1、微专题 5用转化与化归思想解决函数零点问 题 (对应学生用书第 54 页) 转化与化归思想是解决高中数学问题的一种重要思想方法,所谓的化归思想方法,就是在研究和解决有 关数学问题时采用某种手段将问题进行转化,进而得以解决的一种方法.一般总是将难解的问题通过变换转 化为容易求解的问题.在高中数学中,转化与化归最为常见的体现形式是数与形的相互转化,函数、方程、不 等式间的相互转化等. 一、根据函数的零点个数求参数的取值范围 (2021 江苏高考模拟)已知函数f(x)= ln?,? 0, 2?+1,x 0,若函数 y=f(x)+x-a有且只有一个零点,则实数 a的取值范围为. 答案(2,+) 解析由
2、y=f(x)+x-a=0,得f(x)=-x+a. 所以函数y=f(x)+x-a有且只有一个零点等价于y=f(x)与y=-x+a的图象有且只有一个交点. 画出函数f(x)= ln?,? 0, 2?+1,x 0的图象如图所示. 由图可知,函数y=-x+a的图象经过点A(0,2)时与y=f(x)的图象有 2 个交点, 平移y=-x,由图可知,直线与y轴的交点在A点的上方时,两图象只有 1 个交点, 在A点下方时,两图象有 2 个交点, 所以a2,即a的取值范围是(2,+). 点拨已知函数零点的个数求参数的取值范围,常利用数形结合法将其转化为两个函数的图象的交点 个数问题,通过准确画出两个函数的图象,
3、利用图象写出满足条件的参数的取值范围. 【微点练 1】已知函数f(x)= ? + 2,? 0, ln?,? 0 (kR),若函数y=|f(x)|+k有三个零点,则实数k的取值范围 是(). A.k2B.-1k0 C.-2k0,k0 时,f(x)= 2|?-1|-1,0 2, 则 函数g(x)=4f(x)-1 的零点个数为(). A.4B.6C.8D.10 答案D 解析因为f(x)为偶函数,所以只需作出当x0 时f(x)的图象,再利用对称性作另一半图象即可,当 x(0,2时,可以利用y=2x的图象变换作出f(x)的图象, 当x2 时,f(x)=1 2f(x-2),即自变量增加 2 个单位,函数值折半,进而可作出 f(x)在(2,4,(4,6,的图象,g(x) 的零点个数即方程f(x)=1 4的根的个数,即 f(x)的图象与直线y=1 4的交点个数,观察图象可知当 x0 时,有 5 个 交点,根据对称性可得当x0 时,也有 5 个交点.所以f(x)的图象与直线y=1 4共 10 个交点,故函数 g(x)有 10 个零点.
