1、1.4.1充分条件与必要条件 第一章 集合与常用逻辑用语 1. 理解充分条件、必要条件的意义； 2. 会判断充分条件、必要条件. 充分条件、必要条件的概念及判断方法. 必要条件的理解和判断. 初中的时候学习过命题，现在大家一 起来判断一下它的条件，结论以及真假： 两个面积相等的三角形全等. 1.定义：把用语言、符号或式子表达的，可以判断真假的陈 述句叫做命题. 真命题：判断为真的语句是真命题. 假命题：判断为假的语句是假命题. 2.大多的命题都可以写成“若p，则q”“如果p，那么q”等 形式. 3.前提（要牢记）：p是条件，q是结论. 4 下列“若p，则q”形式的命题中，哪些是真命题？ 哪些是
2、假命题. （1）若平行四边形的对角线互相垂直，则这个平 行四边形是菱形； （2）若两个三角形的周长相等，则这两个三角形 全等； （3）若 ，则 ； （4）若平面内两条直线a和b均垂直于直线l，则 ab . 2 430 xx1x 由刚才的讨论，我们已经知道 命题(1)(4)是真命题，所以p是q的充分条件，q 是p的必要条件； (2)(3)是假命题，所以p不是q的充分条件，q不 是p的必要条件. 定义：若 ，则称p是q的充分条件，q是p 的必要条件. pq 例1 下列“若p，则q”形式的命题中，哪些命题中的p是q 的充分条件？ （1）若四边形的两组对角分别相等，则这个四边形是 平行四边形； （2）
3、若两个三角形的三边成比例，则这两个三角形相 似； （3）若四边形为菱形，则这个四边形的对角线互相垂 直； （4）若x=1 ,则x=1 ； （5）若a=b，则ac=bc； （6）若x，y为无理数，则xy为无理数. 解:(1)这是一条平行四边形的判定定理， ,所以p是q的充分 条件. (2)这是一条相似三角形的判定定理， ,所以p是q的充分 条件. (3)这是一条菱形的性质定理， ,所以p是q的充分条件. (4)由于(-1) =1 ,但-11， , 所以p不是q的充分条件. (5)由等式的性质知， ,所以p是q的充分条件. (6) 为无理数,但 为有理数, ,所以p不是q的 充分条件. pq pq
4、 pq pq pq 2222 pq （1）必要条件； （2）必要条件； （3）必要条件； （4）不必要条件； （5）必要条件； （6）不必要条件. 例1中命题（1）给出了“四边形是平行四边形” 的一个充分条件，即“四边形的两组对角分别 相等”.这样的充分条件唯一吗？如果不唯一， 那么你能再给出几个不同的充分条件吗？ 答：不唯一.初中的时候我们还学过其它的平行四边形的 判定定理，也就是判断四边形是平行四边形的其它条件： 若四边形的两组对边分别相等，则这个四边形是平行 四边形； 若四边形的一组对边平行且相等，则这个四边形是平 行四边形； 若四边形的两条对角线互相平分，则这个四边形是平 行四边形.
5、所以，“四边形的两组对边分别相等”“四边形的一 组对边平行且相等”“四边形的两条对角线互相平分” 都是“四边形是平行四边形”的充分条件. 因此，一般来说，对给定结论q，使得q成立的条件p是 不唯一的. 一般地，数学中的每一条判定定理都给出了相应数学 结论成立的一个充分条件. 一般地，要判断“若p，则q”形式的命题中q是否为p的必 要条件，只需判断是否有“ ”，即“若p，则q”是否为真 命题. 说明:（1） ,q是p的必要条件（p是q的充分条件）； （2） ，q不是p的必要条件（p不是q的充分条件） pq pq 例2中命题（1）给出了“四边形是平行四边形” 的一个必要条件，即“这个四边形的两组对
6、角分 别相等”.这样的必要条件是唯一的吗？如果不唯 一，你能给出“四边形是平行四边形”的几个其 他必要条件吗？ 答：不唯一.例如，下列命题都是真命题： 若四边形是平行四边形，则这个四边形的两组对边分别相 等； 若四边形是平行四边形，则这个四边形的一组对边平行且 相等； 若四边形是平行四边形，则这个四边形的两条对角线互相 平分. 这表明，“四边形的两组对边分别相等”“四边形的一 组对边平行且相等”“四边形的两条对角线互相平分” 都是“四边形是平行四边形”的必要条件. 因此，一般来说，给定条件p，由p可以推出的结论q是 不唯一的. 一般地，数学中的每一条性质定理都给出了相应数学结 论成立的一个必要条件. 1.下列“若p，则q”形式的命题中，哪些命题中的p是q的充分条件？ (1)若平面内点P在线段AB的垂直平分线上，则PA=PB； (2)若两个三角形的两边及一边所对的角分别相等，则这两个三角形全 等； (3)若两个三角形相似，则这两个三角形的面积比等于周长比的平方. 解析:(1)线段垂直平分线的性质， ，p是q的充分条件； (2)三角形的两边及一边所对的角分别相等的两个三角形不一 定全等， ，p不是q的充分条件； (3)相似三角形的性质， ,p是q的充分条件. pq pq pq 1. 本节课我们主要学习了哪些内容？ 2.充分条件和必要条件是如何判断的？
