1、第十一章第十一章 计数原理、概率、随机变量及其分布计数原理、概率、随机变量及其分布 第九节第九节 离散型随机变量的均值与方差离散型随机变量的均值与方差 考点考点 1 离散型随机变量的均值与方差离散型随机变量的均值与方差 （2018北京卷（理） ）电影公司随机收集了电影的有关数据，经分类整理得到下表： 好评率是指：一类电影中获得好评的部数与该类电影的部数的比值 假设所有电影是否获得好评相互独立 （1）从电影公司收集的电影中随机选取 1 部，求这部电影是获得好评的第四类电影的概率； （2）从第四类电影和第五类电影中各随机选取 1 部，估计恰有 1 部获得好评的概率； （3）假设每类电影得到人们喜欢
2、的概率与表格中该类电影的好评率相等，用“k1”表示第 k 类电影得到人 们喜欢，“k0”表示第 k 类电影没有得到人们喜欢（k1,2,3,4,5,6） 写出方差 D（1） ，D（2） ，D（3） ， D（4） ，D（5） ，D（6）的大小关系 【解析】 （1）由题意知，样本中电影的总部数是 140503002008005102 000， 第四类电影中获得好评的部数是 2000.2550. 故所求概率为 ?t ?ttt0.025. （2）设事件 A 为“从第四类电影中随机选出的电影获得好评”，事件 B 为“从第五类电影中随机选出的电影 获得好评” 故所求概率为 P（A? ?B）P（A?）P（?B
3、）P（A）（1P（B） ）（1P（A） ）P（B） 由题意知 P（A）估计为 0.25，P（B）估计为 0.2. 故所求概率估计为 0.250.80.750.20.35. （3）D（1）D（4）D（2）D（5）D（3）D（6） 【答案】见解析 （2018浙江卷）设 0p1，随机变量的分布列是（） 则当 p 在（0,1）内增大时， （） AD（）减小BD（）增大 CD（）先减小后增大DD（）先增大后减小 【解析】由题意知 E（）0?Ro ? 1? ?2 o ?p ? ?， D（） t R o t ? ? ?Ro ? ? R o t ? ? ? ? ? R o t ? ? ?o ? o t ? ?
4、 ?Ro ? o R ? ? ? ? ? ? R o ?o ? ? ? o t ? ? ? ? o R ? ? ?o ? o t ? ? ?o ? ? ? R o ? ? ? ?o?t ? ? o ? o t ? ? ? R o R ? ? ? p2? ?p（2p1） p2p? ? o R ? ? ? ?， D（）在 t? ? ? 上单调递增，在 ? ? ? 上单调递减，即当 p 在（0,1）内增大时，D（）先增大后减小 故选 D 【答案】D （2018天津卷（理） ）已知某单位甲、乙、丙三个部门的员工人数分别为 24,16,16.现采用分层抽样的方法从 中抽取 7 人，进行睡眠时间的调查 （
5、1）应从甲、乙、丙三个部门的员工中分别抽取多少人？ （2）若抽出的 7 人中有 4 人睡眠不足，3 人睡眠充足，现从这 7 人中随机抽取 3 人做进一步的身体检查 用 X 表示抽取的 3 人中睡眠不足的员工人数，求随机变量 X 的分布列与数学期望； 设 A 为事件“抽取的 3 人中，既有睡眠充足的员工，也有睡眠不足的员工”，求事件 A 发生的概率 【解析】 （1）由已知，甲、乙、丙三个部门的员工人数之比为 322，由于采用分层抽样的方法从中抽取 7 人，因此应从甲、乙、丙三个部门的员工中分别抽取 3 人，2 人，2 人 （2）随机变量 X 的所有可能取值为 0,1,2,3. P（Xk） C?
6、?C ? ?R? C? ? （k0,1,2,3） 所以随机变量 X 的分布列为 随机变量 X 的数学期望 E（X）0 ? ?1 ? ?2 ?鶈 ?3 ? ? ? ? . 设事件 B 为“抽取的 3 人中，睡眠充足的员工有 1 人，睡眠不足的员工有 2 人”； 事件 C 为“抽取的 3 人中，睡眠充足的员工有 2 人，睡眠不足的员工有 1 人”，则 ABC，且 B 与 C 互斥 由知 P（B）P（X2） ，P（C）P（X1） ， 故 P（A）P（BC）P（X2）P（X1）? ?. 所以事件 A 发生的概率为? ?. 【答案】见解析 （2018全国卷（理） ）某群体中的每位成员使用移动支付的概率都为 p，各成员的支付方式相互独立设 X 为该群体的 10 位成员中使用移动支付的人数，D（X）2.4，P（X4）P（X6） ，则 p 等于（） A0.7 B0.6 C0.4 D0.3 【解析】由题意可知，10 位成员中使用移动支付的人数 X 服从二项分布，即 XB（10，p） ，所以 D（X） 10p（1p）2.4，所以 p0.4 或 0.6. 又因为 P（X4）P（X6） ， 所以C?t ? p4（1p）6C?t ? p6（1p）4，所以 p0.5， 所以 p0.6. 【答案】B
