1、7.4.27.4.2超几何分布超几何分布 基础过关练基础过关练 题组一题组一超几何分布及其概率计算超几何分布及其概率计算 1.(2019 湖南常德高二下期末)某工厂生产的 100 个产品中有 90 个一等品,10 个 二等品,现从这批产品中随机抽取 4 个,则其中恰有一个二等品的概率为() A.1- C90 4 C100 4 B. C10 0 C90 4 +C10 1 C90 3 C100 4 C. C10 1 C100 4 D. C10 1 C90 3 C100 4 2.一个班级共有 30 名学生,其中有 10 名女生,现从中任选 3 名学生代表班级参加 学校开展的某项活动,假设选出的 3
2、名代表中女生的人数为变量 X,男生的人数为 变量 Y,则 P(X=2)+P(Y=2)等于() A. C10 2 C20 2 C30 3 B. C10 2 +C20 2 C30 3 C. C10 2 C20 1 +C10 1 C20 2 C30 3 D. (C10 2 +C20 1 )(C10 1 +C20 2 ) C30 3 3.(2020 山东烟台栖霞四中高二下月考)盒中有 10 个螺丝钉,其中有 3 个是坏的, 现从盒中随机地抽取 4 个,那么概率是 3 10的事件为( ) A.恰有 1 个是坏的 B.4 个全是好的 C.恰有 2 个是好的 D.至多有 2 个是坏的 4.在 10 个排球中
3、有 6 个正品,4 个次品,从中随机抽取 4 个,则正品数比次品数少 的概率为() A. 5 42 B. 4 35 C.19 42 D. 8 21 5.(多选)一个袋中装有 6 个同样大小的黑球,编号分别为 1,2,3,4,5,6,还有 4 个 同样大小的白球,编号分别为 7,8,9,10.现从中任取 4 个球,下列变量服从超几何 分布的是() A.X 表示取出球的最大号码 B.Y 表示取出球的最小号码 C.取出一个黑球记 2 分,取出一个白球记 1 分,Z 表示取出的 4 个球的总得分 D.T 表示取出的黑球个数 6.(2019 辽宁抚顺高三一模)学校要从 5 名男生和 2 名女生中随机抽取
4、 2 人参加社 区志愿者服务,若用 X 表示抽取的志愿者中女生的人数,请写出随机变量 X 的分布 列.(结果用分数表示) X012 P 7.箱中装有 4 个白球和 m 个黑球.规定取出一个白球得 2 分,取出一个黑球得 1 分, 现从箱中任取 3 个球,假设每个球被取出的可能性都相等.记随机变量 X 为取出的 3 个球所得分之和. (1)若 P(X=6)=2 5,求 m 的值; (2)当 m=3 时,求 X 的分布列. 8.厂家在产品出厂前需对产品进行检验,厂家将一批产品发给商家时,商家按合同 规定也需随机抽取一定数量的产品进行检验,以决定是否接收这批产品. (1)若厂家库房中(视为数量足够多
5、)的每件产品合格的概率为 0.7,从中任意取出 3 件进行检验,求至少有 2 件是合格品的概率; (2)若厂家发给商家 20 件产品,其中有 4 件不合格,按合同规定商家从这 20 件产 品中任取 2 件进行检验,只有 2 件都合格时才接收这批产品,否则拒收.求该商家 可能检验出的不合格产品的件数 X 的分布列,并求该商家拒收这批产品的概率. 题组二题组二超几何分布的期望与方差超几何分布的期望与方差 9.(2020 四川宜宾高三二模)为了加强环保知识的宣传,某学校组织了垃圾分类知 识竞赛活动.活动设置了四个箱子,分别写有“厨余垃圾”“有害垃圾”“可回收 物”“其他垃圾”,另有卡片若干张,每张卡
6、片上写有一种垃圾的名称.每位参赛 选手从所有卡片中随机抽取 20 张,按照自己的判断将每张卡片放入对应的箱子中. 按规则,每正确投放一张卡片得 5 分,投放错误得 0 分.比如将写有“废电池”的 卡片放入写有“有害垃圾”的箱子,得 5 分,放入其他箱子,得 0 分.从所有参赛选 手中随机抽取 20 人,将他们的得分按照 0,20,(20,40,(40,60,(60,80,(80,100分组,绘成如下频率分布直方图. (1)分别求出所抽取的 20 人中得分落在0,20和(20,40内的人数; (2)从所抽取的 20 人中得分落在0,40内的选手中随机选取 3 名选手,以 X 表示 这 3 名选手
7、中得分不超过 20 分的人数,求 X 的分布列和数学期望. 10.(2020 北京海淀育英中学高三月考)自由购是通过自助结算方式购物的一种形 式.某大型超市为调查顾客使用自由购的情况,随机抽取了 100 名顾客,统计结果 整理如下: 年龄(岁) 20 以下 20,30) 30,40)40,50)50,60)60,7070 以上 使用人数312176420 未使用人数003143630 (1)现从中随机抽取 1 名顾客,试估计该顾客年龄在30,50)内且未使用自由购的 概率; (2)从被抽取的年龄在50,70内使用自由购的顾客中随机抽取 3 人进一步了解情 况,用 X 表示这 3 人中年龄在50
8、,60)内的人数,求 X 的分布列及数学期望; (3)为鼓励顾客使用自由购,该超市拟对使用自由购的顾客赠送 1 个环保购物袋. 若某日该超市预计有 5 000 人购物,试估计该超市当天至少应准备多少个环保购 物袋. 11.(2020 湖南衡阳八中高三下月考)为践行“绿水青山就是金山银山”的发展理 念和提高生态环境的保护意识,某校高二年级准备成立一个环境保护兴趣小组.该 年级理科班有男生 400 人,女生 200 人;文科班有男生 100 人,女生 300 人.现按男、 女用分层随机抽样的方法从理科生中抽取 6 人,从文科生中抽取 4 人,组成环境保 护兴趣小组,再从这 10 人的兴趣小组中抽出
9、 4 人参加学校的环保知识竞赛. (1)设事件 A 为“选出参加环保知识竞赛的 4 人中有两个男生、两个女生,而且这 两个男生中文、理科生都有”,求事件 A 发生的概率; (2)用 X 表示抽取的 4 人中文科女生的人数,求 X 的分布列及方差. 能力提升练能力提升练 题组一题组一超几何分布的应用超几何分布的应用 1.(2020 河南名校联盟高三调研,)某市移动公司为了提高服务质量,决定对使用 A,B 两种套餐的集团用户进行调查,准备从本市 n 个人数超过 1 000 的大集团和 8 个人数低于 200 的小集团中随机抽取若干个集团进行调查,已知一次抽取 2 个集 团,全是小集团的概率为 4
10、15. (1)求 n 的值; (2)若抽取的 2 个集团是同一类集团,求全为大集团的概率; (3)若一次抽取 4 个集团,假设取出小集团的个数为 X,求 X 的分布列和期望. 2.(2019 山东日照高二下期中,)微信是现代生活信息交流的重要工具,随机对使 用微信的 100 人进行统计,得到如下数据统计表,每天使用微信时间在两小时以上 的人被定义为“微信依赖”,不超过两小时的人被定义为“非微信依赖”,已知 “非微信依赖”与“微信依赖”人数比恰为 32. 使用微信 时间(单 位:小时) (0,0.5 (0.5,1(1,1.5(1.5,2 (2,2.5(2.5,3合计 频数51515x30y100
11、 频率0.050.150.15p0.30q1.00 (1)确定 x,y,p,q 的值; (2)为进一步了解使用微信对自己的日常工作和生活是否有影响,从“微信依赖” 和“非微信依赖”的 100 人中用分层随机抽样的方法确定 10 人,若需从这 10 人 中随机选取 3 人进行问卷调查,设选取的 3 人中“微信依赖”的人数为 X,求 X 的 分布列; (3)求(2)中选取的 3 人中“微信依赖”至少 2 人的概率. 题组二题组二超几何分布与二项分布的综合应用超几何分布与二项分布的综合应用 3.(2019 山西太原第五中学高二月考,)某高校通过自主招生方式在 A 市招收一 名优秀的高三毕业生,经过层
12、层筛选,甲、乙两名学生进入最后测试,该校设计了 一个测试方案:甲、乙两名学生各自从 6 个问题中随机抽 3 个问题回答.已知这 6 个问题中,学生甲能正确回答其中的 4 个问题,而学生乙能正确回答每个问题的概 率为2 3,甲、乙两名学生对每个问题的回答都是互不影响的. (1)求甲、乙两名学生共答对 2 个问题的概率; (2)请从期望和方差的角度分析,甲、乙两名学生哪位被录取的可能性更大. 4.(2020 辽宁省实验中学、鞍山一中、东北育才学校等高三上期末联考,)某种 水果按照果径大小可分为四类:标准果、优质果、精品果、礼品果.某采购商从采 购的一批水果中随机抽取 100 个,利用水果的等级分类
13、标准得到的数据如下: 等级标准果优质果精品果礼品果 个数10304020 (1)若将频率视为概率,从这 100 个水果中有放回地随机抽取 4 个,求恰好有 2 个 水果是礼品果的概率;(结果用分数表示) (2)用样本估计总体,果园老板提出两种购销方案给采购商参考. 方案 1:不分类卖出,售价为 20 元/kg, 方案 2:分类卖出,分类后的水果售价如下, 等级标准果优质果精品果礼品果 售价(元 /kg) 16182224 从采购商的角度考虑,应该采用哪种方案? (3)用分层随机抽样的方法从这 100 个水果中抽取 10 个,再从抽取的 10 个水果中 随机抽取 3 个,X 表示抽取的是精品果的
14、数量,求 X 的分布列及数学期望. 答案全解全析答案全解全析 7.4.2超几何分布 基础过关练 1.D由超几何分布的概率公式可知,所求概率为 C90 3 C10 1 C100 4 .故选 D. 2.C由题意得,P(X=2)= C10 2 C20 1 C30 3 , P(Y=2)= C10 1 C20 2 C30 3 , 所以 P(X=2)+P(Y=2)= C10 2 C20 1 +C10 1 C20 2 C30 3 . 故选 C. 3.C对于选项 A,其概率为 C3 1C 7 3 C10 4 =1 2.对于选项 B,其概率为 C7 4 C10 4 =1 6.对于选项 C,其概率 为 C3 2C
15、 7 2 C10 4 = 3 10.对于选项 D,其包括没有坏的,有 1 个是坏的,有 2 个是坏的三种情况,根 据 A 选项,恰好有 1 个是坏的概率为1 2 3 10,故 D 选项不正确.故选 C. 4.A由题意知有两种情况:0 个正品、4 个次品,1 个正品、3 个次品, 由超几何分布的概率可知,取出 0 个正品、4 个次品的概率为 C4 4 C10 4 = 1 210, 取出 1 个正品、3 个次品的概率为 C6 1C 4 3 C10 4 = 24 210= 4 35, 所以所求概率为 1 210+ 4 35= 5 42. 故选 A. 5.CD根据超几何分布的概念可知,选项 C、D 正
16、确. 6.答案 X012 P 10 21 10 21 1 21 解析X 的可能取值为 0,1,2, 当 X=0 时,表示没有抽到女生;当 X=1 时,表示抽到 1 名女生;当 X=2 时,表示抽到 2 名女生, P(X=0)= C5 2 C7 2= 10 21, P(X=1)= C5 1C 2 1 C7 2 =10 21, P(X=2)= C2 2 C7 2= 1 21. 7.解析(1)由题意得,只有当取出的 3 个球都是白球时,随机变量 X=6, P(X=6)= C4 3 C?+4 3 =2 5,即C?+4 3 =10,所以 m=1. (2)由题意得,当 m=3 时,X 的可能取值为 3,4
17、,5,6. P(X=3)= C3 3 C7 3= 1 35, P(X=4)= C3 2C 4 1 C7 3 =12 35, P(X=5)= C3 1C 4 2 C7 3 =18 35, P(X=6)= C4 3 C7 3= 4 35. X 的分布列为 X3456 P 1 35 12 35 18 35 4 35 8.解析(1)“从中任意取出 3 件进行检验,至少有 2 件是合格品”记为事件 A, 其中包含“恰有 2 件是合格品”和“3 件都是合格品”两个基本事件, P(A)=C3 20.720.3+0.73=0.784. (2)X 的可能取值为 0,1,2, P(X=0)= C16 2 C20
18、2 =12 19,P(X=1)= C16 1 C4 1 C20 2 =32 95, P(X=2)= C4 2 C20 2 = 3 95, X 的分布列为 X012 P 12 19 32 95 3 95 只有 2 件都合格时才接收这批产品, 商家拒收这批产品的对立事件为商家任取 2 件产品检验都合格,记“商家拒收 这批产品”为事件 B, 则 P(B)=1-P(X=0)= 7 19, 商家拒收这批产品的概率为 7 19. 9.解析(1)由题图知,所抽取的 20 人中得分落在0,20内的人数有 0.005 02020=2,得分落在(20,40内的人数有 0.007 52020=3. (2)由题意可知
19、,X 的可能取值为 0,1,2, P(X=0)= C3 3 C5 3= 1 10, P(X=1)= C2 1C 3 2 C5 3 = 6 10= 3 5, P(X=2)= C2 2C 3 1 C5 3 = 3 10, 所以 X 的分布列为 X012 P 1 10 3 5 3 10 所以 E(X)=0 1 10+1 3 5+2 3 10= 6 5. 10.解析(1)在随机抽取的 100 名顾客中,年龄在30,50)内且未使用自由购的共 有 3+14=17 人, 所以随机抽取 1 名顾客,估计该顾客年龄在30,50)内且未使用自由购的概率 P= 17 100. (2)X 的可能取值为 1,2,3,
20、 P(X=1)= C4 1C 2 2 C6 3 =1 5, P(X=2)= C4 2C 2 1 C6 3 =3 5, P(X=3)= C4 3C 2 0 C6 3 =1 5. 所以 X 的分布列为 X123 P 1 5 3 5 1 5 所以 E(X)=11 5+2 3 5+3 1 5=2. (3)在随机抽取的 100 名顾客中使用自由购的顾客共有 3+12+17+6+4+2=44 人, 所以估计该超市当天至少应准备环保购物袋的个数为 44 1005 000=2 200. 11.解析(1)由题意可得,抽取了理科男生 4 人,女生 2 人,文科男生 1 人,女生 3 人. 所以 P(A)= C4
21、1C 1 1C 5 2 C10 4 = 40 210= 4 21. (2)X 的可能取值为 0,1,2,3, P(X=0)= C7 4C 3 0 C10 4 =1 6, P(X=1)= C7 3C 3 1 C10 4 =1 2, P(X=2)= C7 2C 3 2 C10 4 = 3 10, P(X=3)= C7 1C 3 3 C10 4 = 1 30, 所以 X 的分布列为 X0123 P 1 6 1 2 3 10 1 30 所以 E(X)=01 6+1 1 2+2 3 10+3 1 30= 6 5, 所以 D(X)= 0- 6 5 21 6+ 1- 6 5 21 2+ 2- 6 5 2 3
22、 10+ 3- 6 5 2 1 30= 14 25. 能力提升练 1.解析(1)由题意知共有(n+8)个集团,抽取 2 个集团的方法总数是C?+8 2 ,其中全 是小集团的情况有C8 2种,故全是小集团的概率是 C8 2 C?+8 2 = 56 (?+8)(?+7)= 4 15, 整理得(n+7)(n+8)=210,即 n 2+15n-154=0,解得 n=7(n=-22 舍去). (2)若抽取的 2 个集团全是大集团,则共有C7 2=21 种情况;若抽取的 2 个集团全是小 集团,则共有C8 2=28 种情况, 故所求概率为 21 21+28= 3 7. (3)由题意知,X 的可能取值为 0
23、,1,2,3,4, P(X=0)= C8 0C 7 4 C15 4 = 1 39, P(X=1)= C8 1C 7 3 C15 4 = 8 39, P(X=2)= C8 2C 7 2 C15 4 =28 65, P(X=3)= C8 3C 7 1 C15 4 = 56 195, P(X=4)= C8 4C 7 0 C15 4 = 2 39. 故 X 的分布列为 X01234 P 1 39 8 39 28 65 56 195 2 39 所以 E(X)=0 1 39+1 8 39+2 28 65+3 56 195+4 2 39= 32 15. 2.解析(1)由题可知“非微信依赖”人数为 1003
24、5=60,则“微信依赖”人数为 40, 故可得 x=60-(5+15+15)=25,则 p= 25 100=0.25;y=40-30=10,则 q= 10 100=0.10. (2)根据题意,10 人中“非微信依赖”人数为 60 1 10=6,“微信依赖”人数为 40 1 10=4. 则 X 的可能取值为 0,1,2,3, P(X=0)= C6 3 C10 3 =1 6,P(X=1)= C4 1C 6 2 C10 3 =1 2, P(X=2)= C4 2C 6 1 C10 3 = 3 10,P(X=3)= C4 3 C10 3 = 1 30. 故 X 的分布列为 X0123 P 1 6 1 2
25、 3 10 1 30 (3)由题可知选取的 3 人中“微信依赖”至少 2 人的概率为 P(X2), 由(2)中分布列可得 P(X2)= 3 10+ 1 30= 1 3. 故选取的 3 人中“微信依赖”至少 2 人的概率为1 3. 3.解析(1)由题意得甲、乙两名学生共答对 2 个问题的概率 P= C4 1C 2 2 C6 3 C3 12 3 1 3 2+C42C21 C6 3 C3 0 2 3 0 1 3 3= 1 15. (2)设学生甲答对的题数为 X,则 X 的可能取值为 1,2,3, P(X=1)= C4 1C 2 2 C6 3 =1 5,P(X=2)= C4 2C 2 1 C6 3 =
26、3 5,P(X=3)= C4 3C 2 0 C6 3 =1 5, 则 E(X)=11 5+2 3 5+3 1 5=2, D(X)=(1-2) 21 5+(2-2) 23 5+(3-2) 21 5= 2 5. 设学生乙答对题数为 Y,则 Y 的可能取值为 0,1,2,3, 由题意知 YB 3, 2 3 ,则 E(Y)=32 3=2,D(Y)=3 2 3 1 3= 2 3, E(X)=E(Y),D(X)20,从采购商的角度考虑,应该采用方案 1. (3)用分层随机抽样的方法从 100 个水果中抽取 10 个,则其中精品果 4 个,非精品 果 6 个. 现从中随机抽取 3 个,则精品果的数量 X 服从超几何分布,其可能的取值为 0,1,2,3. P(X=0)= C6 3 C10 3 =1 6,P(X=1)= C6 2C 4 1 C10 3 =1 2, P(X=2)= C6 1C 4 2 C10 3 = 3 10,P(X=3)= C4 3 C10 3 = 1 30. X 的分布列为 X0123 P 1 6 1 2 3 10 1 30 E(X)=01 6+1 1 2+2 3 10+3 1 30= 6 5.
