1、第第 2 课时课时单调性与最值单调性与最值 课后训练课后训练巩固提升巩固提升 A组 1.下列不等式成立的是() A.sin - 8 sin - 10 B.sin 3sin 2 C.sin7 5sin - 2 5 D.sin 2cos 1 解析:sin 2=cos 2 -2 =cos 2- 2 , 且 02- 21cos 1, 即 sin 2cos 1. 答案:D 2.下列函数中,周期为,且在区间 4 , 2 上单调递减的是() A.y=sin 2? + 2 B.y=cos 2? + 2 C.y=sin ? + 2 D.y=cos ? + 2 解析:C,D 两项中函数的周期都为 2,不符合题意,
2、排除选项 C,D;B 项中 y=cos 2x+ 2 =-sin 2x,该函数 在区间 4 , 2 上单调递增,不符合题意;A 项中 y=sin 2? + 2 =cos 2x,该函数符合题意,选 A. 答案:A 3.当- 2x 2时,函数 f(x)=2sin ? + 3 有() A.最大值 1,最小值-1B.最大值 1,最小值-1 2 C.最大值 2,最小值-2D.最大值 2,最小值-1 解析:因为- 2x 2,所以- 6x+ 3 5 6 .所以-1 2sin ? + 3 1.所以-1f(x)2. 答案:D 4.函数 y=sin?-1 2 的单调递增区间是() A.4k,(4k+1)(kZ)B.
3、4k,4k+2(kZ) C.2k,(2k+2)(kZ)D.2k,2k+2(kZ) 解析:y=sin?-1 2 =sin ? 2 - 2 ,由- 2+2k ? 2 ? 2 2+2k(kZ),得 2k ? 2 +2k(kZ).所以函数 y=sin?-1 2 的单调递增区间是4k,4k+2(kZ). 答案:B 5.若函数 y=sin x的定义域为a,b,值域为 -1, 1 2 ,则 b-a 的最大值和最小值之和等于() A.4 3 B.8 3 C.2D.4 解析:作出 y=sin x 的一个简图如图所示.因为函数 y=sin x 在a,b上的值域为 -1, 1 2 , 且 sin 6=sin 5 6
4、 ? 1 2,sin 3 2 =-1, 所以在定义域a,b上,b-a 的最小值为3 2 ? 5 6 ? 2 3 , b-a 的最大值为 2+ 6 ? 5 6 ? 4 3 , 所以 b-a 的最大值与最小值之和为 2. 答案:C 6.函数 y=2cos 2? + 6 ,x - 6 , 4 的值域为. 解析:x - 6 , 4 ,2x+ 6 - 6 , 2 3 , cos 2? + 6 - 1 2,1 , 函数 y 的值域为-1,2. 答案:-1,2 7.函数 y=sin2x-4sin x 的最大值为. 解析:y=sin2x-4sin x=(sin x-2)2-4. -1sin x1,当 sin
5、x=-1 时,y 取最大值 ymax=(-1-2)2-4=5. 答案:5 8.已知函数 y=3sin 2? + 4 ,x 0, 2 的单调递增区间为0,m,则实数 m 的值为. 解析:由- 2+2k2x+ 4 2 +2k,kZ,得-3 8 +kx 8+k,kZ. 又因为 0 x 2,所以 0 x 8,即函数 y=3sin 2? + 4 ,x 0, 2 的单调递增区间为 0, 8 . 所以 m= 8. 答案: 8 9.已知函数 f(x)=2sin 2? + ? (- 2 2),且 f(x)的图象经过点(0,1). (1)求函数 f(x)的最小正周期及的值; (2)求函数 f(x)的最大值及取得最
6、大值时自变量 x 的取值集合; (3)求函数 f(x)的单调递增区间. 解:(1)函数 f(x)的最小正周期为 T=2 2 =. 因为 f(x)的图象经过点(0,1), 所以 f(0)=2sin =1,即 sin =1 2. 又因为- 20)在区间 - 2 3 , 5 6 上单调递增,且存在唯一 x00,使得 f(x0)=1,则实数 的取值范围为() A. 1 2, 3 5 B. 1 2, 3 5 C. 11 20, 3 5 D. 11 20, 3 5 解析:由 2k- 2x2k+ 2(kZ), 得2? ? ? 2?x 2? ? + 2?(kZ). 所以函数 f(x)=sin x(0)的单调递
7、增区间为 2? ? - 2?, 2? ? + 2? (kZ).又因为函数 f(x)在区间 - 2 3 , 5 6 上单调递增,且存在唯一 x00,使得 f(x0)=1,所以 - 2 3 , 5 6 - 2? , 2? , 2?0, 解得1 2 3 5,故 选 A. 答案:A 4.已知函数 f(x)=sin x 在区间 0, 6 内单调递增,则下列结论正确的是.(将所有符合题意 的序号填在横线上) 函数 f(x)=sin x 在区间 - 6 ,0 内单调递增; 满足条件的正整数的最大值为 3; f 4 f 12 . 解析:因为 f(x)=sin x 的定义域为 R,且 f(-x)=sin(-x)
8、=-sin x=-f(x),所以 f(x)为奇函数.又因为 f(x)=sin x 在区间 0, 6 内单调递增,所以函数 f(x)=sin x 在区间 - 6 ,0 内单调递增,故正确;由题 意可知 6 2,解得3,即满足条件的正整数的最大值为 3,故正确;由题意可得对称轴 x 6,又因 为 12 + 4 ? 3=2 6,所以 f 4 f 12 ,故正确. 答案: 5.设函数 f(x)=asin 2? + 3 +b. (1)若 a0,求 f(x)的单调递增区间; (2)当 x 0, 4 时,f(x)的值域为1,3,求 a,b 的值. 解:(1)因为 a0,令 2k- 22x+ 32k+ 2(k
9、Z),得 k- 5 12xk+ 12(kZ), 所以 f(x)的单调递增区间是 k-5 12,k+ 12 (kZ). (2)当 x 0, 4 时, 32x+ 3 5 6 ,则1 2sin 2? + 3 1.又因为 f(x)的值域为1,3, 所以 ? 0, ? + ? ? 3, 1 2? + ? ? 1, 解得 ? ? 4, ? ? -1. 6.已知函数 f(x)=2sin 2?- 3 +1. (1)求函数 f(x)的周期; (2)求函数 f(x)在区间(0,)内的单调区间; (3)若对 xR,不等式 mf(x)+2mf(x)恒成立,试求 m 的取值范围. 解:(1)由 f(x)=2sin 2?
10、- 3 +1,可知其周期 T=2 2 =. (2)令- 2+2k2x- 3 2+2k(kZ),即- 12+kx 5 12+k(kZ),当 k=0 时,- 12x 5 12;当 k=1 时,11 12 x17 12 . 又因为 x(0,),所以 f(x)在区间(0,)内的单调递增区间是 0, 5 12 , 11 12 , ;在区间(0,)内的单调递减 区间为 5 12 , 11 12 . (3)因为 f(x)=2sin 2?- 3 +1,所以 f(x)+20. 又因为 mf(x)+2mf(x)可化为 m1- 2 ?(?)+2,所以 m 1- 2 ?(?)+2 max. 当 f(x)取到最大值 3 时,1- 2 ?(?)+2取得最大值 3 5,故 m 3 5.
