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1、概率与统计学全册配套最完整概率与统计学全册配套最完整 精品课件精品课件1 2 主讲教师主讲教师: : 赵慧秀赵慧秀 3 教材：教材：1 1概率与统计(第二版)陈萍 李文 等 科学出版社 2006 2 概率论与数里统计(刘力维等） 参考书：参考书： 11概率论与数理统计三十三讲 魏振军 编,中国统计出版社 2000 2 概率论与数理统计学习指导 张正军 钟晓芳 编,兵器工业出版社 2006 4 课件说明： 兰色字体兰色字体：标题（做笔记）：标题（做笔记） 红色字体红色字体（页码）：重要的概念名（做笔记）（页码）：重要的概念名（做笔记） 黑色字体：一般叙述（课堂学习，除例题及解答黑色字体：一般叙述

2、（课堂学习，除例题及解答 之外不必做笔记之外不必做笔记) 其他颜色字体：属于了解内容。其他颜色字体：属于了解内容。 放映方式：重点内容：放映方式：重点内容：“逐字显示逐字显示”；了解内容：；了解内容： “从下方缓缓移入从下方缓缓移入” 5 课程要求及考试方式 基础：主要的是高数中的积分计算（一到二重积分）。基础：主要的是高数中的积分计算（一到二重积分）。 平时成绩共平时成绩共20分分(包括作业情况包括作业情况,课堂答题课堂答题, 小论文小论文)。每。每 人初始成绩人初始成绩16分。分。 加分加分：作业：作业A加加1分分, 课堂练习答对的加课堂练习答对的加1分；小论文最分；小论文最 高加高加10

3、分。分。（20分封顶）分封顶） 减分减分： 作业作业C减减1分分,缺一次作业或旷课一次减缺一次作业或旷课一次减2分分 （最低（最低0分）分） 期末考试期末考试: 笔试、闭卷。烦琐的表格、公式卷面提供笔试、闭卷。烦琐的表格、公式卷面提供. 注意注意:1.平时作业缺平时作业缺1/3,取消考试资格取消考试资格. 2.作业每周最后一次课交，按照学号递增顺序排列作业每周最后一次课交，按照学号递增顺序排列 好好 上交（作业本的价格上交（作业本的价格(一套）：一套）：10元）元）. 3.系办公室：理学院系办公室：理学院7楼楼713室。室。 6 序序 言言 1.概率论的起源？ 序序 言言 2.概率论的研究对象

4、？ 8 第一章 概率论基础知识 样本空间、随机事件 古典概型与概率 频率与概率 条件概率、独立性 全概率公式与贝叶斯公式 9 $1.$2.$1.$2.随机试验、样本空间、随机事件随机试验、样本空间、随机事件 随机试验的特点(p2) 1.可在相同条件下重复进行； 2.试验可能结果不止一个,但能确定所有的可能结果; 3.一次试验之前无法确定具体是哪种结果出现。 随机试验可表为E 1.1.1 随机试验随机试验(简称简称“试试 验验”) 10 E1: 抛一枚硬币，抛一枚硬币，考虑正反面出现的情况考虑正反面出现的情况; E2: 将一枚硬币连抛三次，考虑正反面出现的情将一枚硬币连抛三次，考虑正反面出现的情

5、 况；况； E3:将一枚硬币连抛三次，考虑正面出现的次数将一枚硬币连抛三次，考虑正面出现的次数; E4:掷一颗骰子，考虑可能出现的点数；掷一颗骰子，考虑可能出现的点数； E5: 记录电话交换台一分钟内接到的呼唤次数；记录电话交换台一分钟内接到的呼唤次数； E6:在一批灯泡中任取一只，测试其寿命在一批灯泡中任取一只，测试其寿命; E7:记录某地一昼夜的最高温度与最低温度记录某地一昼夜的最高温度与最低温度 。 随机试验的例 11 2.1 样本空间样本空间.(p4) 1 1、样本空间样本空间：试验的：试验的所有可能结果所组成的所有可能结果所组成的 集合称为样本空间，记为集合称为样本空间，记为S S；

6、 2 2、样本点样本点: : 试验的每一个结果或样本空间试验的每一个结果或样本空间 的元素称为一个样本点的元素称为一个样本点, ,记为记为e.e. EX EX 给出给出E1-E7的样本空间的样本空间 12 2.2随机事件随机事件(p3) 1.1.定义定义 样本空间样本空间S S的满足一定条件的子集叫的满足一定条件的子集叫 “随机事件随机事件”, , 简称简称“事件事件”. .记作记作A A、B B、C C 等等 称称事件事件A A发生发生当且仅当试验的结果是子集当且仅当试验的结果是子集A A中中 的元素的元素 2.2.由一个样本点组成的单点集由一个样本点组成的单点集称为一个称为一个基本基本 事

7、件事件, ,也记为也记为e e 3.3.两个特殊事件两个特殊事件: : 必然事件必然事件S S 、不可能事件不可能事件 . . 13 将下列事件均表示为样本空间的子集将下列事件均表示为样本空间的子集. . (1) (1) 试验试验 E2 中中(将一枚硬币连抛三次，考虑正将一枚硬币连抛三次，考虑正 反面出现的情况反面出现的情况) ), ,随机事件随机事件: : A A“至少出至少出现现一个正面一个正面” B=“B=“三三 次出现同一面次出现同一面” ” C=“C=“恰好出现一次正面恰好出现一次正面” 14 (1)由 S2= HHH, HHT, HTH, THH，HTT，THT， TTH,TTT；

8、 故: AHHH, HHT, HTH, THH，HTT，THT， TTH； B=HHH,TTT C=HTT，THT，TTH 注：HHH等表示的是一个样本点。 15 2.3事件间的关系与运算事件间的关系与运算(p4) 可见，可以用文字表示事件，也可以将事件表示可见，可以用文字表示事件，也可以将事件表示 为样本空间的子集，后者反映了事件的实质，且为样本空间的子集，后者反映了事件的实质，且 更便于今后计算概率更便于今后计算概率 还应注意，由于事件本质上就是集合还应注意，由于事件本质上就是集合。易见，事。易见，事 件之间的关系是用集合之间的关系来描述。件之间的关系是用集合之间的关系来描述。 16 1.

9、包含关系包含关系(p4)(p4)：若：若A A中的每个样本点都包含在中的每个样本点都包含在B B中，则中，则 称事件称事件B B包含事件包含事件A,A,或事件或事件A A包含于事件包含于事件B.B.记作记作A A B B。 概率含义概率含义: : 若事件若事件A A发生必发生必有事件有事件B B发生发生。 事件相等事件相等：A AB B A A B B且且B B A.A. 17 (p5):由至少属于由至少属于A或或B中的一个的所有样本中的一个的所有样本 点组成的集合（即事件点组成的集合（即事件|A A或或B ）称为事件）称为事件A 与事件与事件B和事件。记作和事件。记作 n个事件个事件A1,

10、A2, An至少有一个发生，记作至少有一个发生，记作 i n i A 1 18 3.(p5) :由所有同时属于由所有同时属于A及及B的样本点组成集合的样本点组成集合 称为事件称为事件A与与B的的记作记作 A BAB 概率含义：事件概率含义：事件A与与B同时发生同时发生 3n个事件个事件A1, A2, An同时发生，记作同时发生，记作 A1A2An 19 4.(p5) ：若若AB ，称，称A与与B互不相容，或互不相容，或 A与与B互斥。互斥。 概率含义：若概率含义：若A与与B互斥，则互斥，则A与与B不可能同时发生。不可能同时发生。 20 5. (p5) A与与B互为逆事件或互为对立事件互为逆事件

11、或互为对立事件 A B S, 且且AB 。 ，称称为为A A的的对对立立事事件件; ;A A记记作作B B 21 6.(p5) ：用用AB表示包含在表示包含在A中而不在中而不在B中的样中的样 本点全体，本点全体，称为称为A与与B的差事件的差事件。 概率含义：概率含义：事件事件A发生而发生而B不发生不发生 思考：何时思考：何时A-B= ?何时何时A-B=A？ B BA AB BA A易易见见 22 u事件的运算事件的运算(p6) 1、交换律：、交换律：ABBA，ABBA 2、结合律、结合律：(AB)CA(BC)， (AB)CA(BC) 3、分配律、分配律：(AB)C(AC)(BC)， (AB)C

12、(AC)(BC) 4、对偶、对偶(De Morgan)律律： ., , k k k k k k k k AAAA BAABBABA 可可推推广广 23 注：其它运算关系：还原律，矛盾律，排中律，分解注：其它运算关系：还原律，矛盾律，排中律，分解 律，差积转换律，吸收律，蕴含律等。律，差积转换律，吸收律，蕴含律等。 . , , , ),( ,AA , , ABBAAB BBAAABBA ABABABA ABABBA SAAAA 且 24 随机事件随机事件 样本空间样本空间 随随 机机 试试 验验 , , , , ,- -, ,互互不不相相容容，互互逆逆 25 EXEX：甲、乙、丙三人各向目标射击

13、一发子弹，以：甲、乙、丙三人各向目标射击一发子弹，以A A、 B B、C C分别表示甲、乙、丙命中目标，试用分别表示甲、乙、丙命中目标，试用A A、B B、C C的的 运算关系表示下列事件：运算关系表示下列事件： : : : : : : 6 5 4 3 2 1 “三人均未命中目标”“三人均未命中目标” “三人均命中目标”“三人均命中目标” ”“最多有一人命中目标“最多有一人命中目标 “恰有两人命中目标”“恰有两人命中目标” “恰有一人命中目标”“恰有一人命中目标” ”“至少有一人命中目标“至少有一人命中目标 A A A A A A CBA CBACBACBA CBABCACAB BACACB

14、ABC CBA 26 EX：设：设A,B,C为事件，证明：为事件，证明： (1) (2) (3) BABAABBA BAABABBA CBAACCABBA)()( 27 古典概型与概率古典概型与概率 主讲教师主讲教师: : 赵慧秀赵慧秀 28 $3.$4 古典概型与概率古典概型与概率 P P（A A）如何计算）如何计算？ 抛一枚硬币，币值面向上的概率为多少？抛一枚硬币，币值面向上的概率为多少？ 掷一颗骰子，出现掷一颗骰子，出现6 6点的概率为多少？点的概率为多少？ 出现出现奇数奇数点的概率为多少？点的概率为多少？ 29 (p6)(p6)若某试验若某试验E E满足满足 1.1.有限性：样本空间有

15、限性：样本空间S See1 1, e , e 2 2 , , , e , e n n ; ; 2.2.等可能性：（公认）等可能性：（公认） P(eP(e1 1)=P(e)=P(e2 2)=)=P(e=P(en n). ). 则称则称E E对应的概率模型为古典概型也叫对应的概率模型为古典概型也叫等可能等可能概型概型 30 设事件A中所含样本点个数为N(A) ，以N(S)记 样本空间S中样本点总数，则有 )( )( )( SN AN AP P(A)具有如下性质 (1) 0 P(A) 1； (2) P(S)1； P( )=0 (3) AB，则 P( A B ) P(A) P(B) 注：（注：（3）可

16、推广到）可推广到n个两两互不相容情形，个两两互不相容情形， 古典概型中的概率古典概型中的概率(P7): )(1)(APAP 31 有三个子女的家庭有三个子女的家庭, ,设每个孩设每个孩 子是男是女的概率相等子是男是女的概率相等, ,则至则至 少有一个男孩的概率是多少少有一个男孩的概率是多少? ? 解解:设设A-至少有一个男孩至少有一个男孩,以以H表示某个孩子是男孩表示某个孩子是男孩 以以T表示某个孩子是女孩。表示某个孩子是女孩。 S=HHH,HHT,HTH,THH,HTT,TTH,THT,TTTS=HHH,HHT,HTH,THH,HTT,TTH,THT,TTT A=HHH,HHT,HTH,TH

17、H,HTT,TTH,THTA=HHH,HHT,HTH,THH,HTT,TTH,THT 8 7 )( )( )( SN AN AP 32 二、古典概型的几类基本问题二、古典概型的几类基本问题 乘法公式：设完成一件事需分两步，乘法公式：设完成一件事需分两步， 第一步有第一步有n n1 1种方法种方法, ,第二步有第二步有n n2 2种方法，种方法， 则完成这件事共有则完成这件事共有n n1 1n n2 2种方法种方法 复习：复习：排列与组合的基本概念排列与组合的基本概念 例：掷两颗例：掷两颗 骰子共有多骰子共有多 少种结果？少种结果？ （有序）（有序） （无序？古（无序？古 典概型？）典概型？）

18、33 加法公式：设完成一件事可有两种途径，第 一种途径有n1种方法，第二种途径有n2种方 法，则完成这件事共有n1+n2种方法。 掷两颗骰子，其中至少有一个掷两颗骰子，其中至少有一个6点，共有多少种（有序）？点，共有多少种（有序）？ 55111 34 有重复排列：从含有有重复排列：从含有n n个元素的集合中随机个元素的集合中随机 抽取抽取k k 次，每次取一个，记录其结果次，每次取一个，记录其结果 后放回，将记录结果排成一列，后放回，将记录结果排成一列， n n n n n n n n 共有共有n nk k种排列方式种排列方式. . 35 无重复排列：从含有无重复排列：从含有n n个元素的集合

19、中随机抽取个元素的集合中随机抽取k k 次，次， 每次取一个，取后不放回，将所取元素排成一列，每次取一个，取后不放回，将所取元素排成一列， 共有共有 =n(n-1)=n(n-1)(n-k+1)(n-k+1)种排列方式种排列方式. . n n n-1n-1 n-2n-2n-k+1n-k+1 k n A 36 组合：从含有组合：从含有n n个元素的集合中随机抽取个元素的集合中随机抽取k k 个，个， 共有共有 种取法. )!( ! ! !knk n k A k n C k nk n 37 1、抽球问题、抽球问题 例例1 设盒中设盒中有有3个白球，个白球，2个红球，现从个红球，现从盒盒中中 任任抽抽

20、2个个球，求取到一红一白的概率。球，求取到一红一白的概率。 解解: 设设A-取到一红一白取到一红一白 2 5 )(CSN 1 2 1 3 )(CCAN 5 3 )( 2 5 1 2 1 3 C CC AP 答答:取到一红一白的概率为取到一红一白的概率为3/5 解法一解法一: 38 解法二解法二 2 5 ( )5 4N SA ( )3 22 3N A 3 22 33 ( ) 5 45 P A 可见可见:随机抽球问题可以用组合法解随机抽球问题可以用组合法解,也可以也可以 用排列法解用排列法解. 关键是关键是:计算事件概率时保证分计算事件概率时保证分 子子,分母在同一个样本空间下讨论（大前题：分母在

21、同一个样本空间下讨论（大前题： 样本空间中的各个样本点等可能性）样本空间中的各个样本点等可能性）. 39 一般地，设一般地，设盒盒中有中有N个球，其中有个球，其中有M个白球，现个白球，现 从中任从中任抽抽n个个球，则这球，则这n个个球中恰有球中恰有k个白球的概个白球的概 率是率是 n N kn MN k M C CC p 40 在实际中，产品的检验、疾病的抽查在实际中，产品的检验、疾病的抽查 、农作物的选种等问题均可化为随机、农作物的选种等问题均可化为随机 抽球问题。我们选择抽球模型的目的抽球问题。我们选择抽球模型的目的 在于使问题的数学意义更加突出，而在于使问题的数学意义更加突出，而 不必过

22、多的交代实际背景不必过多的交代实际背景。 41 2、分球入盒问题、分球入盒问题 例例2 2 将将3 3个球随机的放入个球随机的放入3 3个盒子中去，问：个盒子中去，问： （1 1）每盒恰有一球的概率是多少？）每盒恰有一球的概率是多少？ （2 2）空一盒的概率是多少？）空一盒的概率是多少？ 解解: :设设A:A:每盒恰有一球每盒恰有一球,B:,B:空一盒空一盒 3 3)( SN! 3)( AN 9 2 )( AP 1)(全有球全有球空两合空两合PPBP 3 2 9 2 3 3 1 3 (1) (2) 解法一解法一:(用对立事件用对立事件) 42 2 3 3 3 22 ( ) 33 C P B (

23、2) 解法二解法二:(空一盒相当于两球一起放在一个盒子中空一盒相当于两球一起放在一个盒子中, 另一球单独放在另一个盒子中另一球单独放在另一个盒子中) 3 3 322 2 ( ) 33 P B (2) 解法三解法三:(空一盒包括空一盒包括1号盒空号盒空,2号号 盒空盒空,3号盒空且其余两盒全满这三种号盒空且其余两盒全满这三种 情况情况) 答答:每盒恰有一球的概率为每盒恰有一球的概率为2/9;空一盒的概率是空一盒的概率是2/3. 43 一般地，把一般地，把n n个个球随机地分配到球随机地分配到N N个盒子中去个盒子中去(n(n N)N)， 则每盒至多则每盒至多有一有一球的概率是：球的概率是： n

24、n N N A p 某班级有某班级有n 个人个人(n 365)， 问至少有两个人的生日在同一天问至少有两个人的生日在同一天 的概率有多大？的概率有多大？ 44 3.分组问题分组问题 例例3 30名学生中有名学生中有3名运动员，将这名运动员，将这30名学生平均分名学生平均分 成成3组，求：组，求： （1）每组有一名运动员的概率；）每组有一名运动员的概率； （2）3名运动员集中在一个组的概率。名运动员集中在一个组的概率。 解解:设设A:每组有一名运动员每组有一名运动员;B: 3名运动员集中在一组名运动员集中在一组 101010 302010 ( )N SC C C 30人人 (1) (2) (3)

25、 30!20! 1 10! 20! 10! 10! 30! 10! 10! 10! 45 !. ! 1m nn n 一般地，把一般地，把n个个球随机地分成球随机地分成m组组(nm), 要求第要求第 i i 组恰组恰 有有ni个球个球(i=1,m)，共有分法：，共有分法： 46 27! 3! 509! 9! 9! (1)( ) ( )203 P A N S 30人人 (1) (2) (3) (2) 解法一解法一 (“3名运动员集中在一个组名运动员集中在一个组”包括包括 “3 名运动员名运动员都都在在第第一组一组”, “3名运动员名运动员都都在在第二第二组组”, “3名运动员名运动员都都在在第三第

26、三组组”三种情况三种情况.) 710101071010107 27201027171027177 ( ) 30! 10! 10! 10! 18 203 C C CC C CC C C P B 47 71010 272010 318 ( ) 30! 203 10! 10! 10! C C C P B 30人人 (1) (2) (3) (2) 解法二解法二 (“3名运动员集中在一个组名运动员集中在一个组”相当于相当于 “取一组有取一组有3名运动员名运动员,7名普通队员名普通队员,其余两组分配其余两组分配 剩余的剩余的20名普通队员名普通队员.) 答答:每组有一名运动员的概率每组有一名运动员的概率为

27、为50/203; 3名运动员集中在一个组的概率名运动员集中在一个组的概率为为18/203. 48 注注:其它方法，例如考虑将其它方法，例如考虑将30个人排列到个人排列到30个格子：个格子： !30 !27102030 )( AP !30 !27 )( 3 10 1 3 AC BP 或者也可仅仅考虑运动员分到或者也可仅仅考虑运动员分到30个格子：个格子： 3 30 3 10 1 3 3 30 /)()( /)102030()( AACBP AAP 49 4 4 随机取数问题随机取数问题 例例4 4 从从1 1到到200200这这200200个自然数中任取一个个自然数中任取一个, , (1) (1

28、)求取到的数能被求取到的数能被6 6整除的概率整除的概率 (2)(2)求取到的数能被求取到的数能被8 8整除的概率整除的概率 (3)(3)求取到的数既能被求取到的数既能被6 6整除也能被整除也能被8 8整除的概率整除的概率 解解: :设设A,B,CA,B,C分别表示上述三个事件分别表示上述三个事件,N(S)=200,N(S)=200, N(C)=200/24=8N(C)=200/24=8 N(A)=200/6=33,N(A)=200/6=33,N(B)=200/8=25N(B)=200/8=25 A,B,C的概率分别的概率分别:33/200,1/8,1/25:33/200,1/8,1/25 5

29、0 5252张扑克（大小王拿出后）平均分发给甲、乙、张扑克（大小王拿出后）平均分发给甲、乙、 丙、丁丙、丁4 4个人，求个人，求(1)(1)甲拿到甲拿到4 4个个A A的概率；的概率； (2)4(2)4个个A A在一个人手上的概率；在一个人手上的概率； (3)(3)每人手上都有每人手上都有A A的概率。的概率。 99 4848 1313 5252 12121212 48362412 13131313 52392613 41144 (1), (2) 41654165 42197 (3) 20825 CC CC C C C C C C C C 答： ！ 51 古典概型古典概型 随机抽球随机抽球 问

30、题问题 随机分球问题随机分球问题 (球入盒和分组球入盒和分组) 随机取数随机取数 问题问题 52 概率与条件概率概率与条件概率 开课系：理学院开课系：理学院 统计与金融数学系统计与金融数学系 主讲教师主讲教师: : 赵慧秀赵慧秀 53 (一）频率一）频率(p6) 定义定义 事件事件A在在n次重复试验中出现次重复试验中出现nA次，则比值次，则比值 nA/n称为事件称为事件A在在n次重复试验中出现的次重复试验中出现的频率频率，记，记 为为fn(A). 1.3 频率与概率频率与概率 n n Af A n )( 54 频率的性质频率的性质 (1) 0 fn(A) 1； (2) fn(S)1； fn(

31、)=0 (3) 可加性：若可加性：若AB ，则则 fn(A B) fn(A) fn(B). 注注：（：（3）可推广到）可推广到n个两两互不相容事件的情形。个两两互不相容事件的情形。 55 历史上曾有人做过试验,试图证明抛掷匀质硬币时 ，出现正反面的机会均等。 实验者实验者 n nH fn(H) De Morgan 2048 1061 0.5181 Buffon（法）（法） 4040 2048 0.5069 K. Pearson 12000 6019 0.5016 K. Pearson 24000 12012 0.5005 实践证明：实践证明： 当试验次数当试验次数n增大时，增大时， fn(A)

32、 逐渐逐渐 趋向一个稳定值趋向一个稳定值。可将可将 此稳定值记作此稳定值记作P(A)作为事件作为事件A的概率（的概率（概率的统计定义概率的统计定义） 56 若对随机试验若对随机试验E所对应的样本空间所对应的样本空间S中的每一事件中的每一事件 A，均赋予一实数均赋予一实数P(A)，满足：满足： (1) 非负性非负性: P(A) 00； (2) 归一性归一性: P(S)1； (3) 可列可加性：设可列可加性：设A1，A2，, 是一列两两互是一列两两互 不相容的事件，即不相容的事件，即AiAj ，(i j), i , j1, 2, , 有有 P( A1 A2 ) P(A1) P(A2)+. 则称则称

33、P(.)为为定义在定义在S上上的的一个一个概率。概率。 概率的公理化定义概率的公理化定义(p8) 57 2.概率的性质概率的性质 (p8-p9) 0)()1( P 证证:.SS ( )( )( ).( ).P SP SPP ( ).( ).0PP ( )0P而 ( )0P 58 (2) 有限有限可加性可加性：设A1，A2，An , 是n个两两互不 相容的事件，即AiAj ，(ij), i , j1, 2, , n , 则 有 n i in APAAP 1 1 )().( 证证: 1212 . nn AAAAAA 1212 (.)(.) nn P AAAP AAA 12 1 ()().() ()

34、 n n i i P AP AP A P A 59 (3) 单调不减性单调不减性：若事件：若事件A B，则则P(A)P(B) 且且P(A-B)=P(A)-P(B)。 证证: P AP BP AB BAB且 0P AP BP AB ABAB P AP B (4) 对于任一事件对于任一事件A,1)( AP 60 P AP ABP AB ABAB且 P ABP AP AB (5)事件差事件差 A、 、B是两个事件，则 是两个事件，则 P(A-B)=P(A)P(AB) AABAB 证证: 61 (6) 加法公式：加法公式：对任意两事件对任意两事件A、B，有有 P(A B)P(A)P(B)P(AB) P

35、 ABP BP AB BAB且 ( )P BP AP AB ABBAB 证证: ( )( )( ) ()()()() P ABCP AP BP C P ABP BCP ACP ABC 62 (7) 互补性互补性 )(1)(APAP SAA 证证: AA且 1( )P SP AAP AP A )(1)(APAP 注：注：P(AUB)P(A)+P(B)。 ).() 1(.)()().( 21 1 11 21n n ji ji n i in AAAPAAPAPAAAP 该公式该公式可推广到可推广到任意任意n个的情形个的情形,例如例如 63 例例1. 某市有甲某市有甲,乙乙,丙三种报纸丙三种报纸,订每

36、种报纸的订每种报纸的 人数分别占全体市民人数的人数分别占全体市民人数的30%,其中有其中有10% 的人同时订甲的人同时订甲,乙两种报纸乙两种报纸.没有人同时订甲没有人同时订甲 丙或乙丙报纸丙或乙丙报纸.求从该市任选一人求从该市任选一人,他至少订他至少订 有一种报纸的概率有一种报纸的概率. )()()()( )()()()( ABCPBCPACPABP CPBPAPCBAP 解解: 设设A,B,CA,B,C分别表示选到的人订了甲分别表示选到的人订了甲, ,乙乙, ,丙报丙报 %80000%103%30 答答: 他至少订有一种报纸的概率为他至少订有一种报纸的概率为80%. 64 例例2.(p12)

37、 在在1 1 1010这这1010个自然数中任取一数，求个自然数中任取一数，求 （1 1）取到的数能被）取到的数能被2 2或或3 3整除的概率，整除的概率， （2 2）取到的数既不能被）取到的数既不能被2 2也不能被也不能被3 3整除的概率，整除的概率， （3 3）取到的数能被）取到的数能被2 2整除而不能被整除而不能被3 3整除的概率。整除的概率。 解解:设设A取到取到的数能被的数能被2 2整除整除; ; B-B-取到取到的数能被的数能被3 3整除整除 2 1 )(AP 10 3 )(BP 故故 )()()()() 1 (ABPBPAPBAP 10 1 )(ABP 10 7 )(1)()2(

38、BAPBAP 10 3 )()()()3(ABPAPBAP 5 2 65 作业作业（1）：2，3，5，6(2),(4) 66 作业（2）：2, 3, 4, 5, 6,7 67 袋中有十只球，其中九只白球，一只红球，十人依 次从袋中各取一球(不放回)，问 第一个人取得红球的概率是多少？ 第i个人取得红球的概率是多少？(i=1,10) 1,2,.,10 9!1 (),1,2,.,10 10!10 i P Ai 人 i i 答答：设设A A 表示表示第第i i取取到到红红球球,i ,i 推广：m+n个球，其中有m个白球，n个黑球。则第i个人摸到白 球的概率为m/(m+n)。 68 若已知第一个人取到

39、的是白球，则第二个人 取到红球的概率是多少？ 已知事件A发生的条件下， 事件B发生的概率称为 A条件下B的条件概率，记作P(B|A) 若已知第一个人取到的是红球 ，则第二个人取到红球的概率 又是多少？ 69 条件概率和独立性条件概率和独立性 开课系：理学院开课系：理学院 统计与金融数学系统计与金融数学系 主讲教师主讲教师: : 赵慧秀赵慧秀 70 例1 设袋中有3个白球，2个红球，现从袋中任意抽取两次， 每次取一个，取后不放回， （1）已知第一次取到红球，求第二次也取到红球的 概率; （2）求第二次取到红球的概率 解：设A第一次取到红球,B第二次取到红球. 1 (1)(|) 4 P B A 2

40、 (2) ( ) 5 P B 1.5 条件概率条件概率 一、定义一、定义 注：条件概率计算的思想，直接在事件A发生的条件下重新考虑样 本空间计算。 71 有没有其它更易操作的计算方法？ 考虑：掷一颗均匀的骰子，A:掷出2点，B:掷出偶数 点，如何计算P(A/B)? B AB n n BAP 3 1 )/( A=2, B=2,4,6 72 S= A AB 例1：A第一次取到红球, B第二次取到红球 73 显然，若事件A、B是古典概型的样本空间S中的两个事件 ，其中A含有nA个样本点,AB含有nAB个样本点，则 A AB n n ABP)|( 称为事件A发生的条件下事件B发生的条件概率(p14)

41、一般地，设A、B是S中的两个事件，P(A)0, 则 () ( ) P AB P A AB A n n n n () (|)(5.2) ( ) P AB P B A P A 74 “条件概率”是“概率”吗？ 何时P(A|B)=P(A)? 何时P(A|B)P(A)? 何时P(A|B) P(B|A)=P(AB)/P(A)0 (2) P(S)1; = P(S|A)=P(AS)/P(A)=1 (3) 可列可加性 设BC=, P( BC|A)=P(BC)A/P(A) =P(BACA)/P(A)=P(BA)/P(A)+P(CA)/P(A) =P(B|A)+P(C|A) 注：下列性质中的事件的逆不要 取错位置

42、： )/(1)/( _ ABPABP 75 例2 一盒中混有100只新 ,旧乒乓球，各有红、 白两色，分 类如下表。从盒中随机取出一球， 若取得的是一只红球，试求该红球是新球的概 率。 红白 新4030 旧2010 设A-从盒中随机取到一只红球. B-从盒中随机取到一只新球. 60 A n40 AB n 3 2 )|( A AB n n ABP 76 某牌号的电视机使用到3万小时的概率为0.6，使用到5 万小时的概率为0.24，一台电视机已使用到3万小时，求这 台电视机能使用到5万小时的概率。 解:设A=使用到3万小时,B=使用到5万小时，于是 则 77 二、乘法公式 (p15) 设A、B为两

43、个事件，P（A）0,则 P(AB)P(A)P(B|A). (5.2) 式(1.4.1)就称为事件A、B的概率乘法公式。 式(1.4.1)还可推广到三个事件的情形： P(ABC)P(A)P(B|A)P(C|AB). 一般地，有下列公式： P(A1A2An)P(A1)P(A2|A1).P(An|A1An1). 计算的思想：复杂事件的概率按照事件发生的先后顺序分解成简单 事件的概率计算。直观的理解：试验结果按照先后顺序由n步组成， 例：10个人摸球（9白1红），P(A5)= 78 例3 盒中有3个红球，2个白球，每次从盒中任取一只，观 察其颜色后放回，并再放 入一只与所取之球颜色相同的球，若从盒中连

44、续取球4次, 试求第1、2次取得白球、 第3、4次取得红球的概率。 解：设Ai为第i次取球时取到白球，则 )|()|()|()()(3 21 4 21 3 121 43 21 AAAAPAAAPAAPAPAAAAP 5 2 )( 1 AP 6 3 )|( 12 AAP 7 3 )|( 21 3AAAP 8 4 )|(3 21 4AAAAP 70 3 8 4 7 3 6 3 5 2 )(43 21 AAAAP 79 某商店搞抽奖活动.顾客需过三关,第i关从装有 i+1个白球和一个黑球的袋子中抽取一只,抽到黑球即过关. 连过三关者可拿到一等奖.求顾客能拿到一等奖的概率. 123121312 ( )

45、()() (|) (|) 1111 34560 P BP A A AP A P AA P AA A 解:设Ai: “顾客在第i关通过”;B: “顾客能拿到一等 奖”, 答:顾客能拿到一等奖的概率为1/60. 80 1.6、全概率公式与贝叶斯公式、全概率公式与贝叶斯公式 例4.市场上有甲、乙、丙三家工厂生产的同一品牌产品， 已知三家工厂的市场占有率分别为1/4、1/4、1/2，且三 家工厂的次品率分别为 2、1、3，试求市场上该品 牌产品的次品率。 买买到到一一件件丙丙厂厂的的产产品品 买买到到一一件件乙乙厂厂的的产产品品 买买到到一一件件甲甲厂厂的的产产品品 ：买买到到一一件件次次品品设设：

46、: : : 3 2 1 A A A B 81 )()|()()|()()|( 332211 APABPAPABPAPABP 111 0.020.010.03 442 0.0225 )()()()( 321 BAPBAPBAPBP 82 定义 (p19)事件组A1，A2，An (n可为)，称为样本 空间S的一个划分，若满足： .,.,2 , 1,),(,)( ;)( 1 njijiAAii SAi ji n i i A1 A2 An B 83 定理1 (全概率公式, p19) 设A1，, An是S的 一个划分，且P(Ai)0，(i1，n)， 则对任何事件BS有 n i ii ABPAPBP 1

47、)|()()( 注：(1)常见错误: 例如：统计南京市人口的死亡率，95为普通人口（死亡率5）， 5为非普通（死亡率95），则南京市人口的死亡率为： 95* 5 + 5* 95 （2）为了便于计算，引入一个适当的划分。 划分的理解：引起事件B发生的两两互不相容的全部原因：A1,An， 全概率公式：由原因结果。 n i i ABPBP 1 )|()( 84 例4.（续）市场上有甲、乙、丙三家工厂生产的同一品牌产 品，已知三家工厂的市场占有率分别为1/4、1/4、1/2，且三 家工厂的次品率分别为 2、1、3，若买到一个次品， 则它是甲厂生产的概率是多少？ 解：设B买到一件次品；Ai, i=1,2

48、,3分别表示买到甲、乙、 丙厂产品。 111 1 112233 ()(|) () (|) ( )(|) ()(|) ()(|) () 0.02 0.25 0.22 0.0225 P ABP B A P A P A B P BP B A P AP B A P AP B A P A 答：若买到一个次品，则它是甲厂生产的概率是0.22. 85 定理2 (贝叶斯公式p20) 设A1，, An是S的一个划分，且 P(Ai) 0，(i1，n)，则对任何事件BS，有 ),.,1( , )|()( )|()( )|( 1 ni ABPAP ABPAP BAP n j jj ii i 86 例 5 有甲乙两个袋

49、子，甲袋中有两个白球，1个红球，乙袋中 有两个红球，一个白球这六个球手感上不可区别今从甲袋 中任取一球放入乙袋，搅匀后再从乙袋中任取一球， (1) 问此球是红球的概率？ (2) 若从乙袋中取到一个红球,则从甲袋放入乙袋的是 白球的概率是多少? 甲 乙 87 解：设A从甲袋放入乙袋的是白球； B从乙袋中任取一球是红球； 甲 乙 74)()()|()()()|()2(BPAPABPBPABPBAP 12317 234312 )()|()()|()( ) 1 (APABPAPABPBP 88 已知某种疾病的发病率为0.1%, 该种疾 病患者一个月内的死亡率为90%；且知未患该 种疾病的人一个月以内的

50、死亡率为0.1%；现 从人群中任意抽取一人，问此人在一个月内 死亡的概率是多少？若已知此人在一个月内 死亡，则此人是因该种疾病致死的概率为多 少？ 89 45. 0 002. 0 001. 09 . 0 )( )( )|( 002. 0)()|()()|()( AP ABP ABP BPBAPBPBAPAP 解:设 A: “某人在一个月内死亡”; B: “某人患有该种疾病”,则 90 1.5 事件的独立性事件的独立性 一、两事件独立一、两事件独立 定义 (p16) 设A、B是两事件，若 P(AB)P(A)P(B)(5.5) 则称事件A与B相互独立。 注 ：1.当P(A) 0,式(5.5)等价于