1、高考数学培优专题库教师版 第三十七讲第三十七讲直线与圆锥曲线直线与圆锥曲线 A 组 一、选择题 1. 抛物线 2 4yx的焦点为F，倾斜角等于45的直线过F交该抛物线于,A B两点，则|AB= （） A2B.4C.8D. 10 【解析】由题可知焦点(1,0)F，直线AB的方程1yx,设点 12 ( ,)A x y， 22 (,)B xy 联立方程组 2 4 1 yx yx 可得 2 610 xx ， 12 6xx, 12 628ABxxp. 2. 斜率为 1 的直线l与椭圆 2 2 1 4 x y相交于A、B两点，则AB的最大值为() A2B. 4 5 5 C. 4 10 5 D. 8 5 5
2、 解析： 设椭圆交直线于 1122 ( ,y ), (,)A xB xy两点， 由 22 44xy yxt 消去y， 得 22 584(1)0 xtxt， 则有 2 1212 84(1) , 55 t xxt x x 2 222 12 84(1)4 2 1245 555 t ABkxxtt ， 当0t 时， max 4 10 5 AB答案：C 3. 直线2ykx与抛物线 2 8yx有且只有一个公共点，则k的值为() A1B1 或 3C0D1 或 0 解析：由 2 2 8 ykx yx 得 2 8160kyy，若0k ，则2y ，若0k ，则0 ，即64640k 解得1k ，因此直线2ykx与抛
3、物线 2 8yx有且只有一个公共点，则0k 或1k 答案：D 4.（2017 全国 1 卷理）已知 F 为抛物线 C：y2=4x 的焦点，过 F 作两条互相垂直的直线 l1，l2，直线 l1 与 C 交于 A、B 两点，直线 l2与 C 交于 D、E 两点，则|AB|+|DE|的最小值为 A16B14C12D10 【答案】A 【解析】设直线 1 l方程为 1( 1)yk x 取方程 2 1 4 (1) yx yk x 得 2222 111 240k xk xxk 高考数学培优专题库教师版 2 1 12 2 1 24k xx k 2 1 2 1 24k k 同理直线 2 l与抛物线的交点满足 2
4、 2 34 2 2 24k xx k 由抛物线定义可知 1234 |2ABDExxxxp 22 12 222222 121212 24244416 482816 kk kkkkk k 当且仅当 12 1kk （或1）时，取得等号. 5.已知椭圆E： 22 22 1(0) xy ab ab 的右焦点为(3,0)F， 过点F的直线交E于A、B两点 若AB 的中点坐标为(1, 1)，则E的方程为() A. 22 1 4536 xy B. 22 1 3627 xy C. 22 1 2718 xy D. 22 1 189 xy 【解析】选 D本题考查直线与椭圆的位置关系、斜率公式、焦点弦和中点弦问题，意
5、在考查考生通 过解方程组求解弦的中点的能力。用两点式得到直线的方程，代入椭圆方程，消去y，由根与系数的关系 得到, a b之间的关系，并由, ,a b c之间的关系确定椭圆方程。因直线AB过点(3,0)F和点(1, 1)，所以直 线AB的方程为 1 (3) 2 yx，代入椭圆方程 22 22 1 xy ab 消去y，得 2 222222 39 0 424 a bxa xaa b ，所以AB的中点的横坐标为 2 2 2 3 2 1 2 4 a a b ，即 22 2ab又 222 abc，所以3bc，选择 D. 二、填空题 6. 已知双曲线 22 1(0)kxyk的一条渐近线与直线210 xy
6、垂直，那么双曲线的离心率为 _；渐近线方程为_ 解析：双曲线 22 1kxy的渐近线方程是ykx 双曲线的一条渐近线与直线210 xy 垂直， 11 , 24 kk，双曲线的离心率为 1 1 5 21 k e k ，渐近线方程为 1 0 2 xy 7. 已知抛物线 2 4yx与直线240 xy相交于A、B两点，抛物线的焦点为F，那么 高考数学培优专题库教师版 y P FAFB _. 解析： 由 2 4 240 yx xy ，消去y，得 2 540 xx(*)，方程(*)的两根为A、B两点的横坐标， 故 12 5xx，因为抛物线 2 4yx的焦点为(1,0)F，所以 12 (1)(1)7FAFB
7、xx 答案：7 三、解答题 8.设椭圆C: 22 22 10 xy ab ab 过点(0,4)，离心率为 3 5 （1）求C的方程； （2）求过点(3,0)且斜率为 4 5 的直线被C所截线段的中点坐标和所截线段的长度。 【解】 （1）将点（0，4）代入C的方程得 2 16 1 b ,b=4, 又 3 5 c e a 得 22 2 9 25 ab a ，即 2 169 1 25a ，5a C的方程为 22 1 2516 xy （2）过点3,0且斜率为 4 5 的直线方程为 4 3 5 yx， 设直线与的交点为 11 ,x y， 22 ,xy，将直线方程 4 3 5 yx代入的方程，得 2 2
8、3 1 2525 xx ，即 2 380 xx，解得 1 341 2 x ， 2 341 2 x ， AB 的中点坐标 12 3 22 xx x ， 12 12 26 6 255 yy yxx ， 即所截线段的中点坐标为 36 , 25 所以线段 AB 的长度是 222 121212 16 |()()(1)() 25 ABxxyyxx 4141 41 255 ，即所截线段的长度是 41 5 9. （2017 年高考北京卷理）已知抛物线 C：y2=2px 过点 P（1，1）.过点（0， 1 2 ）作直线 l 与抛物线 C 交于不同的两点 M，N，过点 M 作 x 轴的垂线分别与直线 OP、ON
9、交于点 A，B，其中 O 为原点. （）求抛物线 C 的方程，并求其焦点坐标和准线方程； 高考数学培优专题库教师版 （）求证：A 为线段 BM 的中点. 【解析】（）由抛物线 C： 2 2ypx过点 P（1，1） ，得 1 2 p . 所以抛物线 C 的方程为 2 yx. 抛物线 C 的焦点坐标为（ 1 4 ，0） ，准线方程为 1 4 x . （）由题意，设直线 l 的方程为 1 2 ykx（0k ） ，l 与抛物线 C 的交点为 11 ( ,)M x y， 22 (,)N xy. 由 2 1 2 ykx yx ，得 22 4(44)10k xkx . 则 12 2 1k xx k ， 12
10、 2 1 4 x x k . 因为点 P 的坐标为（1，1） ，所以直线 OP 的方程为yx，点 A 的坐标为 11 (,)x y. 直线 ON 的方程为 2 2 y yx x ，点 B 的坐标为 21 1 2 ( ,) y y x x . 因为 21122112 11 22 2 2 y yy yy yx x yx xx 122112 2 11 ()()2 22 kxxkxxx x x 1221 2 1 (22)() 2 kx xxx x 22 2 11 (22) 42 k k kk x 0， 所以 21 11 2 2 y y yx x . 故 A 为线段 BM 的中点. 10如图，在平面直角
11、坐标系xoy中，,M N分别是椭圆1 24 22 yx 的顶点，过坐标原点的直线交 椭圆于,P A两点， 其中点P在第一象限， 过P作x轴的垂线， 垂足为C。 连结AC， 并延长交椭圆于点B。 设直线PA的斜率为k。 （1）若直线PA平分线段MN,求k的值； 高考数学培优专题库教师版 (2) 当2k时，求点P到直线AB的距离d； （3）对任意的0k，求证：PBPA 。 解：由题意知，2, 2ba，故)2, 0(),0 , 2(NM,所以线段 MN 的中点的坐标为) 2 2 , 1(， 由于直线 PA 平分线段 MN，故直线 PA 过线段 MN 的中点，又直线 PA 过坐标原点，所以 2 2 1
12、 2 2 k。 （ 2 ） 直 线 PA 的 方 程 为xy2， 代 入 椭 圆 方 程 得1 2 4 4 22 xx ， 解 得 3 2 x， 因 此 ) 3 4 , 3 2 (), 3 4 , 3 2 (AP,于是)0 , 3 2 (C,直线 AC 的斜率为1 3 2 3 2 3 4 0 ，所以直线 AB 的方程为0 3 2 yx， 因此 3 22 2 3 2 3 4 3 2 d。 （3） 解法一： 将直线 PA 的方程为kxy 代入1 24 22 yx ， 解得 2 21 2 k x ， 记 2 21 2 k ， 则),(),(kAkP， 于是),0 ,(C故直线 AB 的斜率为 2 0
13、kk ， 直线AB 的方程为)( 2 x k y， 代入椭圆方程得0)23(2)2( 22222 kxkxk，解得 2 2 2 )23( k k x ，或x，因此 ) 2 , 2 )23( ( 2 3 2 2 k k k k B ，于是直线 PB 的斜率为 k k k k k k k 1 2 )23( 2 2 2 2 3 1 ， 因此1 1 kk，所以 PBPA 。 解法二：设 2211 ,),(yxByxP，则 2121 , 0, 0 xxxx，0 ,),( 111 xCyxA.设直线 PB，AB 的 斜 率 分 别 为 21,k k。 因 为 C 在 直 线 AB 上 ， 所 以 kx y
14、 xx y k 1 2)( )(0 1 1 11 1 2 ， 从 而 高考数学培优专题库教师版 12121 12 12 12 12 211 xx yy xx yy kkkk 0 44)2()2( 1 22 2 1 2 2 2 1 2 2 2 1 2 1 2 2 2 2 2 1 2 2 2 1 2 2 xxxx yxyx xx yy ，因此1 1 kk，所以PBPA 。 10. 已知椭圆 22 22 :1(0) xy Cab ab 的两焦点为 12 2,0 ,2,0FF，且过点( 2,1)Q （）求椭圆C的方程； （）过点0,2)P的直线l交椭圆于,M N两点,以线段MN为直径的圆恰好过原点，,
15、求出直线l的方 程; 解： ()由题意可得 2 2 22 2 221 0221 0 42 2 aACBC 2a224 222 cab. 椭圆的标准方程是. 1 24 22 yx ()由题意直线的斜率存在,可设直线l的方程为02kkxy. 设 M,N 两点的坐标分别为 ., 2211 yxyx 联立方程: 42 2 22 yx kxy 消去y整理得,04821 22 kxxk 有 2 21 2 21 21 4 , 21 8 k xx k k xx 若以 MN 为直径的圆恰好过原点,则ONOM ,所以0 2121 yyxx, 所以,022 2121 kxkxxx, 即0421 2121 2 xxk
16、xxk 所以, 04 21 16 21 14 2 2 2 2 k k k k 即, 0 21 48 2 2 k k 得. 2, 2 2 kk 所以直线l的方程为22 xy,或22 xy. 所以过 P(0,2)的直线l:22 xy使得以弦 MN 为直径的圆恰好过原点. 11过点(0,1)C的椭圆 22 22 1(0) xy ab ab 的离心率为 3 2 ，椭圆与x轴交于两点( ,0)A a、 高考数学培优专题库教师版 (,0)Ba，过点C的直线l与椭圆交于另一点D， 并与x轴交于点P，直线AC与直线BD交于点Q （I）当直线l过椭圆右焦点时，求线段CD的长； （）当点P异于点B时，求证：OP
17、OQ 为定值 解： （）由已知得 3 1, 2 c b a ，解得2a ，所以椭圆方程为 2 2 1 4 x y 椭圆的右焦点为( 3,0)，此时直线l的方程为 3 1 3 yx ，代入椭圆方程得 2 78 30 xx，解得 12 8 3 0, 7 xx，代入直线l的方程得 12 1 1, 7 yy ，所以 8 31 (,) 77 D， 故 22 8 3116 |(0)(1) 777 CD （）当直线l与x轴垂直时与题意不符 设直线l的方程为 1 1(0) 2 ykxkk且代入椭圆方程得 22 (41)80kxkx 解得 12 2 8 0, 41 k xx k ，代入直线l的方程得 2 12
18、2 14 1, 41 k yy k ， 所以D点的坐标为 2 22 814 (,) 41 41 kk kk 又直线AC的方程为1 2 x y，又直线BD的方程为 12 (2) 24 k yx k ，联立得 4 , 21. xk yk 因此( 4 ,21)Qkk，又 1 (,0)P k 所以 1 (,0)( 4 ,21)4OP OQkk k 故OP OQ 为定值 B 组 一、选择题 1.已知椭圆C的方程为 22 2 1(0) 16 xy m m ，如果直线 2 2 yx与椭圆的一个交点M在x轴上的射 影恰好是椭圆的右焦点F，则m的值为() A2B2 2C8D2 3 解析：根据已知条件 2 16c
19、m，则点 22 2 ( 16,16) 2 mm在椭圆 22 2 1(0) 16 xy m m 上， 高考数学培优专题库教师版 22 2 1616 1 162 mm m 可得2 2m .答案：B 2.已知双曲线 22 1(0)mxym的右顶点为A，若该双曲线右支上存在两点B、C使得ABC为 等腰直角三角形，则实数m的值可能为() A. 1 2 B1C2D3 解析：由题意可得，点 A 的坐标为 1 ,0 m ，设直线 AB 的方程为 1 tan45 ()yx m ，即 1 xy m ， 与双曲线方程联立可得， 22 1 1 xy m mxy ， 则 2 120mymy， 解得0y 或 2 1 m
20、y m . 由题意知 2 1 m y m 为 B 点的纵坐标，且满足 2 0 1 m m ，即01m，根据选项知答案：A 3. 若直线4mxny和圆 22 :4O xy没有交点， 则过点,m n的直线与椭圆 22 1 94 xy 的交点 个数为() A至多一个B2 个C1 个D0 个 解析：直线4mxny和圆 22 :4O xy没有交点， 22 4 2 mn ， 22 4mn， 2222 2 45 11 949436 mnmm m ，点,m n)在椭 圆 22 1 94 xy 的内部，过点,m n的直线与椭圆 22 1 94 xy 的交点个数为 2 个 答案：B 4.已知F为抛物线 2 8yx
21、的焦点， 过F且斜率为 1 的直线交抛物线于A、B两点， 则FAFB的 值等于() A4 2B8C8 2D16 解析：依题意 F(2,0)，所以直线方程为2yx由 2 2 8 yx yx ，消去y得 2 1240 xx.设 11 ( ,y )A x， 22 (,)B xy，则 1212 (2)(2)FAFBxxxx 2 1212 ()4144 168 2xxx x答案：C 二、填空题 高考数学培优专题库教师版 5. 直线1ykx与椭圆 22 1 5 xy m 恒有公共点，则m的取值范围是_ 解析：方程 22 1 5 xy m 表示椭圆，0m 且5m .直线1ykx恒过0,1点， 要使直线与椭圆
22、总有公共点，应有： 22 01 1 5m ，1m ，m 的取值范围是1m 且5m . 答案：1m 且5m 6.直线2ykx与抛物线 2 8yx交于A、B不同两点，且AB的中点横坐标为 2，则k的值是 _ 解析：设 11 ( ,y )A x， 22 (,)B xy，由 2 2 8 ykx yx 消去y得 22 4(2)40k xkx， 由题意得 2 2 12 2 4(2)440 4(2) 4 kk k xx k 1 12 k kk 或 即2k . 答案： 2 三、解答题 7.已知椭圆G： 2 2 1 4 x y，过点( ,0)m作圆 22 1xy的切线l交椭圆G于A，B两点。 （）求椭圆G的焦点
23、坐标和离心率； （）将|AB表示为m的函数，并求|AB的最大值。 【解析】 （）由已知得, 1, 2ba. 3 22 bac 椭圆 G 的焦点坐标为)0 , 3(),0 , 3(,离心率为. 2 3 a c e （）由题意知，1|m. 当1m时，切线 l 的方程1x，点 A、B 的坐标分别为), 2 3 , 1 (), 2 3 , 1 ( 此时3|AB 当 m=1 时，同理可得3|AB 当1|m时，设切线 l 的方程为),(mxky 由0448)41 ( . 1 4 ),( 22222 2 2 mkmxkxk y x mxky 得 设 A、B 两点的坐标分别为),)(,( 2211 yxyx，
24、则 2 22 21 2 2 21 41 44 , 41 8 k mk xx k mk xx 又由 l 与圆. 1, 1 1 | ,1 222 2 22 kkm k km yx即得相切 高考数学培优专题库教师版 所以 2 12 2 12 )()(|yyxxAB 41 )44(4 )41 ( 64 )1 ( 2 22 22 4 2 k mk k mk k . 3 |34 2 m m 由于当3m时，, 3|AB 所以), 1 1,(, 3 |34 | 2 m m m AB. 因为, 2 | 3 | 34 3 |34 | 2 m m m m AB 且当3m时，|AB|=2，所以|AB|的最大值为 2.
25、 8.已知过抛物线02 2 ppxy的焦点，斜率为22的直线交抛物线于 12 ,A x y 22 ,B xy（ 12 xx）两点，且9AB （1）求该抛物线的方程； （2）O为坐标原点，C为抛物线上一点，若OBOAOC，求的值 解析： （1）直线 AB 的方程是 , 05x4px2y), 2 (22 222 ppx p xy联立，从而有与 所以： 4 5 21 p xx，由抛物线定义得：9 21 pxxAB，所以 p=4， 抛物线方程为：xy8 2 （2）由 p=4， 22 450 xpxp化简得045 2 xx，从而, 4, 1 21 xx24,22 21 yy, 从而 A:(1,22),B
26、(4,24) 设)24 , 4()22, 1 ()( 3, 3 yxOC=)2422,41 (，又 3 2 3 8xy，即 2 12228（41） ，即14) 12( 2 ，解得2, 0或 9. （16 年广一模） 已知椭圆C的中心在坐标原点， 焦点在x轴上， 左顶点为A， 左焦点为 1 2 0F ， 点 2B 2,在椭圆C上，直线0ykx k与椭圆C交于E，F两点，直线AE，AF分别与y轴交 于点M，N （）求椭圆C的方程； （）以MN为直径的圆是否经过定点？若经过，求出定点的坐标；若不经过，请说明理由 （）解法一：解法一：设椭圆C的方程为 22 22 1 (0) xy ab ab ， 高考
27、数学培优专题库教师版 因为椭圆的左焦点为 1 2 0F ，所以 22 4ab 设椭圆的右焦点为 2 2 0F，已知点 22B,在椭圆C上， 由椭圆的定义知 12 2BFBFa， 所以23 224 2a 所以2 2a ，从而2b 所以椭圆C的方程为 22 1 84 xy 解法二：解法二：设椭圆C的方程为 22 22 1 (0) xy ab ab ， 因为椭圆的左焦点为 1 2 0F ，所以 22 4ab 因为点 22B,在椭圆C上，所以 22 42 1 ab 由解得，2 2a ，2b 所以椭圆C的方程为 22 1 84 xy （）解法一：解法一：因为椭圆C的左顶点为A，则点A的坐标为 2 2,0
28、 因为直线(0)ykx k与椭圆 22 1 84 xy 交于两点E，F， 设点 00 ,Exy（不妨设 0 0 x ） ，则点 00 ,Fxy 联立方程组 22 , 1 84 ykx xy 消去y得 2 2 8 12 x k 所以 0 2 2 2 12 x k ，则 0 2 2 2 12 k y k 所以直线AE的方程为 2 2 2 112 k yx k 因为直线AE，AF分别与y轴交于点M，N， 令0 x 得 2 2 2 112 k y k ，即点 2 2 2 0, 112 k M k 同理可得点 2 2 2 0, 112 k N k 高考数学培优专题库教师版 所以 2 22 2 2 12
29、2 22 2 112112 k kk MN k kk 设MN的中点为P，则点P的坐标为 2 0,P k 则以MN为直径的圆的方程为 2 2 2 xy k 2 2 2 12k k ， 即 22 2 2 4xyy k 令0y ，得 2 4x ，即2x 或2x 故以MN为直径的圆经过两定点 1 2,0P， 2 2,0P 解法二：解法二：因为椭圆C的左端点为A，则点A的坐标为 2 2,0 因为直线(0)ykx k与椭圆 22 1 84 xy 交于两点E，F， 设点 00 (,)E xy，则点 00 (,)Fxy 所以直线AE的方程为 0 0 2 2 2 2 y yx x 因为直线AE与y轴交于点M，
30、令0 x 得 0 0 2 2 2 2 y y x ，即点 0 0 2 2 0, 2 2 y M x 同理可得点 0 0 2 2 0, 2 2 y N x 所以 000 2 0 00 2 22 216 82 22 2 yyy MN xxx 因为点 00 (,)E xy在椭圆C上，所以 22 00 1 84 xy 所以 0 8 MN y 设MN的中点为P，则点P的坐标为 0 0 2 0, x P y 高考数学培优专题库教师版 则以MN为直径的圆的方程为 2 2 0 0 2x xy y 2 0 16 y 即 22 0 0 2 2 + x xyy y 4 令0y ，得 2 4x ，即2x 或2x 故以
31、MN为直径的圆经过两定点 1 2,0P， 2 2,0P 解法三：解法三：因为椭圆C的左顶点为A，则点A的坐标为 2 2,0 因为直线(0)ykx k与椭圆 22 1 84 xy 交于两点E，F， 设点 2 2cos ,2sinE（0 ） ，则点 2 2cos , 2sinF 所以直线AE的方程为 2sin 2 2 2 2cos2 2 yx 因为直线AE与y轴交于点M， 令0 x 得 2sin cos1 y ，即点 2sin 0, cos1 M 同理可得点 2sin 0, cos1 N 所以 2sin2sin4 cos1cos1sin MN 设MN的中点为P， 则点P的坐标为 2cos 0, s
32、in P 则以MN为直径的圆的方程为 2 2 2cos sin xy 2 4 sin ， 即 22 4cos 4 sin xyy 令0y ，得 2 4x ，即2x 或2x 故以MN为直径的圆经过两定点 1 2,0P， 2 2,0P 10.如图 7，椭圆 22 1 22 :1(0) xy Cab ab 的离心率为 3 2 ，x轴被曲线 2 2: Cyxb截得的线段 高考数学培优专题库教师版 长等于 1 C的长半轴长。 （）求 1 C， 2 C的方程； （）设 2 C与y轴的交点为 M，过坐标原点 O 的直线l与 2 C相交于点 A,B,直线 MA,MB 分别与 1 C相 交与 D,E.（i）证明
33、：MDME； (ii)记MAB,MDE 的面积分别是 12 ,S S.问：是否存在直线l,使得 2 1 S S = 32 17 ?请说明理由。 解析： （I）由题意知 3 2 c e a ，从而2ab，又2 ba，解得2,1ab。 故 1 C ， 2 C 的方程分别为 2 22 1,1 4 x yyx。 （II） （i）由题意知，直线l的斜率存在，设为k，则直线l的方程为ykx. 由 2 1 ykx yx 得 2 10 xkx ， 设 1122 ( ,), (,)A x yB xy，则 12 ,x x是上述方程的两个实根，于是 1212 ,1xxk x x 。 又点M的坐标为(0, 1)，所以
34、 222 12121212 121212 11(1)(1)() 11 1 1 MAMB yykxkxk x xk xxkk kk xxx xx x 故MAMB，即MD ME 。 （ii）设直线的斜率为 1 k，则直线的方程为 1 1yk x，由 1 2 1 1 yk x yx 解得 0 1 x y 或 1 2 1 1 xk yk ， 则点的坐标为 2 11 ( ,1)k k 又直线MB的斜率为 1 1 k ，同理可得点 B 的坐标为 2 11 11 (,1) kk . 于是 2 2 1 111 2 111 11111 | |1|1|. 222| k SMAMBkk kkk 由 1 22 1 4
35、40 yk x xy 得 22 11 (1 4)80kxk x， 高考数学培优专题库教师版 解得 0 1 x y 或 1 2 1 2 1 2 1 8 14 41 14 k x k k y k ，则点D的坐标为 2 11 22 11 841 (,) 1414 kk kk ； 又直线的斜率为 1 1 k ，同理可得点E的坐标 2 11 22 11 84 (,) 44 kk kk 于是 2 11 2 22 11 32(1) |1 | | 2(14)(4) kk SMDME kk 因此 2 1 1 2 21 11 (417) 64 S k Sk 由题意知， 2 1 2 1 1117 (417) 643
36、2 k k 解得 2 1 4k或 2 1 1 4 k。 又由点,A B的坐标可知， 2 1 2 1 1 1 1 1 1 1 1 k k kk k k k ，所以 3 . 2 k 故满足条件的直线l存在，且有两条，其方程分别为 3 2 yx和 3 2 yx 。 C 组 一、选择题 1.已知椭圆 22 :1 4 xy E m ， 对于任意实数k， 下列直线被椭圆E截得的弦长与:1l ykx被椭圆E 截得的弦长不可能相等的是() A0kxykB10kxy C0kxykD20kxy 解析：A 选项中，当1k 时，两直线关于y轴对称，两直线被椭圆E截得的弦长相等；B 选项中， 当1k 时，两直线平行，两
37、直线被椭圆E截得的弦长相等；C 选项中，当1k 时，两直线关于y轴对称， 两直线被椭圆E截得的弦长相等答案：D 2.已知F为抛物线 2 yx的焦点，点A、B在该抛物线上且位于x轴的两侧，2OA OB （其中O 为坐标原点） ，则ABO与AFO面积之和的最小值是（） A. 2B.3C. 17 2 8 D.10 高考数学培优专题库教师版 【解析】选 B. 可设直线 AB 的方程为：xtym，点 11 ( ,)A x y， 22 (,)B xy，又 1 ( ,0) 4 F，则直线 AB 与x轴的交点( ,0)M m，由 2 2 0 xtym ytym yx ，所以 12 y ym ，又 2 1212
38、1212 22()20OA OBx xy yy yy y ， 因为点A，B在该抛物线上且位于x轴的两侧， 所以 12 2y y ，故2m ，于是 12211121 111111 2 224224 ABOAFO SSx yx yyyyy = 11 1 21 8 yy y 11 11 9292 23 88 yy yy ，当且仅当 11 1 924 83 yy y 时取“” ， 所以ABO与AFO面积之和的最小值是3. 3. （设直线l与抛物线 2 4yx相交于A、B两点， 与圆 2 22 50 xyrr相切于点M， 且M 为线段AB的中点.若这样的直线l恰有 4 条，则r的取值范围是（） （A）1
39、 3，（B）1 4，（C）2 3，（D）2 4， 【解析】选 D. 显然当直线l的斜率不存在时，必有两条直线满足题设.当直线l的斜率存在时，设斜率为k.设 11221200 ( ,), (,),(,)A x yB xyxx M xy，则 2 11 2 22 4 4 yx yx ，相减得 121212 ()()4()yyyyxx.由于 12 xx，所以 1212 12 2 2 yyyy xx ，即 0 2ky .圆心为(5,0)C，由CMAB得 0 00 0 0 1,5 5 y kkyx x ，所以 00 25,3x x，即点 M 必在直线3x 上.将3x 代入 2 4yx得 2 0 12,2
40、32 3yy.因为点 M 在圆 2 22 50 xyrr上，所以 22222 000 (5),412416xyrry.又 2 0 44y（由于斜率不存在，故 0 0y ，所以不取等 号） ，所以 2 0 4416,24yr.选 D. 高考数学培优专题库教师版 4.设双曲线 22 22 1 xy ab (0,0)ab的右焦点为 1，过F作AF的垂线与双曲线交于,B C两点，过 ,B C分别作,AC AB的垂线交于点D.若D到直线BC的距离小于 22 aab， 则该双曲线的渐近线斜 率的取值范围是（） A、( 1,0)(0,1)B、(, 1)(1,) C、(2,0)(0,2)D、(,2)( 2,)
41、 【答案】A 【解析】由题意 22 ( ,0), ( ,),( ,) bb A aB cC c aa ，由双曲线的对称性知D在x轴上，设( ,0)D x，由 BDAC得 22 0 1 bb aa cxac ， 解得 4 2( ) b cx a ca ， 所以 4 22 2( ) b cxaabac a ca ， 所以 4 222 2 b cab a 2 2 1 b a 01 b a ，因此渐近线的斜率取值范围是( 1,0)(0,1)，选 A. 二、填空题 5.在抛物线 2 5(0)yxaxa上取横坐标为 1 4x ， 2 2x 的两点，过这两点引一条割线，有 平行于该割线的一条直线同时与抛物线
42、和圆 22 5536xy相切，则抛物线顶点的坐标为 【 解 析 】 由 已 知 ， 抛 物 线 经 过( 4,11 4 )(2,21)aa和两 点 ， 过 这 两 点 的 割 线 的 斜 率 为 21 (11 4 ) 2 2( 4) aa ka . 于 是 ， 平 行 于 该 割 线 的 直 线 方 程 为 ， 该 直 线 与 圆 相 切 ， 所 以 2 2 36 51 (2) b a ， 该直线又与抛物线相切， 联立方程得 2 5 (2) yxax yaxb ， 即 2 250 xxb 有0 高考数学培优专题库教师版 得6b ， 代 入 2 2 36 51 (2) b a ， 注 意 到0a
43、 ， 得4a . 所 以 抛 物 线 的 方 程 为 22 45(2)9yxxx，顶点坐标为(2，9) 6. 平 面 直 角 坐 标 系xoy中 ， 双 曲 线 22 1 22 :10,0 xy Cab ab 的 渐 近 线 与 抛 物 线 2 2: 20Cxpy p交于点, ,O A B，若OAB的垂心为 2 C的焦点，则 1 C的离心率为. 【解析】设OA所在的直线方程为 b yx a ,则OB所在的直线方程为 b yx a , 解方程组 2 2 b yx a xpy 得： 2 2 2 2 pb x a pb y a ，所以点A的坐标为 2 2 22 , pbpb aa , 抛物线的焦点F
44、的坐标为:0, 2 p .因为F是ABC的垂心，所以1 OBAF kk , 所以， 2 2 2 2 2 5 2 1 2 4 pbp bb a pb aa a . 所以， 22 2 22 93 1 42 cb ee aa . 【答案】 3 2 三、解答题 7.已知直线2y 上有一个动点Q,过点Q作直线 1 l垂直于x轴,动点P在 1 l上,且满足 OPOQ(O为坐标原点),记点P的轨迹为C. (1) 求曲线C的方程； 若直线 2 l是曲线C的一条切线, 当点0,2到直线 2 l的距离最短时,求直线 2 l的方程. (1) 解解: :设点P的坐标为, x y,则点Q的坐标为, 2x . OPOQ,
45、 1 OPOQ kk . 当0 x 时,得 2 1 y xx ,化简得 2 2xy. 高考数学培优专题库教师版 当0 x 时,P、O、Q三点共线，不符合题意，故0 x . 曲线C的方程为 2 2xy0 x . (2) 解法解法 1:1: 直线 2 l与曲线C相切,直线 2 l的斜率存在. 设直线 2 l的方程为ykxb, 由 2 , 2 , ykxb xy 得 2 220 xkxb. 直线 2 l与曲线C相切, 2 480kb ,即 2 2 k b . 点0,2到直线 2 l的距离 2 2 1 b d k 2 2 41 2 1 k k 2 2 13 1 2 1 k k 2 2 13 21 2
46、1 k k 3. 当且仅当 2 2 3 1 1 k k ，即2k 时，等号成立.此时1b . 直线 2 l的方程为210 xy 或210 xy . 解法解法 2 2：由 2 2xy，得 yx， 直线 2 l与曲线C相切, 设切点M的坐标为 11 ,x y，其中 2 11 1 2 yx， 则直线 2 l的方程为： 111 yyxxx，化简得 2 11 1 0 2 x xyx. 点0,2到直线 2 l的距离 2 1 2 1 1 2 2 1 x d x 2 1 2 1 41 2 1 x x 2 1 2 1 13 1 2 1 x x 高考数学培优专题库教师版 2 1 2 1 13 21 2 1 x x
47、 3. 当且仅当 2 1 2 1 3 1 1 x x ，即 1 2x 时，等号成立. 直线 2 l的方程为210 xy 或210 xy . 解法解法 3 3：由 2 2xy，得 yx， 直线 2 l与曲线C相切, 设切点M的坐标为 11 ,x y，其中 2 11 1 0 2 yx， 则直线 2 l的方程为： 111 yyxxx，化简得 11 0 x xyy. 点0,2到直线 2 l的距离 1 2 1 2 1 y d x 1 1 2 21 y y 1 1 13 21 2 21 y y 1 1 13 221 2 21 y y 3. 当且仅当 1 1 3 21 21 y y ，即 1 1y 时，等号
48、成立,此时 1 2x . 直线 2 l的方程为210 xy 或210 xy . 8.已知双曲线E： 22 2 10 4 xy a a 的中心为原点O，左，右焦点分别为 1 F， 2 F，离心率为 3 5 5 ， 点P是直线 2 3 a x 上任意一点，点Q在双曲线E上，且满足 22 0PF QF （1）求实数a的值； （2）证明：直线PQ与直线OQ的斜率之积是定值； （3）若点P的纵坐标为1，过点P作动直线l与双曲线右支交于不同两点M，N，在线段MN上取 异于点M，N的点H，满足 PMMH PNHN ，证明点H恒在一条定直线上 高考数学培优专题库教师版 （1）解：解：设双曲线E的半焦距为c，
49、由题意可得 22 3 5 , 5 4. c a ca 解得5a （2）证明：证明：由（1）可知，直线 2 5 33 a x ，点 2 3,0F设点 5 , 3 Pt , 00 ,Q xy， 因为 22 0PF QF ，所以 00 5 3,3,0 3 txy 所以 00 4 3 3 tyx 因为点 00 ,Q xy在双曲线E上，所以 22 00 1 54 xy ，即 22 00 4 5 5 yx 所以 2 0000 2 0 000 55 33 PQOQ ytyyty kk x xxx 2 00 2 00 44 53 4 53 5 5 3 xx xx 所以直线PQ与直线OQ的斜率之积是定值 4 5
50、 （3）证法证法 1 1：设点,H x y，且过点 5 ,1 3 P 的直线l与双曲线E的右支交于不同两点 11 ,M xy， 22 ,N xy， 则 22 11 4520 xy， 22 22 4520 xy， 即 22 11 4 5 5 yx， 22 22 4 5 5 yx 设 PMMH PNHN ，则 , . PMPN MHHN 即 1122 1122 55 ,1,1 , 33 ,. xyxy xxyyxx yy 高考数学培优专题库教师版 整理，得 12 12 12 12 5 1, 3 1, 1, 1. xx yy xxx yyy 由，得 2222 12 2222 12 5 1, 3 1.
