1、1 2 与 积 分 变 换 复 变 函 数 谢 松 法 华中科技大学数学与统计学院 http:/ 3 一、教学及考核方式一、教学及考核方式 主要参考书主要参考书（略）（略） 考试方式：考试方式： 闭卷闭卷 考试成绩：考试成绩： 作业占作业占 20%，考试占，考试占 80% 作业：作业： 每周交作业一次每周交作业一次 答疑：答疑： 每周一次每周一次 课堂教学：课堂教学： 40 学时学时 ( (练习册练习册) ) ( (科技楼南楼科技楼南楼813室室) ) 4 二、二、教学内容教学内容 本课程由本课程由复变函数复变函数与与积分变换积分变换两个部分组成。两个部分组成。 复变函数与积分变换课程是工科各
2、专业必修的重要基础复变函数与积分变换课程是工科各专业必修的重要基础 理论课，是工程数学的主要课程之一。理论课，是工程数学的主要课程之一。复变函数与积分变换复变函数与积分变换 在科学研究、工程技术等各行各业中有着广泛的应用。在科学研究、工程技术等各行各业中有着广泛的应用。 复变函数复变函数的内容包括：的内容包括：复数与复变函数、解析函数、复复数与复变函数、解析函数、复 变函数的积分、解析函数的级数表示、留数及其应用、共形变函数的积分、解析函数的级数表示、留数及其应用、共形 映射映射以及以及解析函数在平面场的应用解析函数在平面场的应用。 其中，带其中，带 “* *” 号的内容本课堂不需要掌握。号的
3、内容本课堂不需要掌握。 积分变换积分变换的内容包括：的内容包括：傅里叶变换和拉普拉斯变换傅里叶变换和拉普拉斯变换。 5 第一章 复数与复变函数 第一章第一章 复数与复变函数复数与复变函数 复数领域的推广和发展复数领域的推广和发展 。 复变函数理论中的许多概念、理论和方法是实变函数在复变函数理论中的许多概念、理论和方法是实变函数在 复数复数的产生最早可以追溯到十六世纪中期。但直到十八的产生最早可以追溯到十六世纪中期。但直到十八 世纪末期，经过了世纪末期，经过了卡尔丹卡尔丹、笛卡尔笛卡尔、欧拉欧拉以及以及高斯高斯等许多人等许多人 的长期努力，复数的地位才被确立下来。的长期努力，复数的地位才被确立下
4、来。 复变函数理论复变函数理论产生于十八世纪，在十九世纪得到了全面产生于十八世纪，在十九世纪得到了全面 为这门学科的发展作了大量奠基工作的为这门学科的发展作了大量奠基工作的 发展。发展。为复变函数理论的创建做了早期工作的是为复变函数理论的创建做了早期工作的是欧拉欧拉、达朗达朗 贝尔贝尔、拉普拉斯拉普拉斯等。等。 则是则是柯西柯西、黎曼黎曼和和维尔斯特拉斯维尔斯特拉斯等。等。 ( (虚数史话虚数史话) ) 6 第一章 复数与复变函数 第一章第一章 复数与复变函数复数与复变函数 1.2 复数的几种表示复数的几种表示 1.1 复数复数 1.3 平面点集的一般概念平面点集的一般概念 1.5 复变函数复
5、变函数 1.4 无穷大与复球面无穷大与复球面 7 第一章 复数与复变函数 1.1 复数 1.1 复数复数 一、复数及其运算一、复数及其运算 二、共轭复数二、共轭复数 8 第一章 复数与复变函数 1.1 复数 一、复数及其运算一、复数及其运算 1. 复数的基本概念复数的基本概念 定义定义 (1) 设设 x 和和 y 是任意两个实数，是任意两个实数， yixz ( (或者或者 ) )i yxz 的数称为的数称为复数复数。 (2) x 和和 y 分别称为复数分别称为复数 z 的的实部实部与与虚部虚部，并分别表示为：，并分别表示为： ,Rezx .Im zy 当当 y 0 时，时， 因此，实数可以看作
6、是复数的特殊情形。因此，实数可以看作是复数的特殊情形。 (3) 当当 x 0 时，时， yiyiz 0称为称为纯虚数纯虚数； xixz 0就是就是实数实数。 将形如将形如 .1 i其中其中 i 称为称为虚数单位虚数单位，即，即 P1 9 第一章 复数与复变函数 1.1 复数 设设 与与 是两个复数，是两个复数， 111 yixz 222 yixz 如果如果, 21 xx , 21 yy 则称则称 与与 相等相等。 1 z 2 z 它们之间只有相等与不相等的关系。它们之间只有相等与不相等的关系。 一、复数及其运算一、复数及其运算 1. 复数的基本概念复数的基本概念 相等相等 0 yixz当且仅当
7、当且仅当.0 yx特别地，特别地， 复数与实数不同，两个复数复数与实数不同，两个复数( (虚部不为零虚部不为零) )不能比较大小，不能比较大小，注注 10 第一章 复数与复变函数 1.1 复数 一、复数及其运算一、复数及其运算 2. 复数的四则运算复数的四则运算 设设 与与 是两个复数，是两个复数， 111 yixz 222 yixz (1) 复数的加减法复数的加减法 ; )( 212121 yyixxzz 加法加法 . )( 212121 yyixxzz 减法减法 (2) 复数的乘除法复数的乘除法 ; )()( 1221212121 yxyxiyyxxzz 乘法乘法 , 21 zzz . 2
8、 1 z z z 如果存在复数如果存在复数 z，使得，使得则则 除法除法 P2 11 第一章 复数与复变函数 1.1 复数 一、复数及其运算一、复数及其运算 2. 复数的四则运算复数的四则运算 (3) 运算法则运算法则 交换律交换律; 1221 zzzz . 1221 zzzz 结合律结合律; )()( 321321 zzzzzz . )()( 321321 zzzzzz 分配律分配律.)( 3121321 zzzzzzz 12 第一章 复数与复变函数 1.1 复数 二、共轭复数二、共轭复数 1. 共轭复数的定义共轭复数的定义 设设 是一个复数，是一个复数，定义定义yixz 称称 为为 z 的
9、的共轭复数共轭复数，yixz 记作记作 。z 共轭复数有许多用途。共轭复数有许多用途。注注 比如比如 2 1 z z z )( )( )( )( 2222 2211 yixyix yixyix 22 21 zz zz P2 13 第一章 复数与复变函数 1.1 复数 二、共轭复数二、共轭复数 2. 共轭复数的性质共轭复数的性质 其中，其中，“ ”可以是可以是 ;, , 2121 zzzz (2) ;ImRe 2222 yxzzzz (3) ;zz (1)性质性质 P3 14 第一章 复数与复变函数 1.1 复数 解解 (1) i i z z 43 55 2 1 )43( )43( )43( )
10、55( ii ii 25 535i . 5 1 5 7 i . 5 1 5 7 i 2 1 z z 2 1 z z (2) 15 第一章 复数与复变函数 1.1 复数 证明证明 2121 zzzz 2121 zzzz 2121 zzzz . )(Re2 21z z P4 例例1.1 16 第一章 复数与复变函数 1.1 复数 轻松一下吧 17 第一章 复数与复变函数 卡尔丹称它们为卡尔丹称它们为“虚构的量虚构的量”或或“诡辩的量诡辩的量”。他还把它。他还把它 们与们与 负数统称为负数统称为“虚伪数虚伪数”；把正数称为；把正数称为“证实数证实数”。 附：附：历史知识历史知识 虚数史话虚数史话 两
11、数的和是两数的和是 10 , 积是积是 40 , 求这两数求这两数 卡尔丹发现只要把卡尔丹发现只要把 10 分成分成 和和 即可。即可。155 155 1545 年，卡尔丹第一个认真地讨论了虚数，他在年，卡尔丹第一个认真地讨论了虚数，他在大术大术 中求解这样的问题：中求解这样的问题： 卡尔丹的这种处理，遭到了当时的代数学权威韦达和他的卡尔丹的这种处理，遭到了当时的代数学权威韦达和他的 学生哈里奥特的责难。学生哈里奥特的责难。 18 第一章 复数与复变函数 附：附：历史知识历史知识 虚数史话虚数史话 整个十七世纪，很少有人理睬这种整个十七世纪，很少有人理睬这种 “虚构的量虚构的量” 。 仅有极少
12、数的数学家对其存在性问题争论不休。仅有极少数的数学家对其存在性问题争论不休。 意义下的意义下的“复数复数”的名称。的名称。 1632 年，笛卡尔在年，笛卡尔在几何学几何学中首先把这种中首先把这种“虚构的量虚构的量” 改称为改称为“虚数虚数”，与，与“实数实数”相对应。同时，还给出了如相对应。同时，还给出了如 今今 19 第一章 复数与复变函数 附：附：历史知识历史知识 虚数史话虚数史话 到了十八世纪，虚数才开始被关注起来。到了十八世纪，虚数才开始被关注起来。 ,sin1cos)sin1(cosnn n 1722 年，法国数学家德摩佛给出德摩佛定理：年，法国数学家德摩佛给出德摩佛定理： 其中其中
13、 n 是大于零的整数。是大于零的整数。 ,sin1cos 1 exx x 1748 年，欧拉给出了著名的公式：年，欧拉给出了著名的公式： 并证明了德摩佛定理对并证明了德摩佛定理对 n 是实数时也成立。是实数时也成立。 .1 1777 年，欧拉在递交给彼德堡科学院的论文年，欧拉在递交给彼德堡科学院的论文微分公式微分公式 中首次使用中首次使用 i 来表示来表示 20 第一章 复数与复变函数 附：附：历史知识历史知识 虚数史话虚数史话 十八世纪末，高斯的出现使得复数的地位被确立下来。十八世纪末，高斯的出现使得复数的地位被确立下来。 1797 年，当时年仅年，当时年仅 20 岁的高斯在他的博士论文中证
14、明了岁的高斯在他的博士论文中证明了 代数基本定理。代数基本定理。 高斯在证明中巧妙地给出了复数的几何表示，使得人们高斯在证明中巧妙地给出了复数的几何表示，使得人们 直观地理解了复数的真实意义。直观地理解了复数的真实意义。 十九世纪中叶以后，复变函数论开始形成，并逐渐发展十九世纪中叶以后，复变函数论开始形成，并逐渐发展 成为一个庞大的数学分支。成为一个庞大的数学分支。 而且而且 n 次多项式恰好有次多项式恰好有 n 个根。个根。 任何多项式在复数域里必有根，任何多项式在复数域里必有根，即即 21 第一章 复数与复变函数 附：附：人物介绍人物介绍 高斯高斯 许多数学学科的开创者和奠基人。许多数学学
15、科的开创者和奠基人。 几乎对数学的所有领域都做出了重大贡献。几乎对数学的所有领域都做出了重大贡献。 享有数学王子的美誉。享有数学王子的美誉。 德国数学家、 (17771855) 高 斯 Johann Carl Friedrich Gauss 物理学家、 天文学家 22 第一章 复数与复变函数 高斯去世后，哥廷根大学对高斯的文稿进行了整理，高斯去世后，哥廷根大学对高斯的文稿进行了整理， 历时历时67年，出版了年，出版了高斯全集高斯全集，共，共12卷。卷。 附：附：人物介绍人物介绍 高斯高斯 在哥廷根大学的广场上，矗立着一座用白色大理石砌在哥廷根大学的广场上，矗立着一座用白色大理石砌 成的纪念碑，
16、它的底座砌成成的纪念碑，它的底座砌成 正十七边形正十七边形，纪念碑上是，纪念碑上是 高斯的青铜雕像。高斯的青铜雕像。 18岁岁 ( (返回返回) ) 23 第一章 复数与复变函数 1.2 复数的几种表示 一、复数的几何表示 二、复数的三角表示和指数表示 三、复数的乘幂与方根 四、几个关系 24 第一章 复数与复变函数 一、复数的几何表示 1. 复平面 此时，x 轴称为实轴，y 轴称为虚轴。 在平面上建立一个直角坐标系，定义用坐标为 的点来),(yx ,yixz 表示复数从而将全体复数和平面上的全部点 一一对应起来， 的平面称为复平面或者这样表示复数 z z 平面。 P4 25 第一章 复数与复
17、变函数 引进复平面后，复数 z 与点 z 以及向量 z 视为同一个概念。 yixz 在复平面上，从原点到点 所引的向量与该复数 z 也构成一一 一、复数的几何表示 1. 复平面 y 实轴 虚轴 i yxz x O 对应关系(复数零对应零向量)。 比如，复数的加减法等同于向量的平行四边形法则。 26 第一章 复数与复变函数 将复数和向量对应之后，除了利用 实部与虚部来给定一个复数以外， 一、复数的几何表示 2. 复数的模与辐角 y i yxz x O x y r 定义 设 z 的是一个不为 0 的复数， . |z(1) 向量 z 的长度 r 称为复数 z 的模，记为 还可以借助向量的长度与方向来
18、给 定一个复数。 (2) 向量 z 的“方向角” 称为复数 z 的辐角，记为.Argz (?) P5 27 第一章 复数与复变函数 一、复数的几何表示 2. 复数的模与辐角 z x y 两点说明 (1) 辐角是多值的， (2) 辐角的符号约定为： 逆时针取正号，顺时针取负号。 相互之间可相差,2 k 其中 k 为整数。 例如 对于复数,1iz 则有,2| z ,2 4 3 Argk z .,2,1,0 k 复数 0 的模为 0，辐角无意义。注 28 第一章 复数与复变函数 由此就有如下关系： 一、复数的几何表示 2. 复数的模与辐角 主辐角 对于给定的复数 设有 满足： ,0 z zArg 且
19、, 则称 为复数 z 的主辐角，记作 .argz ,2argArgkzz .,2,1,0 k 29 第一章 复数与复变函数 )( 3 1 arctanarg z i i i i z )1(2 1 2 解.3i ,10)1()3(| 22 z 3 1 arctan . x y 3 1 30 第一章 复数与复变函数 (1) 已知实部与虚部，求模与辐角。 一、复数的几何表示 3. 相互转换关系 y i yxz x O x y |z zarg ; 22 yx| z | P7 31 第一章 复数与复变函数 (1) 已知实部与虚部，求模与辐角。 一、复数的几何表示 3. 相互转换关系 (2) 已知模与辐角
20、，求实部与虚部。 )cos(arg|zzx )sin(arg|zzy ; )Argcos(|zz . )Argsin(|zz 由此引出复数的三角表示式。 y i yxz x O x y |z zarg 32 第一章 复数与复变函数 二、复数的三角表示和指数表示 1. 复数的三角表示 称 为复数 z 的三角表示式。)sin(cos irz y i yxz x O x y r 如图， 有 sincosrirz . )sin(cos ir 定义 设复数 r 是 z 的模， 是 z 的任意一个辐角， ,0 z ,cos rx ,sin ry 由 P9 33 第一章 复数与复变函数 二、复数的三角表示和
21、指数表示 2. 复数的指数表示 )sin(cos irz .e i r 利用欧拉公式 得 sincosei i 称 为复数 z 的指数表示式。 i rze 定义 设复数 r 是 z 的模， 是 z 的任意一个辐角， ,0 z 但习惯上一般取为主辐角。 在复数的三角表示式与指数表示式中，辐角不是唯一的，注 补 (欧拉公式) 34 第一章 复数与复变函数 ,4412| z解 )( 12 2 arctanarg z x y 2 12 3 1 arctan 6 . 6 5 . ) 6 5 sin 6 5 cos(4 i z 复数 的三角表示式为z .4 6 5 e i z 复数 的指数表示式为z 35
22、 第一章 复数与复变函数 二、复数的三角表示和指数表示 3. 利用指数表示进行复数的乘除法运算 . )( 21 21 e i rr , 1 e 11 i rz , 2 e 22 i rz 设 乘法 21 ee 2121 ii rrzz 21z z 2 1 z 2 z x y 1 , | 2121 zzzz 即 .ArgArg)(Arg 2121 zzzz (在集合意义下?) 两个复数乘积的 幅角等于它们幅角的和。 模等于它们的模的乘积； P10 补 、 (集合意义) 36 第一章 复数与复变函数 二、复数的三角表示和指数表示 3. 利用指数表示进行复数的乘除法运算 , 1 e 11 i rz
23、, 2 e 22 i rz . )( 2 1 21 e i r r 设 除法 2 1 e e 2 1 2 1 i i r r z z 1 z 2 z 2 21z z 1 z 2 z x y 1 .ArgArgArg 21 2 1 )(zz z z (在集合意义下) 两个复数的商的 幅角等于它们幅角的差。 模等于它们的模的商； , | | 2 1 2 1 z z z z 即 37 第一章 复数与复变函数 i ) 42 ( e 2 1 i 4 3 e 2 1 . 2 1 2 1 i . 1i i 例 计算 , 2 e i i i 1 i 4 e2 解 由有 i i 4 2 e e 2 i i 1
24、附 一些“简单”复数的指数形式 ,1e i ,1 2 e i ,1 2 e ik , 2 ei i , 2 ei i . 1 i i 1 i 1 i 1i 1 i 1 38 第一章 复数与复变函数 i ) 6 5 3 ( e4 i 2 e4 .4i i ) 6 5 3 ( e i 6 7 e 6 7 sin 6 7 cos i . 2 1 2 3 i i31 ,2 3 e i i 3 i 6 5 e2 解 由有 i i 6 5 3 ee22 )3( )31(ii i i 6 5 3 e e 2 2 i i 3 31 P11 例1.5 修改 39 第一章 复数与复变函数 复数 z 的乘幂， 设
25、z 是给定的复数， n 为正整数，n 个 z 相乘的积称为定义 三、复数的乘幂与方根 1. 复数的乘幂 ,e i rz .)(ee ninnin rrz 设则法则 利用复数的指数表示式可以很快得到乘幂法则。 , n z. 个个n n zzzz 即记为 P12 40 第一章 复数与复变函数 三、复数的乘幂与方根 1. 复数的乘幂 . )sin(cos)sin(cos ninrirz nnn .sincos)sin(cos nini n ninnin rrze)e( 由以及复数的三角表示式可得 在上式中令 r = 1，则得到棣莫弗(De Moivre)公式： 棣莫弗(De Moivre)公式 进一
26、步易得到正弦与余弦函数的 n 倍角公式。 41 第一章 复数与复变函数 2 3 )(e i . 3 2 e i 例 2 2 3 2 1 i 3 3 )(e i 3 2 3 2 1 i i e .1 3 3 )(e i 3 2 3 2 1 i i e.1 .1)1( 3 此外，显然有 由此引出方根的概念。 42 第一章 复数与复变函数 复数 w ， 三、复数的乘幂与方根 2. 复数的方根 称为把复数 开 n 次方，或者称为求复数 的 zz 复数求方根是复数乘幂的逆运算。 设 是给定的复数，n 是正整数，求所有满足 的 zzw n 定义 n 次方根，记作 或 n zw . /1 n zw 复数 的
27、 n 次方根一般是多值的。 z P13 43 第一章 复数与复变函数 , 2 n k n . )1, 1, 0( nk 三、复数的乘幂与方根 2. 复数的方根 利用复数的指数表示式可以很快得到开方法则。 设推导,e i rz ,e i w 即, )sin(cos)sin(cos irnin n ; n r ,2 kn 得,r n k k 正实数的算术根。 由zw n ,ee inin r 有 44 第一章 复数与复变函数 三、复数的乘幂与方根 2. 复数的方根 描述 , )( 2 e n k n i nn rzw . )1, 1, 0( nk k n 在复平面上， 这 n 个根均匀地 n r
28、为半径的圆周上。 . )/(n 根的辐角是 分布在一个以原点为中心、以 其中一个 方法 直接利用公式求根； 先找到一个特定的根，再确定出其余的根。 45 第一章 复数与复变函数 例 求 .8 3 ,28 )( 3 2 3 3 e k i 解. )2, 1, 0( k 具体为： ,2 ,2 3 e i .2 3 e i 例 求解方程.01 3 z ,11 )( 3 2 3 0 3 e k i z 解 . )2, 1, 0( k 具体为： ,1, 3 2 e i .2 3 2 e i 3 2 2 3 1 46 第一章 复数与复变函数 四、几个关系 , |Re|zz . |Im|zz (1) . |
29、 212121 |zzzzzz (2) zIm |z zRe z 21 zz 21 zz 1 z 2 z ; |zz .| 2 zzz ,argargzz ; )arg(z (3) |z z zarg z zarg |z P6 P8 P6 47 第一章 复数与复变函数 2121 zzzz 2 2 2 1 |zz )(Re2 21z z 2 2 2 1 |zz 2 2 2 1 |zz | )Re(|2 21z z 2 2 2 1 |zz |2 21 zz .| 2 21 )(zz 证)( )(| 2121 2 21 zzzzzz )( )( 2121 zzzz 21 zz 利用复数与向量的关系，
30、可以证明一些几何 问题。 21 zz 1 z 2 z AB C 比如，上例证明的结论可描述为： 三角形的两边之和大于等于第三边。 P8 48 第一章 复数与复变函数 轻松一下吧 49 第一章 复数与复变函数 .sincose i i 1748 年，欧拉给出了著名的公式 令 有 .01e i 它把五个最重要的数 联系起来。e, 0, 1i公式之一， 附：知识广角 奇妙的欧拉公式 克莱茵认为这是数学中最卓越的 )sin(cos)sin(cosee ii ii , )sincoscos(sin)sinsincos(cos i , )(sin)(cos )( e i i 50 第一章 复数与复变函数
31、附：人物介绍 欧拉 瑞士数学家、自然科学家 (17071783) 欧 拉 Leonhard Euler 十八世纪数学界最杰出的人物之一。 数学史上最多产的数学家。 不但为数学界作出贡献， 而且把数学推至几乎整个物理领域。 51 第一章 复数与复变函数 (牛顿全集 8 卷，高斯全集 12 卷) 彼得堡科学院为了整理他的著作，足足忙碌了 47 年。 整理出他的研究成果多达 74 卷。 欧拉是科学史上最多产的一位杰出的数学家。 一生共写下了 886 本书籍和论文。 以每年平均 800 页的速度写出创造性论文。 分析、代数、数论占40%，几何占18%， 物理和力学占28%，天文学占11%， 弹道学、航
32、海学、建筑学等占3%， 其中 附：人物介绍 欧拉 52 第一章 复数与复变函数 课本上常见的如 i , e , sin , cos , tg , x , , f (x) 等等， 也都是他创立并推广的。 有的学者认为，自从 1784 年以后，微积分的教科书 基本上都抄袭欧拉的书。 欧拉编写了大量的力学、分析学、几何学的教科书。 无穷小分析引论、微分学原理以及 积分学原理都成为数学中的经典着作。 附：人物介绍 欧拉 53 第一章 复数与复变函数 附：人物介绍 欧拉 如今几乎每一个数学领域都可以看到欧拉的名字： 初等几何的欧拉线 多面体的欧拉定理 解析几何的欧拉变换 四次方程的欧拉解法 数论中的欧拉
33、函数 微分方程的欧拉方程 级数论的欧拉常数 变分学的欧拉方程 复变函数的欧拉公式 54 第一章 复数与复变函数 欧拉的记忆力惊人！ 附：人物介绍 欧拉 能背诵罗马诗人维吉尔(Virgil)的史诗Aeneil， 能背诵“全部”的数学公式， 直至晚年，还能复述年轻时的笔记的“全部” 内容。 能背诵前一百个质数的前十次幂， 55 第一章 复数与复变函数 欧拉的心算能力罕见！ 附：人物介绍 欧拉 欧拉的两个学生把一个复杂的收敛级数 欧拉为了确定究竟谁对，用心算进行了 道听途说 的前 17 项加起来，算到第 50 位数字， 两人相差一个单位； 全部运算，最后把错误找了出来。 56 第一章 复数与复变函数
34、 欧拉的毅力极其顽强！ 附：人物介绍 欧拉 可以在任何不良的环境中工作。 常常抱着孩子在膝上完成论文。 在双目失明以后，也没有停止对数学的研究。 在失明后的 17 年间，还口述了400 篇左右的论文。 (返回) 57 第一章 复数与复变函数 关于 (在集合意义下) 2121 ArgArg)(Argzzzz 附： 所谓“在集合意义下”是指： 分别从集合 中与集合 中任取一个 元素(即辐角)，相加后，得到集合 中的 2 Argz 1 Argz )(Arg 21 zz 一个元素(即辐角)。 比如 设,zzw 则,| 2 zzzw zzzzwArgArg)(ArgArg 事实上，)2arg()2arg
35、(ArgArg 21 kzkzzz kkz)(2arg2 21 ;2arg2kz )2(arg2Arg2kzz .Arg2z .4arg2kz (返回) 58 第一章 复数与复变函数 1.3 平面点集的一般概念 一、平面点集 二、区域 三、平面曲线 59 第一章 复数与复变函数 一、平面点集 1. 邻域 设 为复平面上的一点，定义 0 z ,0 z0 z0 (1) 称点集 为 点的 邻域；| : 0 zzz 0 z (2) 称点集 为 点的 去心邻域。|0: 0 zzz 0 z 60 第一章 复数与复变函数 内点 一、平面点集 2. 内点、外点与边界点 ; 0 Gz (1) 内点 外点 边界点
36、 考虑某平面点集 G 以及某一点 ， 0 z ,| : 0 zzz(2),0 有.Gz 外点; 0 Gz (1),| : 0 zzz(2),0 有.Gz 边界点 0 z(1) 不一定属于 G ； 在 中， | 0 zz(2),0 既有,Gz 又有.Gz 边界 G 的边界点的全体称为 G 的边界。 61 第一章 复数与复变函数 3. 开集与闭集 开集 如果 G 的每个点都是它的内点，则称 G 为开集。 一、平面点集 闭集 如果 G 的边界点全部都属于 G ，则称 G 为闭集。 4. 有界集与无界集 定义 若存在 ，使得点集 G 包含在原点的 邻域内，0 则 G 称为有界集，否则称为非有界集或无界
37、集。 62 第一章 复数与复变函数 二、区域 1. 区域与闭区域 区域 平面点集 D 称为一个区域，如果它满足下列两个条件: (1) D 是一个开集； (2) D是连通的， 闭区域 区域 D 与它的边界一起构成闭区域或闭域, 记作 D。 不 连 通 的一条折线连接起来。 即 D 中任何两点都可以用完全属于 D 连通 63 第一章 复数与复变函数 二、区域 2. 有界区域与无界区域 (顾名思义) 3. 内区域与外区域 （如何围出面积最大的区域） 定义 一条“简单闭曲线(?)”把整个复平面分成两个区域， 其中 有界的一个称为该简单闭曲线的内部(内区域)， 称为该简单闭曲线的外部(外区域)。 4.
38、单连通域与多连通域 定义 设 D 为区域，如果 D 内的任何一条简单闭曲线的内部仍 属于 D，则 D 称为单连通域， 多连通域又可具体分为二连域、三连域、 。 另一个 否则称为多连通域。 64 第一章 复数与复变函数 A 省 (二连域)(三连域) 二、区域 4. 单连通域与多连通域 A 省 (单连域) B 省 (单连域) B 省 (非区域) 举例 (杜撰) 飞地 65 第一章 复数与复变函数 ;1| )2(| iz 区域 1 2 + i 闭区域 3/ (角形)区域 ;0 x 66 第一章 复数与复变函数 三、平面曲线 1. 方程式 在直角平面上.0),( yxf 在复平面上.0)( zf 如何
39、相互转换？ (比较熟悉) (比较陌生) (1)0),( yxf 2/ )(zzx )2/()(izzy .0)( zf (2)0)( zf yixz .0),( yxf (建立方程) (理解方程) 67 第一章 复数与复变函数 .4)1( 22 yx .0 y .xy .1 )3(2 2 2 2 2 yx .1 22 yx i i (1) i i (2) 2i 2 (3) 1 12 2 i3 i3 (4) 1 1 (5) 68 第一章 复数与复变函数 三、平面曲线 2. 参数式 , )( , )( tyy txx 在直角平面上. )( t , )()()(tyitxtzz 在复平面上. )(
40、t 例如 考察以原点为圆心、以 R 为半径的圆周的方程。 )()()( yixzz (2) 在复平面上 ,sin)( ,cos)( Ryy Rxx (1) 在直角平面上. )20( , )sin(cos iR . )20( ,e i Rz 69 第一章 复数与复变函数 三、平面曲线 3. 曲线的分类 , )()()(tyitxtzz 考虑曲线. )( t 简单曲线当 时，, , 2 t. )()( 21 tztz 21 tt , ),( 1 t 简单闭曲线. )()( zz 简单曲线且 光滑曲线.0)( t z在区间 上，和 连续且, )(t x )(t y 简单、不闭简单、闭不简单、闭不简单
41、、不闭 70 第一章 复数与复变函数 三、平面曲线 4. 有向曲线 定义 设 C 为平面上一条给定的光滑(或分段光滑)曲线， 指定 C 的两个可能方向中的一个作为正向，则 C 为带有 方向的曲线，称为有向曲线，仍记为 C。 代表与 C 的方向相反(即 C 的负方向)的曲线。 如果 C相应地， 则 71 第一章 复数与复变函数 逆时针方向。 区域 区域 三、平面曲线 4. 有向曲线 简单闭曲线的正向一般约定为： 当曲线上的点 P 顺此方向沿曲线 前进时, 区域边界曲线的正向一般约定为： 当边界上的点 P 顺此方向沿边界 前进时, 曲线所围成的有界区域始终 位于 P 点的左边。 所考察的区域始终位
42、于 P 点 的左边。注意区域可以是多连域。 曲线 72 第一章 复数与复变函数 轻松一下吧 73 第一章 复数与复变函数 1.4 无穷大与无穷远点 一、无穷大 二、无穷远点 74 第一章 复数与复变函数 ; )0(, zzz(2) . )(, 0 z z z (3) 法则 (1); )(, zzz Im,Re 无意义。 Arg,|无意义。 实部虚部是多少?问题 模与辐角是多少? 在复平面上对应到哪一点？ 一、无穷大 75 第一章 复数与复变函数 二、无穷远点 1. 无穷远点的概念 ( ? ) 定义 在“复平面”上一个与复数 对应的“理想”点， 称为无穷远点。 事实上，在通常的复平面上并不存在这
43、样的点， 因此只能说它是一个“理想”点。 那么，这个“理想”点到底在哪里呢？ 下面就来看看黎曼(Riemnann)给出的解释。 76 第一章 复数与复变函数 二、无穷远点 2. 复球面 如图， 其中，N 为北极，S 为南极。 这样的球面称作复球面。 对复平面上的任一点 用 , p 球面上除 N 点外的所有点和复平面上的所有点一一对应， 直线将 点与 N 点相连，与球面相交于 点。 p p 球面上的 N 点本身则对应到了“复平面”上的无穷远点。 注 显然，复数 不能写成 或者 。 某球面与复平面相切， 77 第一章 复数与复变函数 二、无穷远点 3. 扩充复平面 (2) 不包括无穷远点在内的复平
44、面称为有限复平面， 或者简称为复平面。 (1) 包括无穷远点在内的复平面称为扩充复平面；定义 78 第一章 复数与复变函数 M 二、无穷远点 4. 无穷远点的邻域 设实数 M 0，定义 (1) 包括无穷远点在内且 满足 的所有Mz | 点的集合，称为无穷 远点的邻域。 (2) 不包括无穷远点在内 且满足 的所有点的集合，称为无穷远点Mz | 的去心邻域，.| zM也可记为 79 第一章 复数与复变函数 轻松一下吧 80 第一章 复数与复变函数 1.5 复变函数 一、基本概念 二、图形表示 三、极限 四、连续 81 第一章 复数与复变函数 一、基本概念 在以后的讨论中，D 常常是一个平面区域，称
45、之为定义域。 按照一定法则，有确定的复数 w 与它对应， 一般情形下，所讨论的“函数”都是指单值函数。 . )(zfw 上定义一个复变函数，记作 定义 设 D 是复平面上的一个点集，对于 D 中任意的一点 ， z 对每个 有唯一的 w 与它对应；,Dz 单值函数 .)( 2 zzfw 比如 多值函数 对每个 有多个 w 与它对应；,Dz , 3 zw .Arg zw 比如 则称在 D 82 第一章 复数与复变函数 一、基本概念 一个复变函数对应于两个二元实变函数。 分析则 可以写成)(zfw )(yixfv iuw 设 ,yixz ,viuw , ),(),(yxviyxu 其中， 与 为实值
46、二元函数。),(yxu),(yxv , ),(yxuu . ),(yxvv 分开上式的实部与虚部得到 83 第一章 复数与复变函数 , )2()1( 22 yxiyx 分开实部与虚部即得 1 2 zw 代入 得 解 记 ,yixz ,viuw 1)( 2 yixviu P21 例1.13 84 第一章 复数与复变函数 G G 二、图形表示 C 映射 复变函数 在几何上被看作是把 z 平面上的一个)(zfw 平面z 平面w 点集 变到 w 平面上的一个点集 的映射(或者变换)。S * S 其中，点集 称为像，点集 称为原像。S * S 函数、映射以及变换可视为同一个概念。 (分析)(几何)(代数
47、) D )(zfw z x y w u v 85 第一章 复数与复变函数 二、图形表示 反函数与逆映射 双方单值与一一映射 为 w 平面上的点集 G， 设函数 的定义域为 z 平面上的点集 D，值域)(zfw 的一个(或几个)点 z， 一个函数, )( wfz 它称为函数 的反函数，也称)(zfw 为映射 的逆映射。)(zfw 若映射 与它的逆映射 都是单值的，)(zfw )( wfz 则称映射 是双方单值的或者一一映射。)(zfw 则 G 中的每个点 w 必将对应着 D 中 按照函数的定义，在 G 上就确定了 86 第一章 复数与复变函数 解 (1) 点 对应的像(点)为 iz 2 1 2
48、1 . 2 1 iw (2) 区域 D 可改写为： , 2/arg0,1|0:zzzD 令,e i rz , 222 e i rzw 则 可得区域 D 的像(区域)G 满足 ,arg0,1|0ww 即. 1| , 0Im: wwwG P22 87 第一章 复数与复变函数 函数 对应于两个二元实变函数例 2 zw , 22 yxu ,2 yxv 因此，它把 z 平面上的两族双曲线, 1 22 cyx ,2 2 cyx 分别映射成 w 平面上的两族平行直线 , 1 cu . 2 cv x y 1 -1 -1 1 -6 -10 -8 -4 -2 2 4 6 8 10 -10 -8 -6 -4 -2
49、u v 10 10 -10 -10 2 4 6 8 10 0 c1 c2 0 88 第一章 复数与复变函数 三、极限 定义 设函数 在 的去心邻域 内有定义 ,)(zfw 0 z |0 0 zz 若存在复数, A使得 ,0,0 当 时，有 |0 0 zz,|)(| Azf 记作 Azf zz )(lim 0 或. )()( 0 zzAzf 注 (1) 函数 在 点可以无定义；)(zf 0 z (2) 趋向于 的方式是任意的。 0 zz 则称 A 为函数 当 z 趋向于 z0 时的极限，)(zfw P23 定义 1.1 89 第一章 复数与复变函数 x y z0 几何意义 三、极限 它的像点 就落在 A 的预先给定的 邻域内。)(zf u v A 当变点 一旦进入 的充分小的 邻域时, z0z f (z) z 90 第一章 复数与复变函数 性质 如果则,)(lim,)(lim 00 BzgAzf zzzz 三、极限 91 第一章 复数与复变函数 定理 三、极限 设, ),(),()(yxviyxuzf , 00 viuA , 000 yixz 证明 ,|,| 00 vvuu .),(lim,),(lim 00 0 0 0 0 vyxvuyxu yy xx yy xx 如果则,0,0 ,)(lim 0 Azf zz 当 2 0 2 00 )()(|0yyxxzz时， ,)()(|)(
