1、7.5正态分布正态分布 基础过关练基础过关练 题组一题组一正态曲线及其特点正态曲线及其特点 1.(2020 山东潍坊临朐一中高三阶段检测)设随机变量 XN(,7),若 P(X4),则() A.E(X)=3,D(X)=7 B.E(X)=6,D(X)= 7 C.E(X)=3,D(X)= 7 D.E(X)=6,D(X)=7 2.设 XN(1,?1 2),YN( 2,?2 2),X 和 Y 的正态密度曲线如图所示,则下列结论正确 的是() A.P(Y2)P(Y1) B.P(X2)P(X1) C.对任意正数 t,P(Xt)P(Yt) D.对任意正数 t,P(Xt)P(Yt) 3.(多选)(2020 山东
2、青岛胶州一中高二上期末)已知三个正态密度函数 fi(x)= 1 ?2 e - (?-?)2 2? 2 (xR,i=1,2,3)的图象如图所示,则下列结论正确的是() A.1=2B.13 C.1=2D.23 4.(多选)(2020 湖南师大附中高二上期末)甲、乙两类水果的质量(单位:kg)分别 近似服从正态分布 N(1,?1 2)、N( 2,?2 2),其正态密度曲线如图所示,则下列说法 正确的是() A.甲类水果的平均质量1=0.4 kg B.甲类水果的质量比乙类水果的质量更集中于平均值附近 C.甲类水果的平均质量比乙类水果的平均质量小 D.乙类水果的质量比甲类水果的质量更集中于平均值附近 5
3、.(2020 山东菏泽一中高二月考)已知正态总体的概率密度函数 为 f(x)= 1 8 e- ?2 8(xR),则总体的平均数和标准差分别是 ,. 题组二题组二正态分布的概率计算正态分布的概率计算 6.(2020 重庆巴蜀中学高三适应性考试)已知随机变量 X 服从正态分布 N(3, 2), 且 P(X1)=0.1,则 P(3X5)=() A.0.1B.0.2C.0.3D.0.4 7.(2020 福建厦门高三线上质量检查)设随机变量 XN(, 2),若 P(X1)=0.3,P(1X5)=0.4,则=() A.1B.2C.3D.4 8.在某市的高二期末考试中,理科学生的数学成绩 XN(90, 2)
4、,已知 P(70c+1)=P(X 205.假设同组中的每个数据用该组区间的中点值代替, 试估算该批零件每件的平均利润.(结果四舍五入,保留整数) 参考数据:若 XN(, 2),则 P(-X+)0.682 7,P(- 2X+2)0.954 5,P(-3X+3)0.997 3. 能力提升练能力提升练 题组一题组一正态分布及其概率计算正态分布及其概率计算 1.(多选)()设随机变量 XN(0,1),f(x)=P(Xx),其中 x0,则下列等式成立的 有() A.f(-x)=1-f(x) B.f(2x)=2f(x) C.P(|X|x)=2f(x)-1 D.P(|X|x)=2-f(x) 2.(2020
5、广东佛山高三统一调研测试,)测量某一目标的距离时,所产生的随机误 差 X 服从正态分布 N(20,10 2),如果独立测量 3 次,至少一次测量误差在0,30内 的概率是. 附:若随机变量 XN(, 2),则 P(-X+)0.68,P(- 2X+2)0.95,P(- 3X+3)0.99,0.185 20.03,0.18530.006,0.81520.66,0.81530. 541. 题组二题组二正态分布的应用正态分布的应用 3.(2020 海南海口第四中学高三上月考,)某市高三理科学生有 30 000 名,在一 次调研测试中,数学成绩 X 服从正态分布 N(100, 2),已知 P(80X0.
6、954 5,则认为该校学生的体重是正常的.试判断该校 学生的体重是否正常,并说明理由. 答案全解全析答案全解全析 7.5正态分布 基础过关练 1.A随机变量 XN(,7),且 P(X4), 2=7,=3,E(X)=3,D(X)=7. 故选 A. 2.DA 项,由题图可知,直线 x=1为 X 的正态密度曲线的对称轴,直线 x=2为 Y 的正态密度曲线的对称轴,12,所以 P(Y2)=1 2P(Y1),故 A 错;B 项,由题 图可知,01P(X1),故 B 错;C 项,对任意正数 t,P(Xt)t),即有 P(Xt)t)t),因此有 P(Xt)P(Yt),故 D 正确.故选 D. 3.AD根据正
7、态曲线关于直线 x=对称,且越大,图象越靠近右边,所以 12=3,B、C 错误; 又较小时,峰值高,曲线“瘦高”,所以1=23,A、D 正确.故选 AD. 4.ABC由题图可知,甲类水果的平均质量1=0.4 kg,乙类水果的平均质量 2=0.8 kg,12,则 A、B、C 都正确,D 不正确.故选 ABC. 5.答案0;2 解析正态总体的概率密度函数为 f(x)= 1 8 e- ?2 8(xR),总体的平均数为 0, 标准差为 2. 6.D随机变量 X 服从正态分布 N(3, 2),正态曲线关于直线 x=3 对称, 又 P(X5)=0.1, P(3X5)=?(1?5) 2 =1-0.12 2
8、=0.4,故选 D. 7.C由于随机变量 XN(, 2),满足 P(X1)=0.3,P(1X5)=0.4, 因此 P(X5)=1-0.3-0.4=0.3=P(X1),根据正态曲线的对称性可知=1+5 2 =3. 故选 C. 8.答案0.85 解析XN(90, 2),=90, 又 P(70X90)=0.35, P(90X110)=0.35, P(X110)=1-0.352 2 =0.15, 则 P(Xc+1)=P(Xc-1), 所以 2-(c-1)=(c+1)-2, 解得 c=2. (2)由 XN(2,9)得=2,=3, 所以 P(-4X8)=P(2-23X2+23)=P(-2X+2)0.954
9、 5. 10.B设身高为 X,则 XN(173,5 2), P(163X183)=P(-2X+2)0.954, 工作服大约要定制 0.95410 000=9 540 套. 11.CP(4180)=1-0.42 2 =0.1, 所以该市身高高于 180 cm 的高中男生人数大约为 30 0000.1=3 000. 13.解析(1)(i)由 10(a+0.009+0.022+0.033+0.024+0.008+a)=1, 得 a=0.002. =1700.02+1800.09+1900.22+2000.33+2100.24+2200.08+2300. 02=200. (ii)由(i)知 XN(20
10、0,15 2), 所以 P(185X230)0.682 7 2 +0.954 5 2 =0.818 6. 10 0000.818 6=8 186, 所以 10 000 件零件中质量指标值在185,230内的件数约为 8 186. (2)由题意得 y=0.81700.02+0.81800.09+0.81900.22+0.82000.33+(0.162 10+200)0.24+(0.16220+200)0.08+(0.16230+200)0.02=181.536182, 所以估计该批零件每件的平均利润为 182 元. 能力提升练 1.AC随机变量 X 服从正态分布 N(0,1), 正态曲线关于直线
11、 x=0 对称, f(x)=P(Xx)(x0), 根据正态曲线的对称性可得 f(-x)=P(Xx)=1-f(x),所以 A 正确; f(2x)=P(X2x),2f(x)=2P(Xx),所以 B 错误; P(|X|x)=P(-xXx)=1-2f(-x)=1-21-f(x)=2f(x)-1,所以 C 正确; P(|X|x)=P(Xx 或 X100)=0.5, P(100X120)=P(80X120)=P(X100)-P(100X120)=0.05, 应从 120 分以上的试卷中抽取 2000.05=10 份.故选 B. 4.D由频率分布直方图估计该单位员工日均健步走步数的均值 =10.04+30.
12、08+50.16+70.44+90.16+110.1+130.02=6.967, 设日均健步走步数为 X(单位:千步),则 XN(7,6.25), =2.5,则-=4.5,-2=2,P(2X4.5)1 2(0.954 5-0.682 7)=0.135 9, 8000.135 9109,日均健步走步数在 2 千步至 4.5 千步(含 2 千步和 4.5 千步)的人数约为 109,故选 D. 5.答案0.16;10 解析P(X82.5)=P(X117.5)=P(X+)=0.5-?(?-?+?) 2 0.16, 因为成绩在 117.5 分以上的学生有 80 人, 所以高三考生总人数约为 80 0.1
13、6=500, P(X135)=P(X+2)=0.5-?(?-2?+2?) 2 0.02, 所以本次考试数学成绩特别优秀的大约有 5000.02=10 人. 6.解析 (1)=(47.5+72.5)0.0045+(52.5+67.5)0.0265+(57.5+62.5)0.075 =60. 2=(47.5-60)2+(72.5-60)20.02+(52.5-60)2+(67.5-60)20.13+(57.5- 60) 2+(62.5-60)20.3525. (2)由题图可得从全校学生中随机抽取 1 名学生,其体重在55,65)的概率为 0.7. 随机抽取 3 人,相当于 3 重伯努利试验,随机变量 X 服从二项分布 B(3,0.7), P(X=0)=C3 00.700.33=0.027, P(X=1)=C3 10.70.32=0.189, P(X=2)=C3 20.720.3=0.441, P(X=3)=C3 30.730.30=0.343, 所以 X 的分布列为 X0123 P0.0270.1890.4410.343 E(X)=30.7=2.1. (3)由题意知 Y 服从正态分布 N(60,25), 则 P(-2Y+2)=P(50Y70)=0.960.954 5, 所以该校学生的体重是正常的.
