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1、抛物线的方程及几何性质【原题】已知O为坐标原点,抛物线C： 2 2ypx(0p )的焦点为F,P为C上一点,PF与x轴垂直,Q为 x轴上一点,且PQOP ,若6FQ ,则C的准线方程为_. 【答案】 3 2 x 【解析】解法一：抛物线C： 2 2ypx(0p )的焦点,0 2 p F ,P 为C上一点,PF与x轴垂直,不妨设, 2 p Pp , 所以2 OP k,因为PQOP,所以 1 2 PQ k ,因为Q为x轴上一点,设 0,0 Q x,则 0 01 2 2 p p x , 0 5 2 p x , 所以 5 6 2 p FQp,3p ,所以C的准线方程为 3 2 x 解法二：抛物线C

2、： 2 2ypx(0p )的焦点,0 2 p F ,P 为C上一点,PF与x轴垂直, 所以 P 的横坐标为 2 p ,代入抛物线方程求得 P 的纵坐标为 p ,不妨设(, ) 2 p Pp, 因为 Q 为x轴上一点,且PQOP,所以 Q 在 F 的右侧,又| 6FQ ,(6,0),(6,) 2 p QPQp uuu r ,因为 PQOP,所以PQ OP 2 60 2 p p ,0,3ppQ,所以C的准线方程为 3 2 x . 解法三：抛物线C： 2 2ypx(0p )的焦点,0 2 p F ,P 为C上一点,PF与x轴垂直,不妨设, 2 p Pp , 因为PQOP,PFOQ,由射影定理可得

3、2 PFOF FQ,即 2 6 2 p p ,解得3p ,所以C的准线方程为 3 2 x . 【就题论题】抛物线的定义、方程及几何性质一直是高考热点,上面提供的解法一把垂直问题转化为斜率之积为1,是最常规的解法,解法二把垂直问题转化为数量积为零,这种转化思路在解析几何中常用,它可以避免讨论斜率是否存在,解法三直接利用平面几何中的射影定理求解,使运算量减小,提高了解题速度. 【命题意图】本题考查抛物线的方程及几何性质,考查数学运算及逻辑推理的核心素养.难度：中等偏易【考情分析】圆锥曲线是高考中的重点与难点,一般情况下有 2-3 道客观题、1 道解答题,其中椭圆、双曲线及抛物线基本每年都

4、有涉及,客观题中的抛物线一般考查抛物线的几何性质及运算能力,有时会与向量及不等式等知识交汇. 【得分秘籍】 (1)抛物线定义的两种应用：实现距离转化,根据抛物线的定义,抛物线上任意一点到焦点的距离等于它到准线的距离,因此,由抛物线的定义可以实现点与点之间的距离与点到准线的距离的相互转化,从而简化某些问题；解决最值问题,在抛物线中求解与焦点有关的两点间距离和的最小值时,往往用抛物线的定义进行转化,即化折线为直线解决最值问题. (2) 解决直线与抛物线的弦及弦长问题的常用方法：有关直线与抛物线的弦长问题,要注意直线是否过抛物线的焦点,若过抛物线的焦点,可直接使用抛物线的焦点弦公式,若

5、不过焦点,则用圆锥曲线的一般弦长公式求解；涉及到抛物线的弦长、中点、距离等相关问题时,一般利用根与系数的关系采用“设而不求”、“整体代换” 等解法. (3) 设 AB 是过抛物线 y22px(p0)焦点 F 的弦,若 A(x1,y1),B(x2,y2),则 x1x2p 2 4 ,y1y2p2. 弦长|AB|x1x2p 2p sin2(为弦 AB 的倾斜角) 以弦 AB 为直径的圆与准线相切通径：过焦点垂直于对称轴的弦,长等于 2p,通径是过焦点最短的弦 (4)在解决与抛物线的性质有关的问题时,要注意利用几何图形的形象、直观的特点来解题,特别是涉及焦点、顶点、准线的问题更是如此（以下所选

6、试题均来自新高考卷地区 2020 年 1-6 月模拟试卷）一、单选题一、单选题 1 （2021 福建省龙岩市高三三模）已知抛物线 2 4xy的焦点为F,准线为l,过抛物线上一点P作PQl, 垂足为Q,若4PF ,则FQP（） A30B45 C60D75 【答案】C 【解析】设 00 ,P xy,则 0 1PQy,由抛物线的定义可得PQPF ,即 0 14y ,则 0 3y ,又 2 00 4xy, 则 2 0 12x,不妨令P位于第一象限,则 0 2 3x ,即2 3,3P,因此2 3, 1Q,所以1244QF , 所以PQ PFQF ,因此FQP为等边三角形,所以 60FQP o .故选

7、C. 2 （2021 广东省茂名市高三二模）设O为坐标原点,F为抛物线C： 2 8xy的焦点,P为C上一点,若 6PF,则POF的面积为（） A2B4 2C4 3D4 【答案】B 【解析】抛物线C： 2 8xy, (2,0)F ,准线2y .由6PF,即 P 到准线的距离为 6.设 00) (P xy，, 0 26PFy,解得, 0 4y ,代入抛物线方程 2 8xy,得 0 4 2x . 0 11 2 4 24 2 22 POF SOF x .故选 B. 3 （2021 河北省邯郸市高三一模）已知抛物线 2 :8Cyx的焦点为 F,P 为 C 在第一象限上一点,若PF的中点到 y 轴的距离

8、为 3,则直线PF的斜率为（） A 2 B2 2C2 D4 【答案】B 【解析】PF的中点到 y 轴的距离为 3,3 2 P xOF ,即 2 3 2 P x ,解得4 P x , 代入抛物线方程可得(4,4 2)P,因为 F 点的坐标为(2,0),所以直线PF的斜率为 4 20 2 2 42 故选 B. 4 （2021 湖北省武汉市高三下学期 3 月质量检测）过抛物线E： 2 20ypx p焦点F的直线交抛物线于A,B两点,过A,B分别向E的准线作垂线,垂足分别为C,D,若ACF与BDF的面积之比为 4,则直线 AB的斜率为（） AB 3 C2D 2 2 【答案】D 【解析】由抛物线的定

9、义可得,ACAF BDBF,因为 sinsinCAFDBF, 2211 sin,sin 22 ACFBDF SAFCAF SBFDBF ,4 ACFBDF SS 所以2AFBF,设 1122 ,A x yB xy,直线: 2 p AB xmy 由2AFBF可得 12 2yy ,联立 2 2 2 p xmy ypx 可得 22 20ypmyp,所以 2 1212 ,2yypm y yp ,结合 12 2yy 可得 22 22 2, 2ypmyp ,可解得 2 1 8 m ,所以直线AB的斜率为 2 1 2 2 m ,故选 D 5 （2021 湖南省永州市高三下学期三模）已知 F 是抛物线 2

10、4yx的焦点,若 A,B 是该抛物线上的两点,且 6AFBF,则线段 AB 的中点到直线 1 2 x 的距离为（） A2B 5 2 C3D 7 2 【答案】B 【解析】F是抛物线 2 4yx的焦点,(1,0)F,准线方程1x , 设 1 (A x, 1) y, 2 (B x, 2) y 12 |116AFBFxx ,即 12 4xx, 线段AB的中点横坐标为 12 1 ()2 2 xx, 线段AB的中点到直线 1 2 x 的距离为 15 2 22 故选B 6 （2021 山东省聊城市高三下学期 4 月高考模拟）已知ABC三个顶点都在抛物线 2 8xy上,且F为抛物线的焦点,若 1 3 AFA

11、BAC ,则AFBFCF （） A6B8C10D12 【答案】D 【解析】由 2 8xy得焦点0,2F,准线方程为2y ,设 11 ,A x y, 22 ,B xy, 33 ,C xy,由 1 3 AFABAC 得, 1121213131 11 ,2, 33 xyxx yyxx yy 则 12131 1 2 3 yyyyy,化简得 123 6yyy 所以 123 2 36612AyFBFCyyF ,故选 D 7 （2021 广东省揭阳市普高三适应性考试）已知点4(2 )A ，在抛物线 2 2ypx(0p )上,直线l交抛物线于点B、C,且直线AB与AC都是圆N： 22 430 xyx的切线,

12、则直线l的方程为（） A10 xy B210 xy C210 xy D1515220 xy 【答案】D 【解析】由点4(2 )A ，在抛物线 2 2ypx(0p )上,得4p ,抛物线方程为： 2 8yx,圆N： 22 430 xyx可化为 22 (2)1xy,则可知圆N的圆心为点(2 )0，,半径1r ,设过点4(2 )A ，且与圆N相切的直线的方程为4(2)yk x,即420kxyk, 则 2 |242 | 1 1 kk k , 2 15k , 15k ,设直线AB的方程为415( 2)yx, 联立 2 8 415(2) yx yx 得 2 15832 16 150yy, 设 11 ()

13、B xy，,则 1 8 4 15 y , 1 8 4 15 y , 同理,设 22 ()C xy，,则 2 8 4 15 y ,因此 12 8yy , 2 1 11111 118822 (8)(4)(4) 888151515 y xyyy y , 则直线l的斜率 2121 122 212112 8 1 88 yyyy k yyxxyy ,直线l的方程为 11 ()yyxx ,即 11 22 15 yxxyx ,故直线l的方程为1515220 xy, 故选 D 8 （2021 河北省石家庄市高三考前热身）已知抛物线 2 :2(0)C ypx p的焦点为 F,点 00 (,2) () 2 p M

14、xx 是抛物线 C 上一点,以点 M 为圆心的圆与直线 2 p x 交于 E,G 两点,若 1 sin 3 MFG,则抛物线 C 的方程是（） A 2 yxB 2 2yxC 2 4yx D 2 8yx 【答案】B 【解析】如图示：作 MDEG,垂足为 D, 00 ,2 , 2 p M xx 在抛物线上,则 0 22px 由抛物线定义知： 0 2 p DMx 1 sin 3 MFG, 1 3 DM FM ,即 0 0 1 2 3 2 p x p x 解得： 0 xp 联立解得： 0 1px故抛物线的方程为： 2 2yx,故选 B 9 （2021 湖南省名校联考联合体高三下学期高考仿真演练）抛物

16、到 1| |() |.1 2| MN ABabMN AB ,即 | | MN AB 的最大值为 1,故选 C. 10 （2021 江苏省泰州中学高三下学期四模）已知抛物线C： 2 20 xpy p的焦点为F, 0 1 , 2 Mx 为该抛物线上一点,若以M为圆心的圆与C的准线相切于点A,120AMF,过F且与y轴垂直的直线l与 C交于G,H两点, 0 P为C的准线上的一点,则 0 GHP的面积为（） A1B2C4D9 【答案】D 【解析】如图,由抛物线的定义得： 1 2 p MAMF ,/MAy轴, 因为 0 1 , 2 Mx 为该抛物线上一点,所以 0 xp,所以ABp, 因为120AMF

17、,所以30 ,60MFAMAFMFB , 因为在Rt ABF中,30AFB ,BFp, 所以由三角函数关系得：tan AB AFB BF ,即：tan30 p p ,解得3p , 此时26GHp,所以 0 GHP的面积为 11 6 39 22 BGH SSGH BF . 故选：D. 二、多选题二、多选题 11 （2021 衡水金卷高三数学模拟）已知抛物线 2 (0)Cmxym：的焦点为 F(4,0),直线l经过点 F 交 C 于 A,B 两点,交 y 轴于点 P,若 2PBBF ,则（） A8m B点 B 的坐标为 84 6 , 33 C 50 | 3 AB D弦 AB 的中点到y轴的距离为

18、13 3 【答案】CD 【解析】由 F(4,0),得 m=16,A 错误；过 B 作 BD 垂直于 y 轴,垂足为 D,则/ /BDOF,因为PB 2BF ,所以 |2 |3 PB PF ,所以 |2 |3 BDPB OFPF ,所以 28 | 33 BDOF,所以 8 3 B x ,代入 2 y 16x，得 8 6 3 B y , 即点 B 的坐标为 8 , 3 8 6 3 ,B 错误；不妨取点 88 6 , 33 B ,此时直线:2 6(4)l yx与 2 16yx联立,得 2 326xx +48=0,故 26 3 AB xx,由抛物线的定义可知, 50 |8 3 AB ABxx,C 正

19、确；弦 AB 的中点到 y 轴的距离为 13 23 AB xx d ,D 正确,当点 8 8 6 , 33 B 时,同理可知 CD 正确,故选 CD. 12 （2021 湖北省郧阳中学,恩施高中,随州二中,襄阳三中,十堰一中高三 4 月联考）已知抛物线 2 2(0)ypx p的焦点为F,过点F的直线l交抛物线于,A B两点,以线段AB为直径的圆交y轴于,M N 两点,设线段AB的中点为P,则下列说法正确的是（） A若抛物线上的点(2, )Et到点F的距离为4,则抛物线的方程为 2 4yx B以 AB 为直径的圆与准线相切 C线段 AB 长度的最小值是2p Dsin PMN的取值范围为 1 ,

20、1) 2 【答案】BCD 【解析】由题意,抛物线 2 2(0)ypx p的焦点为(,0) 2 p F,准线方程为 2 p x , 对于 A 中,由抛物线上的点(2, )Et到点F的距离为4,抛物线的定义,可得24 2 p , 解得4p ,所以抛物线的方程为 2 8yx,所以 A 不正确；对于 B 中,分别过点A,B作准线的垂线,垂足分别为 11 ,A B,如图所示, 则线段AB的中点为P到准线的距离为 11 2 AABB PQ 根据抛物线的定义,可得 11 ,AFAABFBB,所以 11 ABAFBFAABB, 所以 1 2 PQAB,即圆心P到准线的距离等于圆的半径, 即以 AB 为直径的

21、圆与准线相切,所以 B 正确；设 1122 ( ,), (,)A x yB xy,由抛物线的定义,可得 12 ABAFBFxxp, 当直线l的斜率不存在时,可设直线l的方程为 2 p x , 联立方程组 2 2 2 p x ypx ,解得 12 , yp yp,此时2ABp 当直线l的斜率存在时,设直线l的方程为() 2 p yk x, 联立方程组 2 () 2 2 p yk x ypx ,整理得 22 222 (2 )0 4 k p k xk pp x, 可得 2 12 2 2k pp xx k ,所以 2 12 22 22 22 k ppp ABxxpppp kk , 综上可得,线段 A

22、B 长度的最小值是2p,所以 C 正确；设直线l的方程为 2 p xmy,联立方程组 2 2 2 p xmy ypx ,整理得 22 20ypmyp, 可得 2 1212 ,2yypm y yp , 则 2 1212 ()2xxm yyppmp,则 2 12 22ABxxppmp 则点P到y的距离为 2 12 22 xxp dPCpm , 所以 2 22 111 2 sin11 1 2(1)22 2 p pm PCd PMN MPpmpm AB , 所以 1 sin 1) 2 PMN,所以 D 正确. 故选 BCD. 13 （2021 湖南省益阳市高三 4 月高考模拟）已知抛物线 C：y2=

23、4x 的焦点为 F,过 F 的直线 l 交抛物线于 A(x1,y1),B(x2,y2)两点,且 A,B 在其准线上的射影分别为 A1,B1,则下列结论正确的是() A若直线 lx 轴,则|AB|=2B 12 1 2 xx Cy1y2=-4DA1FB1= 2 【答案】CD 【解析】抛物线 C 的焦点 F(1,0),准线方程 x=-1, 显然 l 不垂直于 y 轴,设 l 的方程为 x=my+1, 由 2 1 4 xmy yx 得：y2-4my-4=0,y1,y2是此方程的二根, 选项 A,直线 lx 轴,m=0,y1=2,y2=-2,则|AB|=4,即选项 A 错误；选项 B,y1y2=-4,

24、则 222 1 1 212 2 () 1 4416 yyy y xx ,即选项 B 错误；选项 C,y1y2=-4,即选项 C 正确；选项 D,如图中,由抛物线的定义知,|AF|=|A1A|,AA1F=AFA1, 又 AA1/x 轴,AA1F=A1FO,AFA1=A1FO= 1 2 AFO, 同理可得,BFB1=B1FO= 1 2 BFO, A1FB1=A1FO+B1FO= 1 2 (AFO+BFO)= 2 ,即选项 D 正确.故选 CD 14 （2021 江苏省苏州市八校联盟高三下学期第三次适应性检测）在平面直角坐标系 xoy 中,凸四边形 ABCD 的 4 个顶点均在抛物线 E：y2=

25、2x 上,则（） A四边形 ABCD 不可能为平行四边形 B存在四边形 ABCD,满足A=C C若 AB 过抛物线 E 的焦点 F,则直线 OA,OB 斜率之积恒为2 D若OAC为正三角形,则该三角形的面积为12 3 【答案】ABD 【解析】A,构成平行四边形的条件是对边平行且相等,而水平直线与 y2=2x 至多只有一个交点, 因此,四边形 ABCD 不可能为平行四边形,故 A 正确； B,如图所示,连接,B D, 则当 ABAD a DCDB ,01a, 则DABBCD,则A=C,故 B 正确； C,设 2 1 1 , 2 y Ay , 2 2 2 , 2 y By , 12 22 1212

26、 4 22 OAOB yy kk yyy y , 121 222 121 0 1 2222 ABAF yyy kk yyy 1 2 121 22 1 y yyy ,解得 12 1y y ,所以4 OAOB kk ,故 C 错误； D,设若OAC为正三角形,如图：由抛物线的对称性可知 30AOx , 3 3 OA k , 则直线OA： 3 3 yx , 则 2 3 3 2 yx yx ,解得6 A x ,2 3 A y , 22 484 3 AA OAxy, 1 sin6012 3 2 OAC SOA OC ,故 D 正确.故选 ABD 三、填空题 15 （2021 江苏省扬州市高三 5 月第

27、四次模拟）已知点P在抛物线 2 4yx上,点Q在圆 2 2 51xy上, 则PQ长度的最小值为_. 【答案】3 【解析】因为抛物线和圆都关于横轴对称,所以不妨设( ,2)(0)P mm m , 设圆 2 2 51xy的圆心坐标为：(5,0)A,半径为 1, 因此 222 (5)(2)(3)16PAmmm ,当3m时, min 164PA, 所以PQ长度的最小值为4 13 16 （2021 湖北省高三下学期 4 月调研）以抛物线 2 2(0)ypx p焦点F为端点的一条射线交抛物线于点 A,交y轴于点B,若| 2AF ,| 3BF ,则 p _. 【答案】3 【解析】依题意可得(,0) 2 p

29、于AGl,过点B作BEl于E, 由抛物线的性质可知AGAF,BEBF. 又M是AB中点,所以MN是梯形AGEB的中位线, 则 1 2 MNAGBE 1 2 AFBF.在ABF中, 22 ABAFBF 22 AFBF , 则 2 2 222 1 4 AFBF MN ABAFBF 12 1 4AFBF BFAF 12 1 42 1 2 , 当且仅当AFBF时,不等号取等号.所以 MN AB 的最大值是 2 2 18 （2021 华大新高考联盟高三 3 月教学质量测评）已知点M在抛物线C： 2 4yx上运动,圆 C 过点 5,0,2, 3,3, 2,过点M引直线 1 l, 2 l与圆 C 相切,切点

30、分别为P,Q,则PQ的取值范围为 _. 【答案】2 2,4 【解析】设圆C的方程为 22 0 xyDxEyF,将5,0, 2, 3,3, 2分别代入,可得 2550 7230 13320 DF DEF DEF ,解得 6 0 5 D E F ,即圆C： 2 2 34xy；如图,连接MC,C P,C Q,PQ,易得C PMP,C QMQ,MCPQ , 所以四边形MPC Q的面积为 1 2 MCPQ ；另外四边形MPC Q的面积为MPC面积的两倍,所以 1 2 MCPQMPC P , 故 2 MP C P Q C P M 2 2 44 4 4 1 C M C M C M , 故当C M最小时,PQ最小, 设,M x y,则 2 2 3MCxy 2 29xx ,所以当1x 时, min 2 2MC,当x正无穷大时,PQ趋近圆的直径 4,故PQ的取值范围为2 2,4 .

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