1、1 零点比大小方法的推广及相切问题的处理零点比大小方法的推广及相切问题的处理 湖南常德 陈永清 例 1.已知函数() = (e ) + (, )，若存在实数，使得() 0对任意 恒成立，则 实数的取值范围是（ ） A. 1 e ,+) B.e,+) C.1 e ,e D.e, 1 e 答案：A。 解析： （法 1，两边零点比大小） () 0 +1+ ( + )，令= ，则 = ln， 所以问题等价于 + ln ( + )对 0恒成立， 直线 = ( + )交轴于点(,0)，曲线 = + ln交轴于点(1 e ,0)， 要满足题设，则 1 （两边零点比大小） ，即 1 . 【此解法在本人主编的轻
2、松快捷巧记高中数学知识与解题方法 （2019 版）P184 例 5 中可见】 （法 2，在切点处函数值比大小） () 0 ( e)e（*） ，显然 e.【斜率为 1 的直线与曲线的不等关系】 设g() = ( e)e，令g() = ( e)e= 1，得 = ln( e)， 把 = ln( e)代入（*）中， 得 + 1 ln( e)。 【在 = ln( e)处的函数值比大小】 则只需存在 e，使得 + 1 ln( e)成立，即 1ln() 。 可求得 1 e. （法 3，补集思想） 若 ， ，使得() = (e+ ) + e+1+ 0， 【视作关于的一次函数】 则只需 e+ = 0 e+1+
3、0，即 = e 在(1,+)成立，则 0，曲线() = 32 4与g() = 22ln 有公共点，且在公共 点处的切线相同，则实数的最小值为（ ） A.0 B. 1 e2 C. 2 e2 D. 4 e2 答案：B. 分析：若()与g()在 = 0处的切线相同，那么找到切点是关键. 解析：依题意知() g()，即32 22ln 4 恒成立，且存在 0，使得等号成立。 设() = 32 22ln，则() = 6 22 ，令 ( 0) = 4，解得0= 。 所以由30 2 22ln0= 40 ，得32 22ln = 42 ， 即 = 2+ 22ln = 2+ 2ln2. 设() = + ln，则()
4、 = ln + 2 = ln ln2， 易得() (2) = 1 2，故的最小值为 1 2. 评析：在不等式32 22ln 4 （曲线与直线的不等关系）中，由于左边函数零点无法确定，右 边函数受定义域的影响可能无零点，所以不能用零点比大小的方式进行。 例 3 （2018 北京模拟）若两曲线 = 2 1与 = ln 1( 0)存在公切线，则的取值范围是_. 答案：(0,2e。 解析：依题意知2 1 ln 1，即ln 2( 0)恒成立， 由于 0，则只需 2 ln对 1恒成立， 令() = 2 ln ( 1)，则() = 2(lnln) ln2 ， 易得()= () = 2. 所以0 0)与曲线
5、= ln有公共点，且在公共点处的切线相同，则 =_. 切点切点 = 处的函数值处的函数值比大小模型比大小模型 如果函数()或 = + 无零点，则可由 ( 0) = ，解出0； 所以(0) 0+ ，然后结合要求解的问题往下研究。 0 图 3 3 答案：1 e. 解析：依题意知 ln，即 ln 恒成立，且存在 0，使得等号成立。 所以 = (ln ) ， 令() = ln ，易得()= () = 1 ，故 = 1 . 例 5 已知曲线 = +与 = 2恰好存在两条公切线，则实数的取值范围是（ ） A.2ln2 2,+) B. 2ln2,+) C. (,2ln2 2 D. (,2ln2 2) 答案：
6、D. 解析：依题意知曲线 = +与 = 2在(0,+)上有两个交点， 所以+= 2，即 = 2ln 在(0,+)上有两解。 令() = 2ln ，则() = 2 ， 易得()= 2 = 2ln2 2. 作出()的图象，可知 0，使得等号成立。 令 = 1 2，得 1 2 + ln 1 2，即 + 2 2ln2. 所以 + 2的最小值为2ln2. 说明： （1）事实上， + 2取得最小值为2ln2时，直线 = + 是曲线() = ln的切线，切点坐标 为(1 2,ln2)， = (1 2) = 2，则ln2 = 1 + ，即 = 1 ln2，此时 + 2 = 2ln2. （2）赋值法是解决这类问
7、题的最简解法。 例 7. （2018 邹城期中） 若直线 = + 是曲线() = ln + 3的切线， 也是曲线g() = ln( + 2)的切线， 则实数的值为（ ）. A.2 + ln 2 3 B.2 ln6 C.2 + ln6 D.2 ln 2 3. 答案：A. 解析：令 ( 1) = ，得1= 1 ，则由1 + = ln1+ 3，得 = 2 ln（1） 令g ( 2) = ，得2= 1 2，则由2+ = ln(2+ 2)，得 = 2 ln 1（2） 由（1） （2）可得 = 3 2， = 2 + ln 2 3. 例 8 （2018 天津高考 20 题节选）已知函数() = ，g() =
8、 log，其中 1. （3）证明当 1 时，存在直线，使是曲线 = ()的切线，也是曲线 = g()的切线。 4 证明：设直线的方程为 = + . 令 ( 1) = 1ln = ，解得1= 1 ln ln ln(ln)，由1+ = 1， 得 ln ln ln(ln) + = ln，即 = ln + ln(ln) ln ln ln ； 令g ( 2) = 1 2ln = ，解得2= 1 ln，由由2 + = log2， 得 1 ln + = log 1 ln，即 = 1 ln log(ln) = 1 ln ln(ln) ln ； 由可得 ln + ln(ln) ln ln ln = 1 ln l
9、n(ln) ln ，令 = ln(ln) 1， 整理得( 1)ln ( + 1)( + 1) = 0（*） 。 当 = 1时，方程ln ln = 0有解 = 1； 则只需证明() = ln (+1)(+1) 1 ( 1, 1)有零点。 因为() = 1 + 2(+1) (1)2 0，所以()在(0,1)，(1,+)都是增函数。 当0 1且 0时，() 0；当0 0； 所以()在(0,1)有零点；同理可证()在有零点(1,+)。 因此当 1 时，存在直线，使是曲线 = ()的切线，也是曲线 = g()的切线。 例 9.已知 0，函数() = ，g() = ln + ，为自然对数的底数，若存在一条直线与曲线 = ()和 = g()均相切，则 的取值范围是（ ） A.(,e B.(0,e C.(,1 D.(0,1 答案：A. 解析：命题等价于曲线() = 与() = ln + 存在公切线，则() ()应恒成立（一个凹一个凸） ， 令 = 1，可得 ； 当 = 时，两曲线有公切线 = ；当 时，两曲线相交（因为(1) (1)） ，无公切线. 故 . 轻松快捷巧记高中数学知识与解题方法 （2019 修订版） ，已挂在淘宝网简爱图书专营店网页上了， 定价 58 元，65 折(37.80 元包邮)优惠销售。网页上有目录。
