1、第第1讲描述运动的基本概念讲描述运动的基本概念第第1讲描述运动的基本概念讲描述运动的基本概念 高中数学 选择性必修第三册 人A版 第第1讲描述运动的基本概念讲描述运动的基本概念第第1讲描述运动的基本概念讲描述运动的基本概念 1.掌握二项式定理及其推导过程. 2.会用二项式定理解决与二项展开式有关的简单问题. 6.3二项式定理 6.3.1二项式定理 第六章第六章计数原理计数原理 本资料分享自千人QQ群 323031380 期待你的加入与分享 第第1讲描述运动的基本概念讲描述运动的基本概念第第1讲描述运动的基本概念讲描述运动的基本概念 |二项式定理 概念 公式(a+b)n=an+an-1b1+an
2、-kbk+ bn,nN* 叫做二项式定理 二项展开式an+b1+an-kbk+bn 二项式系数展开式中各项的系数(k=0,1,2,n) 通项展开式的第 k+1 项:Tk+1=an-kbk 备注在二项式定理中,若设a=1,b=x,则得到公式:(1+x)n = +x+x2+xk+xn 0 n C 1 n C k n C n n C 0 Cn 1 Cn -1n aCk n Cn n Ck n Ck n 0 Cn 1 Cn 2 CnCk n Cn n 第六章第六章计数原理计数原理 第第1讲描述运动的基本概念讲描述运动的基本概念第第1讲描述运动的基本概念讲描述运动的基本概念 1.(a+b)n的二项展开式
3、中共有n项.( ) 2.在二项式定理中,交换a,b的顺序对各项没有影响.( ) 3.bk是(a+b)n展开式中的第k项.( ) 4.(a-b)n与(a+b)n的二项展开式的各二项式系数相同.() 5.(x+2)n的展开式中的第3项的系数是.( ) (x+2)n展开式中的第3项的二项式系数是,系数是4. 6.的展开式中的常数项为15.() 的二项展开式的通项为Tk+1=(x2)6-k=(-1)kx12-3k(k=0,1,6).令12-3k=0, 得k=4,故常数项为(-1)4=15. Ck n -n k a 2 Cn 2 Cn 2 Cn 6 2 1 -x x 6 2 1 -x x 6 Ck 1
4、- k x 6 Ck 4 6 C 判断正误，正确的画“ ” ，错误的画“ ” . 第六章第六章计数原理计数原理 第第1讲描述运动的基本概念讲描述运动的基本概念第第1讲描述运动的基本概念讲描述运动的基本概念 1 |二项展开式中的特定项(项的系数) 求(a+b)n二项展开式的特定项的常见题型 (1)求第k项,Tk=an-k+1bk-1. (2)求含ak的项(或含apbq的项). (3)求常数项. (4)求有理项. (5)求整式项. -1 Ck n 第六章第六章计数原理计数原理 第第1讲描述运动的基本概念讲描述运动的基本概念第第1讲描述运动的基本概念讲描述运动的基本概念 求二项展开式的特定项的常用方
5、法 (1)对于常数项,隐含条件是字母的指数为0(即0次项). (2)对于有理项,一般是先写出展开式的通项,然后令其所有的字母的指数都等于整 数.解这类问题必须合并通项中同一字母的指数,根据具体要求,令其为整数,再根据 数的整除性来求解. (3)对于二项展开式中的整式项,其通项中同一字母的指数应是非负整数,求解方式 与求有理项一致. 第六章第六章计数原理计数原理 第第1讲描述运动的基本概念讲描述运动的基本概念第第1讲描述运动的基本概念讲描述运动的基本概念 (2020河南南阳第一中学高三期中)的展开式中,x4的系数为 . 思路点拨 写出二项展开式的通项,令x的指数等于4,先求得k的值,再求出x4的
6、系数. 解析 的展开式的通项为Tk+1=x7-k=(k=0,1,7), 令7-k=4,解得k=2, 故x4的系数为=. 7 2 - 3 x x 7 2 - 3 x x 7 Ck 1 - 2 2 - 3 k x 7 Ck 2 - 3 k 3 7- 2 k x 3 2 2 7 C 2 2 - 3 28 3 答案 28 3 第六章第六章计数原理计数原理 第第1讲描述运动的基本概念讲描述运动的基本概念第第1讲描述运动的基本概念讲描述运动的基本概念 已知在(nN*)的展开式中,第6项为常数项. (1)求n; (2)求展开式中所有的有理项(只需说明第几项是有理项). 思路点拨 (1)利用第6项中x的指数为
7、0求出n.(2)找出所有x的指数为整数的项,即为有理项. 解析 (1)的二项展开式的通项为Tk+1=(-3)k=(-3)k(k=0,1, n). 第6项为常数项, 3 3 3 - n x x 3 3 3 - n x x Ck n - 3 n k x - 3 k xCk n -2 3 nk x 第六章第六章计数原理计数原理 第第1讲描述运动的基本概念讲描述运动的基本概念第第1讲描述运动的基本概念讲描述运动的基本概念 当k=5时,有=0,即n=10. (2)根据二项展开式的通项Tk+1=(-3)k及题意,得 令=r(rZ), 则10-2k=3r, 即k=5-r. kN且0k10, r可取2,0,-
8、2, 即k可取2,5,8. -2 3 nk-2 5 3 n 10 Ck 10-2 3 k x 10-2k Z, 3 010, N, k k 10-2 3 k 3 2 故展开式中的第3项,第6项与第9项为有理项. 第六章第六章计数原理计数原理 第第1讲描述运动的基本概念讲描述运动的基本概念第第1讲描述运动的基本概念讲描述运动的基本概念 2 |三项展开式问题 求三项式中特定项的方法: (1)因式分解法:通过因式分解将三项式变成两个二项式,然后用二项式定理分别展 开. (2)逐层展开法:将三项式分成两组,用二项式定理展开,再把其中含两项的一组展 开. (3)利用组合知识:把三项式看成几个一次项的积,
9、利用组合知识分析项的构成,注意 最后把各个同类项合并. 第六章第六章计数原理计数原理 第第1讲描述运动的基本概念讲描述运动的基本概念第第1讲描述运动的基本概念讲描述运动的基本概念 的展开式中的常数项为 .(用数字作答) 解析 =+ 5,且它的展开式的通项为T k+1=(k 5 1 2 2 x x 5 1 2 2 x x 1 2 x x 2 5 Ck 2 2 k 5- 1 2 k x x =0,1,5),的展开式的通项为Tr+1=x-rx5-k-r2-(5-k-r)=2k+r-5x5-2r-k(0r5-k, rN). 令5-2r-k=0, 则k+2r=5,可得k=1,r=2或k=3,r=1或k=
10、5,r=0. 5- 1 2 k x x 5- Cr k5- Cr k 第六章第六章计数原理计数原理 第第1讲描述运动的基本概念讲描述运动的基本概念第第1讲描述运动的基本概念讲描述运动的基本概念 当k=1,r=2时,所求常数项为 2-2=; 当k=3,r=1时,所求常数项为22-1=20; 当k=5,r=0时,所求常数项为4=4. 综上,的展开式中的常数项为+20+4=. 答案 1 5 C 2 4 C 1 2 2 15 2 2 3 5 C 1 2 C22 5 5 C22 5 1 2 2 x x 15 2 2 22 63 2 2 63 2 2 第六章第六章计数原理计数原理 第第1讲描述运动的基本概
11、念讲描述运动的基本概念第第1讲描述运动的基本概念讲描述运动的基本概念 3 |赋值法求系数和问题 解决系数和问题的思维过程 第六章第六章计数原理计数原理 第第1讲描述运动的基本概念讲描述运动的基本概念第第1讲描述运动的基本概念讲描述运动的基本概念 展开式中系数和的求法 “赋值法”是解决二项展开式中项的系数有关问题的常用的方法,根据题目要求, 灵活赋予字母不同的值. (1)对形如(ax+b)n,(ax2+bx+c)m(a,b,cR,m,nN*)的式子求其展开式中各项系数之 和,常用赋值法,只需令x=1即可;对形如(ax+by)n(a,bR,nN*)的式子求其展开式中 各项系数之和,只需令x=y=1
12、即可. (2)一般地,令f(x)=(ax+b)n,即f(x)=a0+a1x+a2x2+anxn,则(ax+b)n的展开式中各项系数 之和为f(1);奇数项系数之和为a0+a2+a4+= ;偶数项系数之和为a1+a3+a5 += . (1)(-1) 2 ff (1)- (-1) 2 ff 第六章第六章计数原理计数原理 第第1讲描述运动的基本概念讲描述运动的基本概念第第1讲描述运动的基本概念讲描述运动的基本概念 已知(3x-1)7=a0 x7+a1x6+a2x5+a3x4+a4x3+a5x2+a6x+a7. (1)求a4的值; (2)求|a0|+|a1|+|a2|+|a3|+|a4|+|a5|+|
13、a6|+|a7|的值; (3)求a1+a3+a5+a7的值. 解析 (1)(3x-1)7的展开式的通项为Tr+1=(3x)7-r(-1)r(r=0,1,7), 令7-r=3,得r=4,所以a4=33(-1)4=945. (2)设(3x+1)7=b0 x7+b1x6+b2x5+b3x4+b4x3+b5x2+b6x+b7, 则|a0|+|a1|+|a2|+|a3|+|a4|+|a5|+|a6|+|a7|=b0+b1+b2+b3+b4+b5+b6+b7, 令x=1,可得b0+b1+b2+b3+b4+b5+b6+b7=(31+1)7=16 384,即|a0|+|a1|+|a2|+|a3|+|a4|+|
14、a5|+|a6| +|a7|=16 384. 7 Cr 4 7 C 第六章第六章计数原理计数原理 第第1讲描述运动的基本概念讲描述运动的基本概念第第1讲描述运动的基本概念讲描述运动的基本概念 (3)令x=1,则a0+a1+a2+a3+a4+a5+a6+a7=27, 令x=-1,则-a0+a1-a2+a3-a4+a5-a6+a7=(-4)7, 则2(a1+a3+a5+a7)=27-47=27-214, 所以a1+a3+a5+a7=26-213=-8 128. 方法总结 赋值法是解决展开式中系数或展开式中系数的和、差问题的常用方 法,根据所求,灵活地对字母赋值,通常赋的值为0,-1或1. 第六章第六章计数原理计数原理
