1、公众号公众号：渝城高中数学会渝城高中数学会 608396916608396916高中数学资料分享高中数学资料分享 QQQQ 群群：608396916608396916 欢迎大家关注公众号，获取最新消息！欢迎大家关注公众号，获取最新消息！WordWord 文档进文档进 QQQQ 群：群：608396916608396916 下载！下载！ 11 1 极值点偏移定义及判定定理极值点偏移定义及判定定理 所谓极值点偏移问题，是指对于单极值函数，由于函数极值点左右的增减速度不同，使 得函数图像没有对称性。若函数( )f x在 0 xx处取得极值，且函数( )yf x与直线yb 交于 1 ( , )A x
2、b, 2 (, )B x b两点，则AB的中点为 12 (, ) 2 xx Mb ，而往往 12 0 2 xx x .如下图 所示. 极值点没有偏移极值点没有偏移 一、极值点偏移判定方法 1、极值点偏移的定义 对于函数)(xfy 在区间),(ba内只有一个极值点 0 x，方程0)(xf的解分别为 21 xx、，且bxxa 21 ， （1）若 0 21 2 x xx ，则称函数)(xfy 在区间),( 21 xx上极 值点 0 x偏移； （2） 若 0 21 2 x xx ，则函数)(xfy 在区间),( 21 xx上极值点 0 x左偏，简 称极值点 0 x左偏；（3）若 0 21 2 x xx
3、 ，则函数)(xfy 在区间),( 21 xx上极值点 0 x右 偏，简称极值点 0 x右偏。 2、极值点偏移的判定定理 判定定理：对于可导函数)(xfy ， 在区间),(ba上只有一个极大 （小） 值点 0 x， 方程0)(xf的解分别为 21 xx、，且bxxa 21 ， （1）若0) 2 ( 21 xx f，则 0 21 )( 2 x xx ，即函数)(xfy 在区间),( 21 xx上极大（小）值点 0 x右（左）偏； （2）0 若0) 2 ( 21 xx f，则 0 21 )( 2 x xx ，即函数)(xfy 在区间),( 21 xx上极大（小）值点 0 x左（右）偏。 公众号公众
4、号：渝城高中数学会渝城高中数学会 608396916608396916高中数学资料分享高中数学资料分享 QQQQ 群群：608396916608396916 欢迎大家关注公众号，获取最新消息！欢迎大家关注公众号，获取最新消息！WordWord 文档进文档进 QQQQ 群：群：608396916608396916 下载！下载！ 22 二、极值点偏移问题的一般题设形式：二、极值点偏移问题的一般题设形式： 1.若函数)(xf存在两个零点 21,x x且 21 xx ， 求证： 021 2xxx（ 0 x为函数)(xf的极值点） ； 2.若函数)(xf中存在 21,x x且 21 xx 满足)()(
5、21 xfxf，求证： 021 2xxx（ 0 x为函 数)(xf的极值点） ； 3. 若函数)(xf存在两个零点 21,x x且 21 xx ，令 2 21 0 xx x ，求证：0)( 0 xf； 4. 若函数)(xf中存在 21,x x且 21 xx 满足)()( 21 xfxf，令 2 21 0 xx x ，求证： 0)( 0 xf 三三、运用判定定理判定极值点偏移的方法、运用判定定理判定极值点偏移的方法 1、方法概述： （1）求出函数)(xf的极值点 0 x； （2）构造一元差函数)()()( 00 xxfxxfxF； （3）确定函数)(xF的单调性； （4）结合0)0(F，判断)(
6、xF的符号，从而确定)( 0 xxf、)( 0 xxf的大小关系. 口诀：极值偏离对称轴，构造函数觅行踪；四个步骤环相扣，两次单调紧跟随口诀：极值偏离对称轴，构造函数觅行踪；四个步骤环相扣，两次单调紧跟随. . 公众号公众号：渝城高中数学会渝城高中数学会 608396916608396916高中数学资料分享高中数学资料分享 QQQQ 群群：608396916608396916 欢迎大家关注公众号，获取最新消息！欢迎大家关注公众号，获取最新消息！WordWord 文档进文档进 QQQQ 群：群：608396916608396916 下载！下载！ 33 2、抽化模型 答题模板：若已知函数)(xf满
7、足)()( 21 xfxf， 0 x为函数)(xf的极值点，求证： 021 2xxx. （1）讨论函数)(xf的单调性并求出)(xf的极值点 0 x； 假设此处)(xf在),( 0 x上单调递减，在),( 0 x上单调递增. （2）构造)()()( 00 xxfxxfxF； 注：此处根据题意需要还可以构造成)2()()( 0 xxfxfxF的形式. （3）通过求导)( xF讨论)(xF的单调性，判断出)(xF在某段区间上的正负，并得出 )( 0 xxf与)( 0 xxf的大小关系； 假 设 此 处)(xF在), 0( 上 单 调 递 增 ， 那 么 我 们 便 可 得 出 0)()()()(
8、000 xfxfxFxF，从而得到： 0 xx 时，)()( 00 xxfxxf. （4）不妨设 201 xxx，通过)(xf的单调性，)()( 21 xfxf，)( 0 xxf与)( 0 xxf的 大小关系得出结论； 接上述情况，由于 0 xx 时，)()( 00 xxfxxf且 201 xxx，)()( 21 xfxf， 故)2()()()()( 2002002021 xxfxxxfxxxfxfxf，又因为 01 xx ， 020 2xxx且)(xf在),( 0 x上单调递减， 从而得到 201 2xxx， 从而 021 2xxx得 证. （5）若要证明0) 2 ( 21 xx f，还需进
9、一步讨论 2 21 xx 与 0 x的大小，得出 2 21 xx 所在的 单调区间，从而得出该处函数导数值的正负，从而结论得证.21 世纪教育网版权所有 此处只需继续证明：因为 021 2xxx，故 0 21 2 x xx ，由于)(xf在),( 0 x上单 调递减，故0) 2 ( 21 xx f. 【说明】 （1）此类试题由于思路固定，所以通常情况下求导比较复杂，计算时须细心； （2）此类题目若试题难度较低，会分解为三问，前两问分别求)(xf的单调性、极值点， 公众号公众号：渝城高中数学会渝城高中数学会 608396916608396916高中数学资料分享高中数学资料分享 QQQQ 群群：608396916608396916 欢迎大家关注公众号，获取最新消息！欢迎大家关注公众号，获取最新消息！WordWord 文档进文档进 QQQQ 群：群：608396916608396916 下载！下载！ 44 证明)( 0 xxf与)( 0 xxf（或)(xf与)2( 0 xxf）的大小关系；若试题难度较大，则直 接给出形如 021 2xxx或0) 2 ( 21 xx f的结论，让你给予证明，此时自己应主动把该 小问分解为三问逐步解题.2
