服从正态分布 N（105，36） ， P（3Z+3）=0.9974，内径在（87，123）之外的概率为 0.0026， 而 86（87，123） ，根据 3原则，若机器异常，需要进一步调试 9从某企业生产的某种产品中抽取 500 件，测量这些产品的一项质量指标值，由测量结果得如下图 频率分布直方图： 高考数学培优专题库教师版 （I）求这 500 件产品质量指标值的样本平均值x和样本方差 2 s（同一组的数据用该组区间
29、的中点值 作代表） ； （II）由直方图可以认为，这种产品的质量指标Z服从正态分布 2 ,N ，其中近似为样本平均 数x， 2 近似为样本方差 2 s. （i）利用该正态分布，求187.8212.2PZ； （ii）某用户从该企业购买了 100 件这种产品，记X表示这 100 件产品中质量指标值位于区间 187.8,212.2的产品件数.利用（i）的结果，求EX. 附：15012.2 若 2 ,ZN 则0.6826PZ，220.9544PZ。 【解析】 （I）抽取产品的质量指标值的样本平均值x和样本方差 2 s分别为 170 0.02 180 0.09 190 0.22x 200 0.33210
30、 0.24220 0.08230 0.02 200， 2222222 ( 30)0.02( 20)0.09( 10)0.220 0.33 100.24200.0 8300.02s 150 （II ） （ i）由（ I）知，Z服从正态分布(200,150)N，从而 187.8212.2PZ(200 12.2Z200P 12.2)0.6826 （ii）由（i）可知，一件产品的质量指标值位于区间187.8,212.2的概率为0.6826，依题意知 (100,0.6826)XB，所以100 0.682668.26EX 10某市需对某环城快速车道进行限速，为了调研该道路车速情况，于某个时段随机对100辆
31、 车的速度进行取样，测量的车速制成如下条形图： 经计算：样本的平均值85，标准差2.2，以频率值作为概率的估计值.已知车速过慢 与过快都被认为是需矫正速度，现规定车速小于3或车速大于2是需矫正速度. （1）从该快速车道上所有车辆中任取1个，求该车辆是需矫正速度的概率； （2）从样本中任取2个车辆，求这2个车辆均是需矫正速度的概率； （3）从该快速车道上所有车辆中任取2个，记其中是需矫正速度的个数为，求的分布列 和数学期望. 【解析】 （1）记事件A为“从该快速车道上所有车辆中任取1个，该车辆是需矫正速度”， 因为378.4,289.4， 由样本条形图可知，所求的概率为 141 P AP(x3)
32、P(x2)P(x78.4)P(x89.4) 10010020 . （2）记事件B为“从样本中任取2个车辆，这2个车辆均是需矫正速度” 由题设可知样本容量为100，又需矫正速度个数为5个，故所求概率为 2 5 2 100 C1 P B C495 . （3）需矫正速度的个数服从二项分布，即 1 B 2, 20 ， 02 0 2 119361 P 0C 2020400 ， 11 1 2 11919 P 1C 2020200 ， 20 2 2 1191 P 2C 2020400 ， 因此的分布列为 012 P 361 400 19 200 1 400 高考数学培优专题库教师版 由 1 B 2, 20 ，知数学期望 11 E 2 2010 .
