1、课时作业课时作业 18导数与函数的零点问题导数与函数的零点问题 1已知函数 f(x)exaxa(aR 且 a0) (1)若 f(0)2，求实数 a 的值，并求此时 f(x)在2,1上的最小值； (2)若函数 f(x)不存在零点，求实数 a 的取值范围 解：(1)由题意知，函数 f(x)的定义域为 R， 又 f(0)1a2，得 a1， 所以 f(x)exx1，求导得 f(x)ex1. 易知 f(x)在2,0上单调递减，在0,1上单调递增， 所以当 x0 时，f(x)在2,1上取得最小值 2. (2)由(1)知 f(x)exa，由于 ex0， 当 a0 时，f(x)0，f(x)在 R 上是增函数，
2、 当 x1 时，f(x)exa(x1)0；当 x0 时， 取 x1 a，则 f 1 a 1a 1 a1a0. 所以函数 f(x)存在零点，不满足题意 当 a0 时，令 f(x)0，得 xln(a) 在(，ln(a)上，f(x)0，f(x)单调递增， 所以当 xln(a)时，f(x)取最小值 函数 f(x)不存在零点，等价于 f(ln(a)eln( a)aln(a)a2aaln(a)0， 解得e2a0，f(x)1 xa， 当 a0，f(x)在(0，)上单调递增， 且 f(e3)ae30，当 x0 时，f(x)， 此时，f(x)存在唯一零点； 当 a0 时，令 f(x)1ax x 0，解得 x1
3、a， f(x)在 0，1 a 上单调递增；f(x)在 1 a，上单调递减，f(x)maxf 1 a lna4. 当lna4e 4 时，f(x)无零点； 当lna40，即 ae 4 时，f(x)有一个零点； 当lna40，即 0ae 4 时，f(x)有两个零点 综上，当 a0 或 ae 4 时，f(x)有一个零点； 当 0ae 4 时，f(x)无零点 (2)g(x)x3 m 2 a x2x，g(x)3x2(m2a)x1. g(x)在(a,3)上有最值，g(x)在(a,3)上不单调 g(0)10， ga0 恒成立 又 a1,2，由 g(a)0，即 m1 a5a， 解得 m0，即 3m266a0，
4、解得 m32 3 ，故32 3 m0， 则 g(x)1 x2xa 2x2ax1 x ， 由 g(x) 0，得 x1a a 28 4 (舍)，x2a a 28 4 ， 当 x(0，x2)时，g(x)0，函数 g(x)单调递增； 当 x(x2，)时，g(x)0，函数 g(x)单调递减， 则函数 g(x)的单调递增区间是(0，x2)，单调递减区间是(x2，)， 若 x23，则 g(x)在(0,3上单调递增，不合题意，所以 x20， 由 g(3)1，即 ln393a10，解得 a8ln3 3 ， 由 g(x)maxg(x2)0，即 lnx2x22ax20， 因为2x22ax210，所以 a2x2 1
5、x2， 代入 lnx2x22ax20，得 lnx2x2210， 令 h(x)lnxx21，可知 h(x)在(0,3上单调递增， 而 h(1)0，而 h(x2)h(1)0， 所以 1x23，而 a2x2 1 x2在 1x 23 上单调递增，所以 1a17 3 ， 综上所述，a 的取值范围为 1，8ln3 3. 4已知 g(x)ex，h(x)lnx，若点 A 为函数 g(x)上的任意一点，点 B 为函数 h(x)上的任意一点f(x)g(2x)ax a(aR，其中 e 为自然对数的底数) (1)求 A，B 两点之间距离的最小值； (2)若函数 f(x)有两个不同的零点 x1，x2. 求实数 a 的取
6、值范围； 设 f(x)的导函数为 f(x)，求证：f x1x2 20，函数 f(x)在 R 上单调递增， 不合题意，a0. 又x时，f(x)；x，f(x)， 令 f(x)0，即 2e2xa0，x1 2ln a 2， 函数 f(x)有两个零点 x1，x2，函数 f(x)在 ，1 2ln a 2 递减，函数 f(x)在 1 2ln a 2，递增，f 1 2ln a 2 0， f 1 2ln a 2 e lna 2 a 2ln a 2a2e 3. a 的取值范围是(2e3，) 证明：由题意得 e 2x1ax 1a0， e 2x2ax 2a0， 两式相减得 ae 2x2e2x1 x2x1 ，不妨设 x
7、10，则 2(x2x1)e x1x2 e x2x1 可转化为 h(t)2tete t， h(t)2ete t2(etet)0， h(t)在(0，)上单调递减， h(t)h(0)0，即 f x1x2 2 2 . (1)证明：当 a1 时，f(x)有最小值，无最大值； (2)若在 2，上方程 f(x)0 恰有一个实数根，求实数 a 的取值范围 解：(1)证明：当 a1 时，f(x)excosx，f(x)exsinx. 令 h(x)f(x)，则 h(x)excosx. 当 20，cosx0，h(x)0； 当 x0 时，ex1，1cosx1，h(x)0， 即当 x 2，时，恒有 h(x)0， f(x)
8、在 2，上单调递增 f 2 e 2 10， 存在 x0 2，0，使得 f(x0)0，f(x)的符号如图所示， 即 f(x)在 2，x 0 上单调递减，在(x0，)上单调递增又x时，f(x)， 当 a1 时，f(x)有最小值 f(x0)，无最大值 (2)方程 f(x)aexcosx0 2x恰有一个实根，即 acosx ex 2x恰有一个实根，即 ya 与 g(x) cosx ex 2x0； 当 x 4， 3 4 时，g(x)0， g(x)在 2， 4 上单调递增，在 4， 3 4 上单调递减，在 3 4 ， 上单调递增， 即极大值为 g 4 2 2 e 4 ，极小值为 g 3 4 2 2e 3
9、4 . 又g 2 0，g() 1 e， g(x)在 2，上的图象大致如图所示 又ya 与 g(x)cosx ex 2x0 恒成立， 令 f(x)0，得 x1，令 f(x)0，得 x0 时，令 f(x)0，得 x11，x2lna. ()当 lna1，即 ae 时，f(x)0 恒成立， 所以 f(x)在 R 上为增函数； ()当 lna1，即 0a0，得 x1 或 xlna， 令 f(x)0，得 lnax1，即 ae 时， 令 f(x)0，得 xlna 或 x1， 令 f(x)0，得 1xlna， 所以 f(x)在(，1)上为增函数，在(1，lna)上为减函数，在(lna，)上为增函数 综上，当
10、a0 时，f(x)在(，1)上为减函数，在(1，)上为增函数； 当 ae 时，f(x)在 R 上为增函数； 当 0ae 时，f(x)在(，1)上为增函数，在(1，lna)上为减函数，在(lna，)上为增函数 (2)由(1)知， 当 a0 时，f(x)在(，1)上为减函数，在(1，)上为增函数，f(1)a e 1 21 时，f(x) ax ex 1 2x 2xax x 1 2x 2x1 2x 2xa， 取 x02a，则 f(x0)1 2(2a) 2(2a)a1 2a 20，故此时有 2 个零点，符合题意； 当 ae 时，f(x)在 R 上为增函数，故此时最多有 1 个零点，不合题意； 当 0ae
11、 时，f(x)在(，lna)上为增函数，在(lna,1)上为减函数，在(1，)上为增函数， ()当 a1 时，f(lna)1 2ln 2a0，f(1)1 e 1 20，此时有 2 个零点，符合题意； ()当 0a1 或 1a0， f(x)ax ex 1 2x 2xx a ex 1 2x1， 当 xax 21 2x1， 只需 xax 21 2x10， 所以取 x1lna 且 x11 116a 4a ，则 f(x1)0，即 a e 2时，只有 1 个零点，不合题意；当 f(1) a e 1 20，即 a e 2时，有 2 个零点，符合题 意；当 f(1)a e 1 20，即 0a0，所以此时有 3 个零点，不合题意； 当 ae 时，f(x)在(，1)上为增函数，在(1，lna)上为减函数，在(lna，)上为增函数， f(lna)alna a 1 2ln 2alna1 2ln 2a0， 故此时最多有 1 个零点，不合题意 综上，当 a0 或 a1 或 ae 2时，函数 f(x)有 2 个零点
