1、第八章第八章 立体几何立体几何 第五节第五节 直线、平面垂直的判定与性质直线、平面垂直的判定与性质 考点考点 1 线面垂直的判定与性质线面垂直的判定与性质 （2018浙江卷）如图，已知多面体 ABCA1B1C1，A1A，B1B，C1C 均垂直于平面 ABC，ABC120，A1A 4，C1C1，ABBCB1B2. （1）证明：AB1平面 A1B1C1； （2）求直线 AC1与平面 ABB1所成的角的正弦值 【解析】方法一（1）证明由 AB2，AA14，BB12，AA1AB，BB1AB，得 AB1A1B12 ?， 所以 A1? ?A? ? ?A? ? ?， 故 AB1A1B1. 由 BC2，BB1
2、2，CC11，BB1BC，CC1BC， 得 B1C1 ?. 由 ABBC2，ABC120，得 AC2 ?. 由 CC1AC，得 AC1 ?， 所以 A? ?B1? ? ?A? ? ?， 故 AB1B1C1. 又因为 A1B1B1C1B1，A1B1，B1C1平面 A1B1C1， 因此 AB1平面 A1B1C1. （2）如图，过点 C1作 C1DA1B1，交直线 A1B1于点 D，连接 AD 由 AB1平面 A1B1C1， 得平面 A1B1C1平面 ABB1. 由 C1DA1B1，平面 A1B1C1平面 ABB1A1B1，C1D平面 A1B1C1，得 C1D平面 ABB1. 所以C1AD 是 AC
3、1与平面 ABB1所成的角 由 B1C1 ?，A1B12 ?，A1C1 ?， 得 cosC1A1B1 ? ? ，sinC1A1B1 ? ? ， 所以 C1D ?， 故 sinC1AD? ? ?t ? . 因此直线 AC1与平面 ABB1所成的角的正弦值是 ?t ? . 方法二（1）证明如图，以 AC 的中点 O 为原点，分别以射线 OB，OC 为 x，y 轴的正半轴，建立空间 直角坐标系 Oxyz. 由题意知各点坐标如下： A（0， ?，0） ，B（1,0,0） ，A1（0， ?，4） ，B1（1,0,2） ，C1（0， ?，1） 因此? ?（1， ?，2） ，?（1， ?，2） ，?（0,2
4、 ?，3） 由? ?0，得 AB1A1B1. 由? ?0，得 AB1A1C1. 又 A1B1A1C1A1，A1B1，A1C1平面 A1B1C1， 所以 AB1平面 A1B1C1. （2）设直线 AC1与平面 ABB1所成的角为. 由（1）可知 ? ?（0,2 ?，1） ，? ?（1， ?，0） ，?（0,0,2） 设平面 ABB1的一个法向量为 n（x，y，z） 由 ? ? ? ? ?t ? ? ? ?t得 ? ? ? ?t ?t ? ?t 可取 n（ ?，1,0） 所以 sin |cos? ?，n| ? ? ? ? ? ?t ? . 因此直线 AC1与平面 ABB1所成的角的正弦值是 ?t
5、? . 【答案】见解析 （2018全国卷（文） ）如图，在三棱锥 PABC 中，ABBC2 ?，PAPBPCAC4，O 为 AC 的 中点 （1）证明：PO平面 ABC； （2）若点 M 在棱 BC 上，且 MC2MB，求点 C 到平面 POM 的距离 【解析】 （1）证明因为 PAPCAC4，O 为 AC 的中点， 所以 OPAC，且 OP2 ?. 如图，连接 OB 因为 ABBC ? ? AC， 所以ABC 为等腰直角三角形， 所以 OBAC，OB? ?AC2. 由 OP2OB2PB2知 POOB 因为 OPOB，OPAC，OBACO，OB，AC平面 ABC， 所以 PO平面 ABC （2）作 CHOM，垂足为 H，作 CHOM，垂足为 H， 又由（1）可得 OPCH， 因为 OMOPP，OM，OP平面 POM， 所以 CH平面 POM. 故 CH 的长为点 C 到平面 POM 的距离 由题意可知 OC? ?AC2，CM ? ?BC ? ? ? ，ACB45， 所以在OMC 中，由余弦定理可得，OM? ? ? ， CH?sin? ? ? ? ? . 所以点 C 到平面 POM 的距离为? ? ? . 【答案】见解析
