1、复变函数复变函数与与积分变换积分变换 华中科技大学数学与统计学院华中科技大学数学与统计学院 柴振华柴振华 Email: 一、教学及考核方式一、教学及考核方式 主要参考书：主要参考书：钟玉泉钟玉泉复变函数论复变函数论 Lars V. Ahlfors Complex Analysis 考试方式及时间：考试方式及时间： 闭卷、闭卷、13周六周六(2016.11.26)上午上午 考试成绩：考试成绩： 作业占作业占 30%，考试占，考试占70% 作业：作业： 每周交作业一次每周交作业一次 答疑：答疑： 每周二晚每周二晚19:30-21:30 课堂教学：课堂教学： 40 学时学时 (练习册练习册) (科技
2、楼南楼科技楼南楼813室室 计算数学系办公室计算数学系办公室) 练习册：练习册： 第一第一周周(上、下午，上、下午， 晚上晚上)，以，以班班为单位购买，为单位购买， 每册每册5元元 (科技楼南楼科技楼南楼609室室) 二、二、教学内容教学内容 本课程由本课程由复变函数复变函数与与积分变换积分变换两个部分组成。两个部分组成。 复变函数与积分变换课程是理工科各专业必修的重要基础复变函数与积分变换课程是理工科各专业必修的重要基础 理论课，是工程数学的主要课程之一。理论课，是工程数学的主要课程之一。复变函数与积分变换在复变函数与积分变换在 自然科学、工程技术等领域有着广泛的应用。自然科学、工程技术等领
3、域有着广泛的应用。 复变函数复变函数的内容包括：的内容包括：复数与复变函数、解析函数、复复数与复变函数、解析函数、复 变函数的积分、解析函数的级数表示、留数及其应用、共形变函数的积分、解析函数的级数表示、留数及其应用、共形 映射映射以及以及解析函数在平面场的应用解析函数在平面场的应用* *。 注：注：带带 “* *” 号的内容本课堂不要求掌握。号的内容本课堂不要求掌握。 积分变换积分变换的内容包括：的内容包括：傅里叶变换和拉普拉斯变换傅里叶变换和拉普拉斯变换。 卡尔丹称它们为卡尔丹称它们为“虚构的量虚构的量”或或“诡辩的量诡辩的量”。他还把它。他还把它 们与们与负数统称为负数统称为“虚伪数虚伪
4、数”；把正数称为；把正数称为“证实数证实数”。 三、三、历史知识历史知识 复变函数复变函数 两数的和是两数的和是 10 , 积是积是 40 , 求这两数求这两数 卡尔丹发现只要把卡尔丹发现只要把 10 分成分成 和和 即可。即可。155 155 1545 年，卡尔丹年，卡尔丹(Jerome Cardan, 1501-1576)第一个认真第一个认真 地讨论了虚数，他在地讨论了虚数，他在大术大术中求解这样的问题：中求解这样的问题： 卡尔丹的这种处理，遭到了当时的代数学权威韦达和他的卡尔丹的这种处理，遭到了当时的代数学权威韦达和他的 学生哈里奥特的责难。学生哈里奥特的责难。 复数的产生复数的产生运算
5、封闭运算封闭 (加、减、乘、除、开方加、减、乘、除、开方) 整数整数 有理数有理数 实数实数 复数复数 三、三、历史知识历史知识 复变函数复变函数 整个十七世纪，很少有人理睬这种整个十七世纪，很少有人理睬这种 “虚构的量虚构的量” ， 仅有极少数的数学家对其存在性问题争论不休。仅有极少数的数学家对其存在性问题争论不休。 意义下的意义下的“复数复数”的名称。的名称。 1632 年，笛卡尔在年，笛卡尔在几何学几何学中首先把这种中首先把这种“虚构的量虚构的量” 改称为改称为“虚数虚数”，与，与“实数实数”相对应。同时，还给出了如今相对应。同时，还给出了如今 三、三、历史知识历史知识 复变函数复变函数
6、 到了十八世纪，虚数才开始被关注起来。到了十八世纪，虚数才开始被关注起来。 ,sin1cos)sin1(cosnn n 1722 年，法国数学家棣摩佛给出年，法国数学家棣摩佛给出棣摩佛公式棣摩佛公式： 其中其中 n 是大于零的整数。是大于零的整数。 ,sin1cos 1 exx x 1748 年，欧拉给出了著名的年，欧拉给出了著名的Euler公式公式： .1 1777 年，欧拉在递交给彼德堡科学院的论文年，欧拉在递交给彼德堡科学院的论文微分公式微分公式 中首次使用中首次使用 i 来表示来表示 三、三、历史知识历史知识 复变函数复变函数 十八世纪末，高斯的出现使得复数的地位被确立下来。十八世纪末
7、，高斯的出现使得复数的地位被确立下来。 1797 年，当时年仅年，当时年仅 20 岁的高斯在他的博士论文中证明了岁的高斯在他的博士论文中证明了 代数基本定理。代数基本定理。 高斯在证明中巧妙地给出了复数的几何表示，使得人们高斯在证明中巧妙地给出了复数的几何表示，使得人们 直观地理解了复数的真实意义。直观地理解了复数的真实意义。 十九世纪中叶以后，复变函数论开始形成，并逐渐发展十九世纪中叶以后，复变函数论开始形成，并逐渐发展 成为一个庞大的数学分支。成为一个庞大的数学分支。 而且而且 n 次多项式恰好有次多项式恰好有 n 个个根。根。 任何多项式在复数域里必有根，任何多项式在复数域里必有根，即即
8、 二十世纪，复变函数在物理、力学、数学等领域得到了广二十世纪，复变函数在物理、力学、数学等领域得到了广 泛的应用。泛的应用。 附：附：人物介绍人物介绍 高斯高斯 许多数学学科的开创者和奠基人。许多数学学科的开创者和奠基人。 几乎对数学的所有领域都做出了重大贡献。几乎对数学的所有领域都做出了重大贡献。 享有数学王子的美誉。享有数学王子的美誉。 德国数学家、 (17771855) 高 斯 Johann Carl Friedrich Gauss 物理学家、 天文学家 高斯去世后，哥廷根大学对高斯的文稿进行了整理，高斯去世后，哥廷根大学对高斯的文稿进行了整理， 历时历时67年，出版了年，出版了高斯全集
9、高斯全集，共，共12卷。卷。 附：附：人物介绍人物介绍 高斯高斯 在哥廷根大学的广场上，矗立着一座用白色大理石砌在哥廷根大学的广场上，矗立着一座用白色大理石砌 成的纪念碑，它的底座砌成成的纪念碑，它的底座砌成 正十七边形正十七边形，纪念碑上是，纪念碑上是 高斯的青铜雕像。高斯的青铜雕像。 18岁、岁、 尺规作图尺规作图 1977年，纪念高斯诞辰年，纪念高斯诞辰200周年发行的周年发行的5马克纪念币马克纪念币 第一章第一章 复数与复变函数复数与复变函数 微积分在复数领域的推广和发展微积分在复数领域的推广和发展 。 复变函数理论中的许多概念、理论和方法是实变函数、复变函数理论中的许多概念、理论和方
10、法是实变函数、 复数复数的产生最早可以追溯到十六世纪中期。但直到十八的产生最早可以追溯到十六世纪中期。但直到十八 世纪末期，经过了世纪末期，经过了卡尔丹卡尔丹、笛卡尔笛卡尔、欧拉欧拉以及以及高斯高斯等许多人等许多人 的长期努力，复数的地位才被确立下来。的长期努力，复数的地位才被确立下来。 复变函数理论复变函数理论产生于十八世纪，在十九世纪得到了全面产生于十八世纪，在十九世纪得到了全面 为这门学科的发展作了大量奠基工作的为这门学科的发展作了大量奠基工作的 发展。发展。为复变函数理论的创建做了早期工作的是为复变函数理论的创建做了早期工作的是欧拉欧拉、达朗达朗 贝尔贝尔、拉普拉斯拉普拉斯等。等。 则
11、是则是柯西柯西、黎曼黎曼和和维尔斯特拉斯维尔斯特拉斯等。等。 第一章第一章 复数与复变函数复数与复变函数 1.2 复数的几种表示复数的几种表示 1.1 复数复数 1.3 平面点集的一般概念平面点集的一般概念 1.5 复变函数复变函数 1.4 无穷大与复球面无穷大与复球面 1.1 复数复数 一、复数及其运算一、复数及其运算 二、共轭复数二、共轭复数 一、复数及其运算一、复数及其运算 1. 复数的基本概念复数的基本概念 定义定义 (1) 设设 x 和和 y 是任意两个实数，是任意两个实数， yixz ( (或者或者 ) )i yxz 的数称为的数称为复数复数。 (2) x 和和 y 分别称为复数分
12、别称为复数 z 的的实部实部与与虚部虚部，并分别表示为：，并分别表示为： ,Rezx .Im zy 当当 y = 0 时，时， 因此，实数可以看作是复数的特殊情形。因此，实数可以看作是复数的特殊情形。 (3) 当当 x = 0 时，时，yiyiz 0称为称为纯虚数纯虚数； xixz 0就是就是实数实数。 将形如将形如 .1 i其中其中 i 称为称为虚数单位虚数单位，即即 P1 设设 与与 是两个复数，是两个复数， 111 yixz 222 yixz 如果如果, 21 xx , 21 yy 则称则称 与与 相等相等。 1 z 2 z 它们之间只有相等与不相等的关系。它们之间只有相等与不相等的关系
13、。 一、复数及其运算一、复数及其运算 1. 复数的基本概念复数的基本概念 相等相等 0 yixz 当且仅当当且仅当.0 yx特别地，特别地， 复数与实数不同，两个复数复数与实数不同，两个复数( (虚部不为零虚部不为零) )不能比较大小，不能比较大小，注：注： 一、复数及其运算一、复数及其运算 2. 复数的四则运算复数的四则运算 设设 与与 是两个复数，是两个复数， 111 yixz 222 yixz (1) 复数的加减法复数的加减法 ; )( 212121 yyixxzz 加法加法 . )( 212121 yyixxzz 减法减法 (2) 复数的乘除法复数的乘除法 ; )()( 1221212
14、121 yxyxiyyxxzz 乘法乘法 , 21 zzz . 2 1 z z z 如果存在复数如果存在复数 z，使得，使得则则 除法除法 P2 (z2 0) 注：注：1) 复数运算与向量运算的区别复数运算与向量运算的区别 2) 兼容特殊的实数运算兼容特殊的实数运算( (原则原则) ) 一、复数及其运算一、复数及其运算 2. 复数的四则运算复数的四则运算 (3) 运算法则运算法则 交换律交换律; 1221 zzzz . 1221 zzzz 结合律结合律; )()( 321321 zzzzzz . )()( 321321 zzzzzz 分配律分配律.)( 3121321 zzzzzzz 注：注：
15、复数与实数的运算法则是一致的复数与实数的运算法则是一致的 二、共轭复数二、共轭复数 1. 共轭复数的定义共轭复数的定义 设设 是一个复数，是一个复数，定义定义 yixz 称称 为为 z 的的共轭复数共轭复数，xiy 记作记作 。z 共轭复数有许多用途。共轭复数有许多用途。注：注： 比如比如 2 1 z z z )( )( )( )( 2222 2211 yixyix yixyix 22 21 zz zz P2 分母实数化！分母实数化！ 二、共轭复数二、共轭复数 2. 共轭复数的性质共轭复数的性质 其中，其中，“ ”可以是可以是 ;, , 2121 zzzz (2) ;ImRe 2222 yxz
16、zzz (3) ;zz (1)性质性质 P3 解解 (1) i i z z 43 55 2 1 )43( )43( )43( )55( ii ii 25 535i . 5 1 5 7 i . 5 1 5 7 i 2 1 z z 2 1 z z (2) 2 证明证明 2121 zzzz 2121 zzzz 2121 zzzz . )(Re2 21z z P4 例例1.1 1.2 复数的复数的几种表示几种表示 一、复数的几何表示一、复数的几何表示 二、复数的三角表示和指数表示二、复数的三角表示和指数表示 三、复数的乘幂与方根三、复数的乘幂与方根 四、几个关系四、几个关系 一、复数的几何表示一、复数
17、的几何表示 1. 复平面复平面 此时，此时，x 轴称为轴称为实轴实轴，y 轴称为轴称为虚轴虚轴。 在平面上建立一个直角坐标系，在平面上建立一个直角坐标系，定义定义用坐标为用坐标为 的点来的点来),(yx ,yixz 表示复数表示复数从而将全体复数和平面上的全部点从而将全体复数和平面上的全部点 一一对应起来，一一对应起来，的平面称为的平面称为复平面复平面或者或者这样表示复数这样表示复数 z z 平面平面。 P4 引进复平面后，引进复平面后，复数复数 z 与与点点 z 以及以及向量向量 z 视为同一个概念。视为同一个概念。 yixz 在复平面上，从原点到点在复平面上，从原点到点 所引的向量与该所引
18、的向量与该复数复数 z 也构成一一也构成一一 一、复数的几何表示一、复数的几何表示 1. 复平面复平面 y 实轴实轴 虚轴虚轴 i yxz x O 对应关系对应关系(复数零复数零对应零向量对应零向量)。 比如，比如，复数的加减法复数的加减法等同于等同于向量的平行四边形法则向量的平行四边形法则。 将复数和向量对应之后，除了利用将复数和向量对应之后，除了利用 实部与虚部来给定一个复数以外，实部与虚部来给定一个复数以外， 一、复数的几何表示一、复数的几何表示 2. 复数的模与辐角复数的模与辐角 y i yxz x O x y r 定义定义 设设 z 的是一个不为的是一个不为 0 的复数的复数， .
19、|z(1) 向量向量 z 的长度的长度 r 称为复数称为复数 z 的模，记为的模，记为 还可以借助向量的长度与方向来给还可以借助向量的长度与方向来给 定一个复数。定一个复数。 (2) 向量向量 z 的的“方向角方向角” 称为复数称为复数 z 的辐角，记为的辐角，记为.Arg z (?) P5 一、复数的几何表示一、复数的几何表示 2. 复数的模与辐角复数的模与辐角 z x y 两点说明两点说明 (1) 辐角辐角是多值的，是多值的， (2) 辐角辐角的符号约定为：的符号约定为： 逆时针取正号，顺时针取负号。逆时针取正号，顺时针取负号。 相互之间可相差相互之间可相差,2 k 其中其中 k 为整数。
20、为整数。 例如例如 对于复数对于复数,1iz 则有则有,2| z ,2 4 3 Argk z .,2,1,0 k 复数复数 0 的模为的模为 0，辐角无意义。，辐角无意义。注注: 由此就有如下关系：由此就有如下关系： 一、复数的几何表示一、复数的几何表示 2. 复数的模与辐角复数的模与辐角 主辐角主辐角 对于给定的复数对于给定的复数 设有设有 满足：满足： ,0 z zArg 且且, 则称则称 为复数为复数 z 的的主辐角主辐角或或辐角主值辐角主值，记作，记作 .arg z ,2argArgkzz .,2,1,0 k )( 3 1 arctanarg z i i i i z )1(2 1 2
21、解解.3i ,10)1()3(| 22 z 3 1 arctan . x y 3 1 (1) 已知实部与虚部，求模与辐角。已知实部与虚部，求模与辐角。 一、复数的几何表示一、复数的几何表示 3. 相互转换关系相互转换关系 y i yxz x O x y |z zarg ; 22 yx| z | P6 (1) 已知实部与虚部，求模与辐角。已知实部与虚部，求模与辐角。 一、复数的几何表示一、复数的几何表示 3. 相互转换关系相互转换关系 (2) 已知模与辐角，求实部与虚部。已知模与辐角，求实部与虚部。 )cos(arg|zzx )sin(arg|zzy 由此引出复数的三角表示式由此引出复数的三角表
22、示式。 y i yxz x O x y |z zarg 二、复数的三角表示和指数表示二、复数的三角表示和指数表示 1. 复数的三角表示复数的三角表示 称称 为为复数复数 z 的的三角表示式三角表示式。)sin(cos irz y i yxz x O x y r 如图，如图， 有有 sincosrirz . )sin(cos ir 定义定义 设复数设复数 r 是是 z 的模，的模， 是是 z 的任意一个辐角，的任意一个辐角， ,0 z ,cos rx ,sin ry 由由 P9 二、复数的三角表示和指数表示二、复数的三角表示和指数表示 2. 复数的指数表示复数的指数表示 )sin(cos irz
23、 .e i r 利用欧拉公式利用欧拉公式 得得 sincosei i 称称 为为复数复数 z 的的指数表示式指数表示式。 i rze 定义定义 设复数设复数 r 是是 z 的模，的模， 是是 z 的任意一个辐角，的任意一个辐角， ,0 z 但习惯上一般取为但习惯上一般取为主辐角主辐角。 在复数的三角表示式与指数表示式中，辐角不是唯一的，在复数的三角表示式与指数表示式中，辐角不是唯一的，注：注： 补补 ,4412| z解解 )( 12 2 arctanarg z x y 2 12 3 1 arctan 6 . 6 5 . ) 6 5 sin 6 5 cos(4 i z 复数复数 的三角表示式为的
24、三角表示式为z .4 6 5 e i z 复数复数 的指数表示式为的指数表示式为z 二、复数的三角表示和指数表示二、复数的三角表示和指数表示 3. 利用指数表示进行复数的乘除法运算利用指数表示进行复数的乘除法运算 . )( 21 21 e i rr , 1 e 11 i rz , 2 e 22 i rz 设设 乘法乘法 21 ee 2121 ii rrzz 21z z 2 1 z 2 z x y 1 , | 2121 zzzz 即即 .ArgArg)(Arg 2121 zzzz ( (在集合意义下在集合意义下?)?) 两个复数乘积的两个复数乘积的 幅角幅角等于它们幅角的和。等于它们幅角的和。
25、模模等于它们的模的乘积；等于它们的模的乘积； P10 补补 、 ( (集合意义集合意义) ) 二、复数的三角表示和指数表示二、复数的三角表示和指数表示 3. 利用指数表示进行复数的乘除法运算利用指数表示进行复数的乘除法运算 , 1 e 11 i rz , 2 e 22 i rz . )( 2 1 21 e i r r 设设 除法除法 2 1 e e 2 1 2 1 i i r r z z 1 z 2 z 2 21z z 1 z 2 z x y 1 .ArgArgArg 21 2 1 )(zz z z ( (在在集合意义下集合意义下) ) 两个复数的商的两个复数的商的 幅角幅角等于它们幅角的差。
26、等于它们幅角的差。 模模等于它们的模的商；等于它们的模的商； , | | 2 1 2 1 z z z z 即即| | i ) 42 ( e 2 1 i 4 3 e 2 1 . 2 1 2 1 i . 1i i 例例 计算计算 , 2 e i i i 1 i 4 e2 解解 由由有有 i i 4 2 e e 2 i i 1 附：附：一些 一些“简单简单”复数的指数形式复数的指数形式 ,1e i ,1 2 e i ,1 2 e ik , 2 ei i , 2 ei i . 1 i i 1 i 1 i 1i 1 i 1 复数复数 z 的的乘幂乘幂， 设设 z 是给定的复数，是给定的复数， n 为正整
27、数，为正整数，n 个个 z 相乘的积称为相乘的积称为定义定义 三、复数的乘幂与方根三、复数的乘幂与方根 1. 复数的乘幂复数的乘幂 ,e i rz .)(ee ninnin rrz 设设则则法则法则 利用复数的指数表示式可以很快得到乘幂法则利用复数的指数表示式可以很快得到乘幂法则。 , n z. 个个n n zzzz 即即记为记为 P12 三、复数的乘幂与方根三、复数的乘幂与方根 1. 复数的乘幂复数的乘幂 . )sin(cos)sin(cos ninrirz nnn .sincos)sin(cos nini n ninnin rrze)e( 由由以及复数的三角表示式可得以及复数的三角表示式可
28、得 在上式中令在上式中令 r = 1，则得到，则得到棣莫弗棣莫弗(De Moivre)公式公式： 棣莫弗棣莫弗(De Moivre)公式公式 进一步易得到正弦与余弦函数的进一步易得到正弦与余弦函数的 n 倍角公式倍角公式。 2 3 )(e i . 3 2 e i 例例 2 2 3 2 1 i 3 3 )(e i 3 2 3 2 1 i i e .1 3 3 )(e i 3 2 3 2 1 i i e.1 .1)1( 3 此外，显然有此外，显然有 由此引出由此引出方根方根的概念的概念。 复数复数 w ， 三、复数的乘幂与方根三、复数的乘幂与方根 2. 复数的方根复数的方根 称为把复数称为把复数
29、开开 n 次方次方，或者称为求复数，或者称为求复数 的的 zz 复数求方根是复数乘幂的逆运算复数求方根是复数乘幂的逆运算。 设设 是给定的复数，是给定的复数，n 是正整数，求所有满足是正整数，求所有满足 的的 zzw n 定义定义 n 次方根次方根，记作记作 或或 n zw . /1 n zw 复数复数 的的 n 次方根一般是多值的次方根一般是多值的。 z P13 , 2 n k n 三、复数的乘幂与方根三、复数的乘幂与方根 2. 复数的方根复数的方根 利用复数的指数表示式可以很快得到开方法则。利用复数的指数表示式可以很快得到开方法则。 设设推导推导,e i rz ,e i w 即即, )si
30、n(cos)sin(cos irnin n ; n r ,2 kn 得得,r n k k 正实数的算术根。正实数的算术根。 由由zw n ,ee inin r 有有 三、复数的乘幂与方根三、复数的乘幂与方根 2. 复数的方根复数的方根 描述描述 , )( 2 e n k n i nn rzw . )1, 1, 0( nk k n 在复平面上，在复平面上， 这这 n 个根均匀地个根均匀地 n r 为半径的圆周上。为半径的圆周上。 . )/(n 根的辐角是根的辐角是 分布在一个以原点为中心、以分布在一个以原点为中心、以 其中一个其中一个 方法方法 直接利用公式求根直接利用公式求根； 先找到一个特定
31、的根，再确定出其余的根先找到一个特定的根，再确定出其余的根。 注：注：一个一个实系数实系数的一元的一元n次方程，其复根必以共轭成对的形式出现次方程，其复根必以共轭成对的形式出现 例例 求解方程求解方程.01 3 z ,11 )( 3 2 3 0 3 e k i z 解解 . )2, 1, 0( k 具体为：具体为： ,1, 3 2 e i 2 3 e. i 2 3 1 四、几个关系四、几个关系 , |Re|zz . |Im|zz (1) . | 212121 |zzzzzz (2) zIm |z zRe z 21 zz 21 zz 1 z 2 z ; |zz .| 2 zzz ,argargz
32、z ; )arg(z (3) |z z zarg z zarg |z P6 P8 P6 几何释义几何释义 (直观直观) 分析证明分析证明 (严格严格) .sincose i i 1748 年，欧拉给出了著名的公式年，欧拉给出了著名的公式 令令 有有 .01e i 它把五个最重要的数它把五个最重要的数 联系起来。联系起来。e, 0, 1i公式之一，公式之一， 附：附：知识广角知识广角 奇妙的欧拉公式奇妙的欧拉公式 克莱茵认为这是数学中最卓越的克莱茵认为这是数学中最卓越的 )sin(cos)sin(cosee ii ii , )sincoscos(sin)sinsincos(cos i , )(s
33、in)(cos )( e i i 附：附：人物介绍人物介绍 欧拉欧拉 瑞士数学家、自然科学家瑞士数学家、自然科学家 (17071783) 欧欧 拉拉 Leonhard Euler 十八世纪数学界最杰出的人物之一。十八世纪数学界最杰出的人物之一。 数学史上最多产的数学家。数学史上最多产的数学家。 不但为数学界作出贡献，不但为数学界作出贡献， 而且把数学推至几乎整个物理领域。而且把数学推至几乎整个物理领域。 (牛顿全集牛顿全集 8 卷，高斯全集卷，高斯全集 12 卷卷) 彼得堡科学院为了整理他的著作，足足忙碌了彼得堡科学院为了整理他的著作，足足忙碌了 47 年。年。 整理出他的研究成果多达整理出他
34、的研究成果多达 74 卷。卷。 欧拉是科学史上最多产的一位杰出的数学家。欧拉是科学史上最多产的一位杰出的数学家。 一生共写下了一生共写下了 886 本书籍和论文。本书籍和论文。 以每年平均以每年平均 800 页的速度写出创造性论文。页的速度写出创造性论文。 分析、代数、数论占分析、代数、数论占40%，几何占，几何占18%， 物理和力学占物理和力学占28%，天文学占，天文学占11%， 弹道学、航海学、建筑学等占弹道学、航海学、建筑学等占3%， 其中其中 附：附：人物介绍人物介绍 欧拉欧拉 课本上常见的如课本上常见的如 i , e , sin , cos , tg , x , , f (x) 等等
35、，等等， 也都是他创立并推广的。也都是他创立并推广的。 有的学者认为，自从有的学者认为，自从 1784 年以后，微积分的教科书年以后，微积分的教科书 基本上都抄袭欧拉的书。基本上都抄袭欧拉的书。 欧拉编写了大量的力学、分析学、几何学的教科书。欧拉编写了大量的力学、分析学、几何学的教科书。 无穷小分析引论无穷小分析引论、微分学原理微分学原理以及以及 积分学原理积分学原理都成为数学中的经典着作。都成为数学中的经典着作。 附：附：人物介绍人物介绍 欧拉欧拉 附：附：人物介绍人物介绍 欧拉欧拉 如今几乎每一个数学领域都可以看到欧拉的名字：如今几乎每一个数学领域都可以看到欧拉的名字： 初等几何的初等几何
36、的欧拉线欧拉线 多面体的多面体的欧拉定理欧拉定理 解析几何的解析几何的欧拉变换欧拉变换 四次方程的四次方程的欧拉解法欧拉解法 数论中的数论中的欧拉函数欧拉函数 微分方程的微分方程的欧拉方程欧拉方程 级数论的级数论的欧拉常数欧拉常数 变分学的变分学的欧拉方程欧拉方程 复变函数的复变函数的欧拉公式欧拉公式 欧拉的记忆力惊人！欧拉的记忆力惊人！ 附：附：人物介绍人物介绍 欧拉欧拉 能背诵罗马诗人维吉尔能背诵罗马诗人维吉尔(Virgil)的史诗的史诗Aeneil， 能背诵能背诵“全部全部”的数学公式，的数学公式， 直至晚年，还能复述年轻时的笔记的直至晚年，还能复述年轻时的笔记的“全部全部” 内容。内容
37、。 能背诵前一百个质数的前十次幂，能背诵前一百个质数的前十次幂， 欧拉的心算能力罕见！欧拉的心算能力罕见！ 附：附：人物介绍人物介绍 欧拉欧拉 欧拉的两个学生把一个复杂的收敛级数欧拉的两个学生把一个复杂的收敛级数 欧拉为了确定究竟谁对，用心算进行了欧拉为了确定究竟谁对，用心算进行了 道听途说道听途说 的前的前 17 项加起来，算到第项加起来，算到第 50 位数字，位数字， 两人相差一个单位；两人相差一个单位； 全部运算，最后把错误找了出来。全部运算，最后把错误找了出来。 欧拉的毅力极其顽强！欧拉的毅力极其顽强！ 附：附：人物介绍人物介绍 欧拉欧拉 可以在任何不良的环境中工作。可以在任何不良的环
38、境中工作。 常常抱着孩子在膝上完成论文。常常抱着孩子在膝上完成论文。 在双目失明以后，也没有停止对数学的研究。在双目失明以后，也没有停止对数学的研究。 在失明后的在失明后的 17 年间，还口述了年间，还口述了400 篇左右的论文。篇左右的论文。 关于关于 ( (在集合意义下在集合意义下) ) 2121 ArgArg)(Argzzzz 附：附： 所谓所谓“在集合意义下在集合意义下”是指：是指： 分别从集合分别从集合 中与集合中与集合 中任取一个中任取一个 元素元素( (即辐角即辐角) )，相加后，得到集合相加后，得到集合 中的中的 2 Argz 1 Argz )(Arg 21 zz 一个元素一个
39、元素( (即辐角即辐角) )。 比如比如 设设,zzw 则则,| 2 zzzw zzzzwArgArg)(ArgArg 事实上，事实上，)2arg()2arg(ArgArg 21 kzkzzz kkz)(2arg2 21 ;2arg2kz )2(arg2Arg2kzz .Arg2z .4arg2kz ( (返回返回) ) 1.3 平面点集的一般概念平面点集的一般概念 一、平面点集一、平面点集 二、区域二、区域 三、平面曲线三、平面曲线 一、平面点集一、平面点集 1. 邻域邻域 设设 为复平面上的一点，为复平面上的一点，定义定义 0 z ,0 (1) 称点集称点集 为为 点的点的 邻域邻域；|
40、: 0 zzz 0 z (2) 称点集称点集 为为 点的点的 去心邻域去心邻域。|0: 0 zzz 0 z z0 z0 内点内点 一、平面点集一、平面点集 2. 内点、外点与边界点内点、外点与边界点 ; 0 Gz (1) 内点内点 外点外点 边界点边界点 考虑某平面点集考虑某平面点集 G 以及某一点以及某一点 ， 0 z ,| : 0 zzz(2),0 有有.Gz 外点外点; 0 Gz (1),| : 0 zzz(2),0 有有.Gz 边界点边界点 0 z(1) 不一定属于不一定属于 G ； 在在 中，中， | 0 zz(2),0 既有既有,Gz 又有又有.Gz 边界边界 G 的边界点的全体称
41、为的边界点的全体称为 G 的的边界边界。 3. 开集与闭集开集与闭集 开集开集 如果如果 G 的每个点都是它的内点，则称的每个点都是它的内点，则称 G 为为开集开集。 一、平面点集一、平面点集 闭集闭集 如果如果 G 的边界点全部都属于的边界点全部都属于 G ，则称，则称 G 为为闭集闭集。 4. 有界集与无界集有界集与无界集 定义定义 若存在若存在 ，使得点集，使得点集 G 包含在原点的包含在原点的 邻域内，邻域内， 0 则则 G 称为称为有界集有界集，否则称为否则称为非有界集非有界集或或无界集无界集。 二、区域二、区域 1. 区域与闭区域区域与闭区域 区域区域 平面点集平面点集 D 称为一
42、个称为一个区域区域，如果它满足下列两个条件，如果它满足下列两个条件: (1) D 是一个开集；是一个开集； (2) D是是连通连通的的( (无分割无分割) )， 闭区域闭区域 区域区域 D 与它的边界一起构成与它的边界一起构成闭区域闭区域或或闭域闭域, 记作记作 D。 闭区域闭区域不是不是区域区域。 不不 连连 通通 的一条折线连接起来。的一条折线连接起来。 即即 D 中任何两点都可以用完全属于中任何两点都可以用完全属于 D 连通连通 二、区域二、区域 2. 有界区域与无界区域有界区域与无界区域 ( (顾名思义顾名思义) ) 3. 内区域与外区域内区域与外区域 定义定义 一条一条“简单闭曲线简
43、单闭曲线(?)”把整个复平面分成两个区域，把整个复平面分成两个区域， 其中其中 有界有界的一个称为该简单闭曲线的的一个称为该简单闭曲线的内部内部(内区域内区域)， 称为该简单闭曲线的称为该简单闭曲线的外部外部(外区域外区域)。 4. 单连通区域与多连通区域单连通区域与多连通区域 定义定义 设设 D 为区域，如果为区域，如果 D 内的任何一条简单闭曲线的内的任何一条简单闭曲线的内部内部仍仍 属于属于 D（无洞无洞），则，则 D 称为称为单连通区域单连通区域， 多连通区域多连通区域又可具体分为又可具体分为二连通区域二连通区域、三连通区域三连通区域、 。 另一个另一个 否则称为否则称为多连通区域多连
44、通区域。单连通与多连通区域都是区域。单连通与多连通区域都是区域。 二、区域二、区域 A 省省 (三连通区域三连通区域) B 省省 (非区域非区域) 4. 单连通区域与多连通区域单连通区域与多连通区域 举例举例 A 省省 (单连通区域单连通区域) B 省省 (单连通区域单连通区域) ;1| )2(| iz 单连通区域单连通区域 1 - 2 + i 闭区域闭区域 3/ 单连通单连通( (角形角形) )区域区域 ;0 x 三、平面曲线三、平面曲线 1. 方程式方程式 在直角平面上在直角平面上.0),( yxf 在复平面上在复平面上.0)( zf 如何相互转换如何相互转换？ ( (比较熟悉比较熟悉)
45、) ( (比较陌生比较陌生) ) (1)0),( yxf 2/ )(zzx )2/()(izzy .0)( zf (2)0)( zf yixz .0),( yxf ( (建立方程建立方程) ) ( (理解方程理解方程) ) .4)1( 22 yx .0 y .xy .1 )3(2 2 2 2 2 yx .1 22 yx i - i (1) i - i (2) 2i - 2 (3) 1- 12- 2 i3 i3 (4) 1- 1 (5) 三、平面曲线三、平面曲线 2. 参数参数式式 , )( , )( tyy txx 在直角平面上在直角平面上. )( t , )()()(tyitxtzz 在复平
46、面上在复平面上. )( t 例如例如 考察以原点为圆心、以考察以原点为圆心、以 R 为半径的圆周的方程为半径的圆周的方程。 )()()( yixzz (2) 在复平面上在复平面上 ,sin)( ,cos)( Ryy Rxx (1) 在直角平面上在直角平面上. )20( , )sin(cos iR . )20( ,e i Rz 三、平面曲线三、平面曲线 3. 曲线的分类曲线的分类 , )()()(tyitxtzz 考虑曲线考虑曲线. )( t 简单曲线简单曲线当当 时，时，, , 2 t. )()( 21 tztz 21 tt , ),( 1 t 简单闭曲线简单闭曲线. )()( zz 简单曲线
47、且简单曲线且 光滑曲线光滑曲线.0)( t z在区间在区间 上，上，和和 连续且连续且, )(t x )(t y 简单、不闭简单、不闭简单、闭简单、闭不简单、闭不简单、闭不简单、不闭不简单、不闭 三、平面曲线三、平面曲线 4. 有向曲线有向曲线 定义定义 设设 C 为平面上一条给定的光滑为平面上一条给定的光滑(或分段光滑或分段光滑)曲线曲线， 指定指定 C 的两个可能方向中的一个作为正向的两个可能方向中的一个作为正向，则则 C 为带有为带有 方向的曲线，称为方向的曲线，称为有向曲线有向曲线，仍记为，仍记为 C。 代表与代表与 C 的方向相反的方向相反(即即 C 的负方向的负方向)的曲线。的曲线
48、。 如果如果 C相应地，相应地， 则则 补补 逆时针方向。逆时针方向。 区域区域 区域区域 三、平面曲线三、平面曲线 4. 有向曲线有向曲线 简单闭曲线的正向一般简单闭曲线的正向一般约定约定为为： 当曲线上的点当曲线上的点 P 顺此方向沿曲线顺此方向沿曲线 前进时前进时, 区域边界曲线的正向一般区域边界曲线的正向一般约定约定为为： 当边界上的点当边界上的点 P 顺此方向沿边界顺此方向沿边界 前进时前进时, 曲线所围成的有界区域始终曲线所围成的有界区域始终 位于位于 P 点的左边。点的左边。 所考察的区域始终位于所考察的区域始终位于 P 点点 的左边。的左边。注意区域可以是多连域。注意区域可以是
49、多连域。 曲线曲线 1.4 无穷大与无穷远点无穷大与无穷远点 一、无穷大一、无穷大 二、无穷远点二、无穷远点 ; )0(, zzz(2) . )(, 0 z z z (3) 法则法则 (1); )(, zzz Im,Re 无意义。无意义。 Arg,|无意义。无意义。 实部、虚部是多少实部、虚部是多少?问题问题 模与辐角是多少模与辐角是多少? 在复平面上对应到哪一点？在复平面上对应到哪一点？ 一、无穷大一、无穷大 二、无穷远点二、无穷远点 1. 无穷远点的概念无穷远点的概念 ( ? ) 定义定义 在在“复平面复平面”上一个与复数上一个与复数 对应的对应的“理想理想”点，点， 称为称为无穷远点无穷远点。 事实上，在通常的复平面上并不存在这样的点，事实上，在通常的复平面上并不存在这样的点， 因此只能说它是一个因此只能说它是一个“理想理想”点。点。 那么，这个那么，这个“理想理想”点到底在哪里呢？点到底在哪里呢？ 下面就来看看黎曼下面就来看看黎曼(Riemnann)给出的解释。给出的解释。 二、无穷远点二、无穷远点 2. 复球面复球面(一种几何表示一种几何表示) 如图，如图， 其中，其中，N 为北极，为北极，S 为南极。为南极。 这样的球面称作这样的球面称作复球面复球面。思考：思考：能否写出相应的映射？能否写出相应的映射？ 对复平面上的任一点对复平面上的任一点 用用 , p 球面上除球面
