1、数学试题参考答案第 1 页 共 4 页 (第 19 题图) (第 19 题图) 数学试题参考答案 一、选择题：本题考查基本知识和基本运算。每小题一、选择题：本题考查基本知识和基本运算。每小题 4 分，共分，共 40 分。分。 1.A2.C3.B4.A5.B6.D7.A8.C9.C10.D 二、填空题：本题考查基本知识和基本运算。多空题每题二、填空题：本题考查基本知识和基本运算。多空题每题 6 分，单空题每题分，单空题每题 4 分，共分，共 36 分。分。 11.148012.0,) , (1, 0)13.18 , 7114. 7 6 , 3 15. 4 16. 1 4 , 23 16 17.
2、3 2 三、解答题：本大题共三、解答题：本大题共 5 小题，共小题，共 74 分。分。 18. .本题主要考查三角函数及其变换本题主要考查三角函数及其变换、正弦定理正弦定理、余弦定理等基础知识余弦定理等基础知识，同时考查数学运算等素同时考查数学运算等素 养。满分养。满分 14 分。分。 ()由余弦定理得 222 2cosabcbcA, 代入并化简得2 cos2 coscbAbB, 由正弦定理得sin2cossinsin2CABB, 由ABC得sinsin()CAB, 代入并化简得sin()sin2ABB. ()由ABC得(0, )AB, 当 B 是锐角时,3AB, 解得 (0,) 4 B; 当
3、 B 是直角时,不合题意; 当 B 是钝角时,32AB, 解得 23 (,) 34 B. 故角 B 的取值范围是 23 (0,)(,) 434 . 19. .本题主要考查空间点本题主要考查空间点、线线、面位置关系面位置关系，直线与平面所成的角等基础知识直线与平面所成的角等基础知识，同时考查直观想同时考查直观想 象和数学运算等素养。满分象和数学运算等素养。满分 15 分。分。 ()取,AD AP中点,E F ,连接,BE BF EF . 由ABPB, PAPD得PABF, PAEF, 所以PA 平面BEF . 由ADBC,2ADBC知四边形BCDE是平行四边形,则 BECD. 由BECD, EF
4、PD得平面BEF平面PCD , 所以PA 平面PCD . ()方法一: 由1ABPBBCCD,2AD 知四边形ABCD是以60A 的等腰梯形. 连接AC ,则ACCD, CD 平面PAC ,于是点 P 在底面ABCD内的射影在AC上. 取AC中点 G,则 3 2 PG ,于是当PG 底面ABCD时,四棱锥PABCD的体积最大. 连接BD ,则 1 11 34 P ABDABD VSh . 计算得 6 2 PA , 10 2 PD ,则 15 4 PAD S,故 2 11 34 B PADPAD VSh , 解得 2 15 5 h ,则 2 15 sin |5 h PB . 因此,直线PB与平面
5、PAD所成角的正弦值为 15 5 . ()方法二: 由1ABPBBCCD,2AD 知四边形ABCD是以60A 的等腰梯形. 连接AC ,则ACCD, CD 平面PAC ,于是点 P 在底面ABCD内的射影在AC上. 数学试题参考答案第 2 页 共 4 页 (第 19 题图) 取AC中点 G,则 3 2 PG ,于是当PG 底面ABCD时,四棱锥PABCD的体积最大. 如图,以 G 为原点,分别以射线,GB GC GP为,x y z轴的正半轴,建立空间直角坐标系 Gxyz. 由题意得 (0, 0, 0)G, 3 (0, 0) 2 A, 1 (, 0, 0) 2 B, 3 (1, 0) 2 D ,
6、 3 (0, 0,) 2 P. 所以 33 (0,) 22 PA , 13 (, 0,) 22 PB ,(1,3, 0)AD . 设平面PAD的法向量( , )x y zn, 由 0 0 PA AD n n , 得 33 0 22 30 yz xy , 取(3,1,1)n, 则 |15 sin|cos,| 5| | PB PB PB n n n . 因此,直线PB与平面PAD所成角的正弦值为 15 5 . 20. .本题主要考查等差数列本题主要考查等差数列、等比数列等基础知识等比数列等基础知识，同时考查数学运算和逻辑推理等素养同时考查数学运算和逻辑推理等素养。满分满分 15 分。分。 ()设数
7、列 n a的公比为(0)q q ,数列 n b的公差为(0)d d . 由于 1 1 n nn n b bbd b a qq a , 故数列 n b a是首项为 1 b a,公比为 d q的等比数列. 易知1q ,则 12 2 122 11() 33() 11 n ndn nbbb d qq aaaaaa qq , 解得2qd, 因此 1 2n n a ,21 n bn. ()由21 n bn得 2 n Sn, 所以 12 2n n cn . 由于 1 1 221 n nn ccn , 则 21324354 ,0cccccccc, 且当5n 时, 13 2214(1 1)21290 nn nn
8、n , 故当1, 2,3, 4n 时, 1nn cc ;当5n 时, 1nn cc . 因此数列 n c中的最小项是 5 9c . 21. .本题主要考查抛物线的几何性质本题主要考查抛物线的几何性质，直线与抛物线直线与抛物线、圆的位置关系等基础知识圆的位置关系等基础知识，同时考查数学同时考查数学 抽象、数学运算与逻辑推理等素养。满分抽象、数学运算与逻辑推理等素养。满分 15 分。分。 ()由题意知抛物线的准线方程是1x . ()由题意可设直线:(,0)AB xmyn m n, 11 (,)A xy, 22 (,)B xy. 将直线AB的方程代入抛物线 2 4yx得 2 440ymyn, 所以
9、12 4yym, 12 4y yn, 点 C 的坐标 33 (,)xy满足 312 1 ()2 2 yyym, 2 33 2xmynmn. 由|2|ABCN得 数学试题参考答案第 3 页 共 4 页 222 12121212 1|1 ()4myymyyy yyy, 代入并化简得 42 0mm nn. 又(, 0)Mn, 2 (2, 0)Nmn,由勾股定理得 222 |2 (2)(2)PQmmn 22 2 4nm n m , 则 2222 | |444 4(2)8MNPQmnm nm n, 当且仅当 2 2m n ,即 62 220mm时等号成立. 由于 2 0mn, 解得 4 2m . 记 6
10、2 ()22f mmm, 4 2m ,注意到 4 (2 )(2)0ff, 则存在 4 (2, 2)m符合题意. 因此, | |MNPQ的最大值是 8. 22. .本题主要考查函数的单调性本题主要考查函数的单调性，导数的运算及其应用导数的运算及其应用，同时考查数学抽象同时考查数学抽象、数学运算与逻辑推数学运算与逻辑推 理等素养。满分理等素养。满分 15 分。分。 ()当0a ,1b 时, 2 ( )ln2ef xxx, 则 2 ( )(lne )fxxx x . 设( )lneg xxx, 易知( )g x单调递增,且 1 ()0 e g,则 111 (0,)(,) eee ( )0 1 ( )
11、() e x fx f xf 单调递减极小值单调递增 所以 1 ( )()3 e f xf. ()()由于 2ln ( )2 x fxaxb x , 设 ln ( ) x h xax x , 2 1ln ( ) x hxa x ,则( )hx有两个变号零点 1212 ,()xxxx. 记( )( )hxhx,则 3 2ln3 ( ) x hx x , 所以 333 222 3 2 (0, e )e(e ,) ( )0 ( )(e ) x hx hxh 单调递减极小值单调递增 因此 3 2 1 (e, e )x , 3 2 2 (e ,)x . 此时 111222 12 (0,)(,)(,) (
12、 )00 ( )()() xxxxxxx hx h xh xh x 单调递增极大值单调递减极小值单调递增 将 12 22 12 ln1ln1xx a xx 代入 1 ()h x, 2 ()h x得 1 1 1 2ln1 () x h x x , 2 1 2 2ln1 () x h x x . 数学试题参考答案第 4 页 共 4 页 设 2ln1 ( ) x x x ,则 2 32ln ( ) x x x , 所以 333 222 3 2 (0, e )e(e ,) ( )0 ( )(e ) x x x 单调递增极大值单调递减 由 12 (2 (),2 () )bh xh x 解得 3 2 (4e, 0)b . ()由题意得( )0fs,即 2ln 20 s asb s , 将 2ln 20 s asb s 代入( )f s得 22 ( )ln2lnf sssas. 设 22 ( )ln2lnp xxxax,则 2 2 ( )(ln1)pxxax x . 设 2 ( )ln1q xxax ,则 2 12 ( ) ax qx x , 结合 12 ()()0pxpx及0a 得 12 ( )0()pxxxx. 又 12 xsx ,故 2 111 5 ( )()ln3ln1 4 p sp xxx . 解析&审核：水球高考命题研究组
