1、LOGO LOGO 矩阵论矩阵论 48学时学时 第第2-x周周 矩阵论矩阵论 杨明主编杨明主编 华中科技大学出华中科技大学出 版社版社(第第2版版, 第第6 次印刷次印刷), 2011 课程教材课程教材开课班级开课班级课程名称课程名称 2012-2013学年第一学期学年第一学期 2班：班： 机械，船海机械，船海 9班：班： 光电，管理光电，管理 （C12，N104） 数学的地位；网络时代；三种基本数学的地位；网络时代；三种基本语言语言 ； 数学与素质教育（李大潜院士）（李大潜院士） 数学是一种语言、一个工具、一个基础、一门科 学、一门技术、一种文化， ； 高新技术本质上是一种数学技术 数学教育
2、本质上是一种素质教育（李大潜院士）（李大潜院士） 树立明确的数量观念，“胸中有数”； 提高逻辑 思 维能力；培养认证细致、一丝不苟的作风和习惯； 形成精益求精的风格；提高运用数学知识解决复杂的 实际问题的意识、信念和能力；增强拼搏精神和应变 能力；调动探索精神和创造力；培养数学上的直觉和 想象力 数学的地位数学的地位 与作用与作用 数学教育数学教育 本质上是本质上是 一种素质一种素质 教育教育 数学是一种语言、一个数学是一种语言、一个 工具、一个基础、一门工具、一个基础、一门 科学、科学、 一门技术、一种一门技术、一种 文化，文化，； 高新技术本质上是一种高新技术本质上是一种 数学技术数学技术
3、 李大潜：将数学建模思想融入数学李大潜：将数学建模思想融入数学 类主干课程，中国大学数学，类主干课程，中国大学数学，2006 数学是科数学是科 学的语言学的语言 矩阵是数矩阵是数 学的语言学的语言 课程学习的两个主要目的：课程学习的两个主要目的： 学习数学的语言；学习数学的思维学习数学的语言；学习数学的思维 （科学素质）（科学素质） 1 2 3 4 矩阵理论及其应用介绍矩阵理论及其应用介绍 课程教学安排课程教学安排 教学参考材料教学参考材料 教学指导意见教学指导意见 线性空间与线性变换线性空间与线性变换(Ch1) 矩阵理论的应用对象矩阵理论的应用对象 矩阵理论的发展基础矩阵理论的发展基础 广义
4、逆广义逆(Ch4) K,H积积(Ch6) 技术基础技术基础 应用基础应用基础 理论基础理论基础 矩阵代数矩阵代数 矩阵理论矩阵理论 矩阵分析矩阵分析 矩阵分块矩阵分块 矩阵变换矩阵变换 矩阵分解矩阵分解 表示功能表示功能 计算功能计算功能 分析功能分析功能 矩阵矩阵 理论理论 数据数据 压缩压缩 人像人像 识别识别 图像图像 处理处理 一个数学方法的更新将带来一个更快的数字世界。一个数学方法的更新将带来一个更快的数字世界。 数学文化，第二卷第一期，数学文化，第二卷第一期，2011。 讲授章节讲授章节 学时配置学时配置 课程考试课程考试 第第1章至第章至第6章章 章章1：10学时；章学时；章2：
5、8学时；章学时；章3：8学时；学时； 章章4：6学时；章学时；章5：8学时；章学时；章6：6学时；学时； 教材和授课内容教材和授课内容 教学参考书教学参考书 Company Logo (matrix laboratory) 学习指导意见学习指导意见 应用能力应用能力 课程基础课程基础 理论与概念理论与概念 练习与计算练习与计算 LOGO LOGO v1.1 1.1 线性空间线性空间 向量空间向量空间 R n 要点：要点：空间的代数与几何空间的代数与几何结构结构，与向量空间，与向量空间R n 的关的关 系系 v1.2 1.2 内积内积空间空间 向量空间向量空间 R n 要点：线性空间中向量的要点
6、：线性空间中向量的度量度量，R n中的内积的推中的内积的推 广广 v1.3 1.3 线性线性变换变换 矩阵空间矩阵空间 R m n 要点：要点：线性线性空间之间的空间之间的映射映射（线性映射），与矩阵（线性映射），与矩阵 空间空间Rm n的关系的关系 适当复习线性代数的相关知识！适当复习线性代数的相关知识！ v 内容概述内容概述： 线性空间的一般概念线性空间的一般概念 重点重点：空间的代数与几何结构，度量，与向量空间：空间的代数与几何结构，度量，与向量空间R n 的关的关 系系 线性变换线性变换 重点：重点：矩阵处理方法，与矩阵的关系矩阵处理方法，与矩阵的关系 v 特点特点： 研究代数结构研究
7、代数结构具有具有线性运算线性运算的集合的集合 研究几何结构研究几何结构空间的空间的维数和基维数和基 看重的不是研究对象本身，而是对象之间的结构关系看重的不是研究对象本身，而是对象之间的结构关系 研究的关注点：对象之间数量关系的矩阵处理研究的关注点：对象之间数量关系的矩阵处理 学习特点：具有抽象性和一般性学习特点：具有抽象性和一般性 一、线性空间的概念一、线性空间的概念 vn 维向量空间维向量空间Rn (R2，R3): 结构结构, 表示表示, 运算运算, 度量等度量等 vRn到线性空间的推广思想：到线性空间的推广思想： 抽象出线性运算的本质，在任意研究对象的集合上定义抽象出线性运算的本质，在任意
8、研究对象的集合上定义 具有线性运算的代数结构。具有线性运算的代数结构。 v线性空间的定义线性空间的定义（定义定义1.1（P 1） 三要素三要素： V(F), 加法与数乘加法与数乘, 运算性质运算性质 集合集合V与数域与数域F 向量的加法和数乘向量运算向量的加法和数乘向量运算 运算性质的公理定义（运算性质的公理定义（8条）和特殊元素条）和特殊元素 n数域：数域：四则运算封闭的数集，本身就是线性空间（自身上四则运算封闭的数集，本身就是线性空间（自身上 的）！如有理数域的）！如有理数域Q，实数域，实数域R ，复数域，复数域C等。等。 v F n= X = ( x1，x2，xn )T：xi F 运算运
9、算：向量加法和数乘向量：向量加法和数乘向量 R n ；C n v F m n = A=aijm n：a ij F ； 运算运算：矩阵的加法和数乘矩阵：矩阵的加法和数乘矩阵 R m n ；C m n v Pn x = ：ai R （n-1阶阶多项式空间多项式空间） 运算 运算：多项式的加法和数乘：多项式的加法和数乘 Ca，b = f (x)：f (x) 为为 a，b 上连续上连续(实实)函数函数 运算运算：函数的加法和数乘：函数的加法和数乘 (还有还有C1a，b等等 ) n 不一样的线性空间：不一样的线性空间：V=R+，F=R，a b = ab， a = a 1 0 ( ) n i i i p
10、xa x n例子：次数为例子：次数为n-1的实多项式集合：的实多项式集合： ：ai R，且且 an-1不为零不为零 ； 平面上不过原点的直线上的点的集合，如平面上不过原点的直线上的点的集合，如 V= (x1, x2)： x1, x2 R，且且 x1+ x2 =1 ； 空间中不过原点的直线或平面上的点的集合。空间中不过原点的直线或平面上的点的集合。 1 0 ( ) n i i i p xa x v例子：次数为例子：次数为n-1的实多项式集合：的实多项式集合： ：ai R，且且 an-1不为零不为零 ； 平面上不过原点的直线上的点的集合，如平面上不过原点的直线上的点的集合，如 V= (x1, x2
11、)： x1, x2 R，且且 x1+ x2 =1 ； 空间中不过原点的直线或平面上的点的集合。空间中不过原点的直线或平面上的点的集合。 1 0 ( ) n i i i p xa x n判别：如判别：如 向量加法或数乘不封闭；向量加法或数乘不封闭； 不含特殊元素；不含特殊元素； v线性空间的一般形式：线性空间的一般形式： V (F) ， V中元素被统称为向量中元素被统称为向量： ， ， ， v线性空间的简单性质（共性）：线性空间的简单性质（共性）： 定理定理1.1 V (F) 具有性质：具有性质： （1） V (F)中的零元素是惟一的。中的零元素是惟一的。 （2） V (F) 中任何元素的负元素
12、是惟一的。中任何元素的负元素是惟一的。 （3）数零和零元素的性质：）数零和零元素的性质： 0 =0，k0=0，k =0 =0 或或 k=0 （4） = （ 1） v向量的线性相关与线性无关：向量的线性相关与线性无关： 定义形式和向量空间定义形式和向量空间Rn中的定义一样。中的定义一样。 有关性质与定理和有关性质与定理和Rn中的结果一样。中的结果一样。 例题例题1 证明证明C0，1空间中的向量组空间中的向量组 ex，e2x，e3x ，enx，x 0，1 线性无关。线性无关。 v基与维数的概念基与维数的概念(P 3) 定义定义1.2 设设V(F)为线性空间，若存在一组为线性空间，若存在一组线性无关
13、线性无关的的 向量向量 1， 2， n，使得，使得V中任一向量均可由其中任一向量均可由其线性线性 表示表示，即任给，即任给 ，存在，存在F中数组中数组 x1，x2，xn ，使使 得得 = x1 1 + x2 2 + x3 3 + xn n， 则称向量组则称向量组 1， 2， n 为为V的的一组基一组基，基中所，基中所 含向量的个数称为含向量的个数称为V的的维数维数，记为，记为 dim V = n, n + ， 或或 n=+ . n 有用的记号：有用的记号： = n n x x x 2 1 21 ),.,( n 1i ii x v常见线性空间的基与维数：常见线性空间的基与维数： F n= X =
14、 ( x1，x2，xn )T：xi F ，dim Fn =n， ( x1，x2，xn )T= , ei=(0, 0, , i, 0, , 0)T, e1，e2，,en 线性无关，构成一组基，称为线性无关，构成一组基，称为自然基自然基 Rm n =A =aij: aij R, 自然基自然基 Eij , dim Rm n =m n， A=aij=aijEij，矩阵矩阵Eij的第的第i行行j列元素为列元素为1，其余元素，其余元素 为为0。 如如 R2 2 n i iie x 1 v常见线性空间的基与维数：常见线性空间的基与维数： Pn x ， ，自然基 自然基1，x，x2，x3, x n-1，dim
15、Pn x =n P x :（实或复）多项式全体，（实或复）多项式全体， 自然基自然基 1, x, x2, , x n-1 ，dimP x = + Ca，b, 1, x, x2, , x n-1 Ca, b, dim Ca，b = + 复数集复数集C: 作为作为C上的线性空间；上的线性空间； 作为作为R上的线性空间上的线性空间 基与维数：基与维数： 1， dim C=1； 1, i, dim C=2 约定约定： Vn(F)表示数域表示数域F上的上的 n 维线性空间。维线性空间。 本课程只研究有限维线性空间。本课程只研究有限维线性空间。 n 定理定理1.2 Vn(F)中任中任n个线性无关的向量均构
16、成它的基。个线性无关的向量均构成它的基。 1 定义定义1.3 (P3)(P3) 设设 1， 2， n 是线性空间是线性空间 的一组基，的一组基， ，有，有 = ，则称，则称x1， x2，xn 是是 在基在基 i下的坐标下的坐标，称，称X=(x1, x2, , xn)T 为为 在基在基 i下的下的坐标向量坐标向量，简称坐标，简称坐标。 例例1：求求 R2 2中中向量向量 在基在基 Eij 下的坐标。下的坐标。 54 13 )F(V n n 1i ii x)F(V n 要点：要点： 坐标与基有关，向量在给定基下的坐标惟一；坐标与基有关，向量在给定基下的坐标惟一； 坐标的表达形式：坐标的表达形式：F
17、n中向量中向量 ? 2221 1211 aa aa v例例2 设空间设空间P4x的两组基为：的两组基为： 1，x，x2，x3 和和 1，(x 1)1，(x 1)2，(x 1)3 求求 f (x) = 2+3x+4x2+x3 在这两组基下的坐标在这两组基下的坐标。 归纳归纳： 线性空间线性空间Vn(F)在任意一组基下的坐标属于在任意一组基下的坐标属于Fn 。 每一个常用的线性空间都有一组每一个常用的线性空间都有一组“自然基自然基”，在，在 这组基下，向量的坐标容易求得。这组基下，向量的坐标容易求得。 求坐标方法的各异性。求坐标方法的各异性。 (x 1)(x x0) 坐标关系坐标关系 v Vn(F
18、) Fn 基基 1， ， 2， , n v 由此建立一个由此建立一个一一对应一一对应关系关系 Vn(F)， X Fn， ( ) = X ( 1+ 2) = ( 1)+ ( 2) (k ) = k ( ) v 在关系在关系 下，线性空间下，线性空间Vn(F) 和和 Fn 同构同构 v定理定理1.3 Vn(F)中向量中向量 1， ， 2， ， n 线性相关线性相关 它们的坐标它们的坐标 X1 , X2, , Xn 在在Fn中线性相关。中线性相关。 v同构保持线性关系不变。同构保持线性关系不变。 v应用：应用： 借助于空间借助于空间Fn中已经有的结论和方法研究一般中已经有的结论和方法研究一般 线性空
19、间的线性关系。线性空间的线性关系。 设设R2 2中向量组中向量组 Ai 31 20 A2 21 11 A1 10 13 A3 73 42 A4 1 讨论讨论Ai的线性相关性；的线性相关性； 2 求向量组的秩和极大线性无关组；求向量组的秩和极大线性无关组； 3 把其余的向量表示成极大线性无关组的把其余的向量表示成极大线性无关组的 线性组合。线性组合。 n例例10(P5) 讨论讨论P4x中向量中向量 f1 = 1+2x+4x3 , f2 = x+x2+4x3 , f3 = 1+x-3x2 , f4 = -2x+x3 的的 线性相关性。线性相关性。(线性无关，构成一组基！线性无关，构成一组基！) 解
20、：取自然基，转化为坐标（系数）空间解：取自然基，转化为坐标（系数）空间R4中的问题。中的问题。 v 讨论：讨论： 不同的基之间的关系不同的基之间的关系 同一个向量在不同基下坐标之间的关系同一个向量在不同基下坐标之间的关系 v 基变换公式基变换公式 设空间中有两组基：设空间中有两组基： ,., 21n nnnn C ) . () . ( 2121 过渡矩阵过渡矩阵C的性质：的性质： C的第的第i列是列是 i 在基在基 k 下的坐标下的坐标 C为非奇异矩阵为非奇异矩阵 则则 12 , n 已知已知 空间中两组基：空间中两组基： 满足满足: ; v讨论讨论X和和Y的关系的关系 X n ) . ( 2
21、1 nnnn C ) . () . ( 2121 Y n ) . ( 21 定理定理1.4 ,., 21n 12 , n 如何求过度矩阵？如何求过度矩阵？ 从定义出发（坐标表示）；从定义出发（坐标表示）； 对对Fn,可通过矩阵求逆：由可通过矩阵求逆：由 有有 nnnn C ) () ( 2121 ) () ( 21 1 21nnnn C 定理定理1.4的应用的应用: 知知C和和Y，求，求X=CY；或知；或知C 和和X，求，求Y=C-1X。 ) () ( 21 1 21 1 nnnn C 或 v例题例题 已知空间已知空间R2 2中两组基中两组基（I）Eij （II） 1.求从基（求从基（I）到基
22、（到基（II）的过渡矩阵的过渡矩阵C。 2.求向量求向量 在基（在基（II）的坐标的坐标Y。 00 12 01 10 13 00 30 00 21 37 例题例题11（P6） 解：可看作空间解：可看作空间R4中的问题，则解法与例中的问题，则解法与例11类似。类似。 例题例题12(P7): 求求P4x中向量在中向量在例例10基中的坐标。基中的坐标。 v概述概述：线性空间线性空间Vn(F)中，向量集合中，向量集合V的的子集合子集合可可 以有集合的运算和关系：以有集合的运算和关系： W1 ，W2 V: W1 W2， W1 W2， v问题问题：这些关系或运算的结果是否仍然为线性空这些关系或运算的结果是
23、否仍然为线性空 间间 ？空间的分解（子空间表示）？空间的分解（子空间表示）？ x2 x1 o R2 W2 W1 W4 W3 R2 = W3+W4 x2 x1 o W4 W3 (x1, x2)(0, x2) (x1, 0) v定义定义1.5：设集合设集合W Vn(F)，W ，如果如果W 中的元素关于中的元素关于Vn(F)中的线性运算也构成线性空中的线性运算也构成线性空 间，则称间，则称W是是Vn(F)的一个子空间的一个子空间。 v任何线性空间任何线性空间Vn(F)，均有两个平凡子空间：均有两个平凡子空间： Vn(F) 和和 0(零元素空间零元素空间, 规定维数为规定维数为0) v判别方法：判别方
24、法：定理定理1.5 vW是子空间是子空间 W对对Vn(F)的的线性运算封闭线性运算封闭。 子空间本身就是线性空间。子空间本身就是线性空间。 子空间的判别方法可以作为判别某些线性空间的方法。子空间的判别方法可以作为判别某些线性空间的方法。 A R n中集合：如中集合：如前例前例（图示）中的集合及（图示）中的集合及 一般化一般化 A F n n中集合 中集合 W1 = A Fn n AT =A ， ， W2 = A Fn n AT= A ， ， W3 = A Fn n |A| = 1 。 。 例例 14 R n ，R m n的集合是否为子空间？ 的集合是否为子空间？ 几个重要的子空间（例几个重要的
25、子空间（例15，16）：）： 设向量组设向量组 1， 2， m Vn(F)，由它由它 们的所有线性组合们的所有线性组合生成生成的的子空间子空间： L 1 ， 2 ， ， m = m 1i iii Fkk 矩阵矩阵A F m n， ，两个子空间：两个子空间： A的的零空间零空间：N(A) = X Fn ：AX=0 F n， A的的列空间列空间(值空间值空间)： R(A) = L A1，A2，An F m， Ai为为A的第的第i列。列。 R(A) =y ： x F n, y = Ax 、 v讨论：讨论：设设W 1 Vn(F)，W2 Vn(F)，且都是子空间，且都是子空间， 则则W1 W2和和W1
26、W2是否仍然是子空间？是否仍然是子空间？ 1. （1）交空间）交空间 交集：交集： W1 W2= W1 而且而且 W 2 Vn(F) 定理定理1.6 (1) W1 W2是子空间，被称为是子空间，被称为“交空间交空间” （2）和空间）和空间 集合的和集：集合的和集： W1W2= =X1X2 X1 W1，X2 W2， W1 W2 W1W2 定理定理1.6 (2) W1W2是子空间，被称为是子空间，被称为“和空间和空间”。 W1 W2一般不是子空间，一般不是子空间，W1 W2 W1W2 v例例17 设设R3中的子空间中的子空间W1=Le1，W2=Le2 求和空间求和空间W1W2。 比较：集合比较：集
27、合W1 W2和集合和集合W1W2。 如果如果 W1 = L 1， 2， m ， W2 = L 1， 2， k ， 则则 W1W2 = L 1， 2， m， 1， 2， k v子空间的包含关系子空间的包含关系： )F(VWW W W WW n 21 2 1 21 dimW1 W2 dim Wi dimW1W2 dimVn(F)。 定理定理1.7（维数定理维数定理） dimW1dimW2 = dim(W1W2) dim(W1 W2) 证明思路证明思路：基扩充方法（从：基扩充方法（从W1 W2的基出发）的基出发） v分析分析 由维数公式知，由维数公式知，如果如果 dim（W1 W2） 0， 则则 d
28、im（W1W2） dimW1dimW2 所以所以, dim（W1W2）= dimW1dimW2 dim（W1 W2）= 0 W1 W2 = 0 v直和的定义直和的定义： 定义定义1.6 设设W = W1W2 , 若若dim（W1 W2） = 0 ，则称此和为则称此和为直和，直和，称称W为为W1和和W2的的直和子直和子 空间，空间，记为记为 W = W1 W2。 v子空间的子空间的“和和”为为“直和直和”的充要条件的充要条件 定理定理1.8 设设W=W1W2，则下列各条等价：则下列各条等价： （1） W=W1 W2 （2） X W，X=X1X2的表示是的表示是惟一惟一的的 （3） W中零向量的表
29、示是中零向量的表示是惟一惟一的的 （4） dim W = dimW1dimW2 证明：循环证法证明：循环证法 (1)(2) (3) (4) (1) v例例1 P12 例例18 v例例2 设在设在Rnn中，子空间中，子空间 W 1= A A T =A ， ，W 2= B B T= B ， 证明证明 Rnn = W1 W2。 例例3 子空间子空间W的的“直和补子空间直和补子空间”U: Vn = W U 主题：主题：定义内积的概念，借助于内积建立线性空间定义内积的概念，借助于内积建立线性空间 的度量关系。的度量关系。 一、欧氏空间和酉空间一、欧氏空间和酉空间 1 几何空间中度量的定义基础几何空间中度
30、量的定义基础 2 内积的定义内积的定义 定义定义1.7 (P13) ：要点：要点 内积内积( ， )是是二元运算二元运算：Vn(F) Vn(F) F ( ， )的的公理性质公理性质（对称性，线性性，正定性）（对称性，线性性，正定性） ( ， )是任何满足定义的运算（映射）。是任何满足定义的运算（映射）。 讨论讨论 ( ， 1 2), ( ，k ), ( ，k1 1k2 2), (0, ) 1.( , ) = ( , ) 2.(k , ) = k( , ) ( + , )=( , ) + ( , ) 3. ( , )0; ( , )=0 iff =0 1122 ( ,)( ,)kk 12 ( ,
31、)( ,) ( ,)k 0 内积空间的定义内积空间的定义 v赋予内积的线性空间称为内积空间，记为赋予内积的线性空间称为内积空间，记为 Vn(F)；( ， ) ； F = R ，欧氏空间，欧氏空间，F = C，酉空间酉空间 4 常见的内积空间：常见的内积空间： v Rn；( ， ) = T , ( T = T ) v Cn；( ， ) = H , H= 的的共轭转置共轭转置， v Cmn; (A，B) = tr (BHA) v Pnx；( f，g ) = 1 0 dx)x(g)x(f v 定义：定义： | | = ; 单位向量：单位向量： | | = 1. v ， 的的“距离距离”：| - |
32、),( ),( 欧氏空间中向量的夹角欧氏空间中向量的夹角 v 定义定义：0，0，夹角，夹角 定义为：定义为： cos = 性质性质： | k | = k | |； 定理定理1.9（Cauchy 不等式）不等式） ， Vn(F)；( ， ), | ( ， ) | | | | |。 | | | | | |; | - | | | | | v设设 1， 2，, n 是内积空间是内积空间Vn(F)的基，的基， ， Vn(F)，则有则有 =x1 1x2 2xn n = ( 1 2 n)X； =y1 1y2 2yn n= ( 1 2 n)Y ( ， ) = = Y HAX， n 1i n 1j jiji )
33、,(yx 定义内积定义内积 在一个基在一个基 1， 2， n 下定义内积下定义内积 确定一个度量矩阵确定一个度量矩阵A 。 度量矩度量矩 阵阵 aij= ( i, j) 度量矩阵度量矩阵A的性质：的性质：Hermite 性与正定性性与正定性 正交的向量组：正交的向量组： 定义：定义： 1， 2， n为正交向量组为正交向量组 ( i， j ) = 0， ij 性质性质(定理定理1.10) 正交向量组线性无关。正交向量组线性无关。 2 标准正交基标准正交基 基基 1， 2， n是标准正交基是标准正交基 ( i， j) = ji0 ji1 标准正交基的优点？想想标准正交基的优点？想想 Rn ！ 度量
34、矩阵是单位矩阵，即度量矩阵是单位矩阵，即A=I =( 1 2 n)X， =( 1 2 n) Y， ( ， ) = YHX = x1 1x2 2xn n，xi = ( ， i) 和和 正交正交 其坐标其坐标 X和和Y正交正交 任何向量的内积将对应其坐标空间中的内积任何向量的内积将对应其坐标空间中的内积 Fn 求标准正交基的步骤求标准正交基的步骤： 1. Schmidt 正交化（正交化（定理定理1.11） 2. 标准化标准化 3. 矩阵方法讨论矩阵方法讨论 v“正交补正交补”子空间子空间 (i) 集合的集合的U的正交集：的正交集： U =Vn(F)： U，( ， ) = 0 (ii) 若若U是是V
35、n(F)的子空间，则的子空间，则U 也是也是Vn(F)子子 空间，称为空间，称为U的的正交补子空间。正交补子空间。 (iii) Vn(F)=U U 。 Rn；( ， ) = T ， Cn；( ， ) = H 的标准正交基均为自然基的标准正交基均为自然基ei； Rm n; (A， ，B) = tr (BTA) ， Cm n; (A， ，B) = tr (BHA) 的标准正交基均为自然基的标准正交基均为自然基Eij。 一、一、线性变换的概念线性变换的概念 v定义定义 1.11 (P.19) v要点：要点： (i) T是是Vn(F)上的上的变换变换： T：Vn(F) Vn(F), T( ) (象象)
36、 (ii) T具有具有线性性线性性： T( )=T( )T( ) T(k )=kT( ) 合二为一合二为一：T(k1 k2 )=k1T( )k2T( ) 从一般性的角度给出的定义从一般性的角度给出的定义 例例24 Vn(F)上的上的相似变换相似变换T ： 是是F中给定的数，中给定的数， Vn(F)，T ( ) = 。 特例：特例： =1，T1 是恒等变换是恒等变换: T1( ) = ， =0，T0 是零变换是零变换: T0( ) = 0 。 可以在任何线性空间中可以在任何线性空间中 定义相似变换定义相似变换! 例例25 Pnx中的微分变换中的微分变换 (积分变换？线性但不是积分变换？线性但不是
37、Pn x上的上的) 例例26 Fn上的变换上的变换 TA：设设 A Fn n是一个给定的矩阵， 是一个给定的矩阵， X Fn，TA(X)=AX。 线性变换的例子线性变换的例子 线性变换的性质：线性变换的性质： (1) T(0)=0 (2) T( )=T( ) (3) (4) 若若 1, 2, , m 线性相关，则线性相关，则 T( 1), T( 2), , T( m) 也线性相关也线性相关 。 m 1i m 1i iiii )(TkkT 线性变换的象空间和零空间线性变换的象空间和零空间( 矩阵的列矩阵的列/零空间零空间) 定理定理1.12 设设T为为Vn(F)上的线性变换上的线性变换，则下述集
38、合均为则下述集合均为 Vn的子空间（分别称为的子空间（分别称为T的的象空间和零空间象空间和零空间）：）： 象空间象空间 R(T)= ： Vn(F)， =T( ) 零空间零空间 N(T)= ：Vn(F)，T( ) = 0 定义：定义： T 的秩的秩 = dim R(T)； T 的零度的零度 = dim N(T) 线性变换保持线线性变换保持线 性相关性不变！性相关性不变！ T(k1 k2 )=k1T( )k2T( ) 求求Fn中的线性变换中的线性变换TA: Y=AX 的象空的象空 间和零空间。间和零空间。 R(TA)=R(A)；N(TA)=N(A) 线性变换的线性变换的“运算运算” ( 函数的运算
39、函数的运算 v设设T，T1，T2都是都是Vn(F)上的线性变换，它们的下述上的线性变换，它们的下述 运算均构成运算均构成Vn(F)上的线性上的线性变换：变换： (i) 加法加法 T1T2 ：Vn(F)， (T1T2)( )=T1( )T2( ) (ii) 乘法乘法 T1T2：Vn(F)， (T1T2)( )=T1(T2( ) (iii) 数乘数乘 kT：Vn(F)，(kT)( )=k(T( ) (iv) 可逆变换可逆变换T： T1使得，使得，TT1=T1T=I，记，记T1=T 1 ； ； T 1( )= T( )= 。 (v) 乘方变换：乘方变换：Tm=TTTTT (m个个T相乘相乘) 注意：
40、注意：变换乘法一般不具有交换律，如同矩阵乘法；变换乘法一般不具有交换律，如同矩阵乘法； Vn(F)上的线性变换的全体构成上的线性变换的全体构成F上的线性空间！上的线性空间！ 1 线性变换的矩阵与变换的坐标式线性变换的矩阵与变换的坐标式 vVn(F)上线性变换的特点分析：上线性变换的特点分析： 定义变换定义变换T 确定基中向量的象确定基中向量的象T( i) 定义定义T( i) 确定它在基下确定它在基下 i的坐标的坐标Ai 定义变换定义变换T 确定矩阵确定矩阵A=A1，A2，An (i) A为变换矩阵为变换矩阵: T( 1, 2, , n)=( 1, 2, , n)A (ii)变换的坐标式：设变换
41、的坐标式：设 =( 1, 2, , n)X， T( )=( 1, 2, , n)Y，则，则 Vn(F)上的变换上的变换T Fn n中的矩阵 中的矩阵A 给定基给定基 线性变换线性变换TAY=AX 例题例题 对线性变换对线性变换 : P4 X P4 X， 1求求D在基在基1，X，X2，X3下的变换矩阵。下的变换矩阵。 2 求向量求向量 在变换在变换D下的象。下的象。 dx d D 32 x3x2x210)x(p 相似变换相似变换T 下的矩阵：下的矩阵： Pnx中的微分变换在中的微分变换在自然基自然基下的矩阵：下的矩阵： 线性变换线性变换TA在在自然基自然基下的矩阵：下的矩阵： I A Fn上线性
42、变换上线性变换T在在自然基自然基下的矩阵：下的矩阵：T(e1 e2 en) 常见线性变换的矩阵常见线性变换的矩阵 2 线性变换运算的矩阵对应（线性变换运算的矩阵对应（Th1.13）：）： 设设Vn(F)上的线性变换上的线性变换T1，T2，它们在同一组基它们在同一组基 下的矩阵：下的矩阵：T1A1；T2A2 （i） (T1T2) (A1A2) （ii） (T1T2) A1A2 （iii） (kT) kA （iv） T 1 A 1 (i), (iii)合并：合并：(k1T1k2T2) (k1A1 k2A2) 3 不同基下的变换矩阵不同基下的变换矩阵 v两组基：两组基： 1， 2，, n ， 1，
43、2，, n ， ( 1 2 n) = ( 1 2 n)C v T( 1 2 n) = ( 1 2 n)A v T( 1 2 n) = ( 1 2 n)B Th1.14 同一个线性变换在不同基下的矩阵是相似的同一个线性变换在不同基下的矩阵是相似的 B=C 1AC 例例29(P24) 设单位向量设单位向量u =（2/3， 2/3， 1/3），），给给 定定R3上的线性变换上的线性变换 P(x)= x (x，u)u， 1. 求求P在自然基在自然基e1，e2，e3下的变换矩阵下的变换矩阵A。 2. 求求P在标准正交基在标准正交基u1，u2，u3下的变换矩阵下的变换矩阵 B。（。（直接按定义；或同前利用
44、直接按定义；或同前利用Th1.14） 例例28(P23) 给定给定R3上的线性变换上的线性变换 T(x1,x2,x3)T) = (x1+2x2+x3, x2-x3, x1+x3)T， 求求T在基在基 1=(1 0 1)T, 2=(0 1 1)T, 3=(1 -1 1)T 下的变换矩阵下的变换矩阵B。 v问题的背景：问题的背景： 变换变换矩阵简化矩阵简化和和空间分解空间分解的对应关系的对应关系 v1. 不变子空间的概念不变子空间的概念 矩阵简化要求空间分解的特点矩阵简化要求空间分解的特点 不变子空间的定义不变子空间的定义(p24, 定义定义1.14) v2 . 不变子空间的判别不变子空间的判别
45、W是是T的不变子空间的不变子空间 W T( ) W。 特别：特别：W=L 1， 2， m， W是是T的不变子空间的不变子空间 T( i) W。 T(W) W。 T也是也是W上的线性变换！上的线性变换！ vP24，例例30 R3上的正交投影上的正交投影P：P(x) = x (x，u)u，u 是单位向量。证明是单位向量。证明L(u)和和 u =x：(x，u) = 0 是是P的不变子空间。的不变子空间。 P在在L(u)上是零变换，在上是零变换，在 u 上是恒等变换！上是恒等变换！ v3 Vn(F) = W U，W，U是是T的不变子空间的不变子空间 ， W=L 1， r，U= r + 1 ， ， n
46、则则 T 2 1 A A 1， r， r + 1 ， ， n Vn(F)=U1 U2 Uk， 则则 T k 2 1 A A A 矩阵矩阵Ai 的阶数的阶数=dim Ui 不改变内积的变换不改变内积的变换) v讨论内积空间讨论内积空间V；( ， ) 中最重要的一类变换。中最重要的一类变换。 v1 定义定义1.15 (P25)：(T( ), T( )=( , ) v2 正交（酉）变换的性质：正交（酉）变换的性质： （定理（定理1.15, P26 ）T是内积空间是内积空间V(F)上的线性变上的线性变 换，则下列命题等价：换，则下列命题等价： （1）T是正交是正交(酉酉)变换变换 （2）T保持向量的长
47、度不变保持向量的长度不变 （3）T把把V(F)的标准正交基变成标准正交基的标准正交基变成标准正交基 （4）T在标准正交基下的矩阵是正交在标准正交基下的矩阵是正交(酉酉)矩阵矩阵 v3 变换的矩阵：正交矩阵和酉矩阵的性质变换的矩阵：正交矩阵和酉矩阵的性质 正交矩阵正交矩阵C：CTC=I 酉矩阵酉矩阵U： UHU=I 定理定理1 . 16 (P27) v平面上的旋转平面上的旋转 几何描述几何描述：绕坐标原点，逆时针旋转一个绕坐标原点，逆时针旋转一个 角。角。 变换矩阵：在自然基下，变换矩阵：在自然基下， R3空间中的镜像变换空间中的镜像变换 定义：定义：S(x) = x 2(x, u)u，u为单位
48、向量。为单位向量。 变换矩阵与几何意义变换矩阵与几何意义 空间中的旋转空间中的旋转 几何描述：绕空间中过原点的一条直线几何描述：绕空间中过原点的一条直线L， 旋转一旋转一 个个 角。角。 求变换矩阵的基本思想：寻求空间中的一组特别的基求变换矩阵的基本思想：寻求空间中的一组特别的基 cossin sincos A 例题例题1设设u=e2，镜像变换，镜像变换: S（x）= x 2（x， e2）e2 求立方体求立方体W在镜像变换下的象。在镜像变换下的象。 v例题例题2 求求R3中绕过原点、以中绕过原点、以 u=（1，1，1）T 为正向的直线，顺为正向的直线，顺u方向看去是逆时针的旋转变方向看去是逆时
49、针的旋转变 换换T在在R3中自然基下的变换矩阵。中自然基下的变换矩阵。 01100110 00110011 00001111 W 定义定义 1.16 (P.28) v要点：要点： （i）Vn(F)， = T( ) Vm(F) (ii) T具有线性性：具有线性性： T( 1 2) = T( 1)T( 2) T(k ) = kT( ) 例题例题1 (P29，例例34) 例题例题2（P29，例例35） T：Vn(F) Vm(F) 设设 1， 2，, n是空间是空间Vn(F) 的基，的基， 1， 2，, m是空间是空间Vm(F)的基，的基， T( 1， 2，, n)=( 1， 2，, m)A A是变换
50、矩阵。是变换矩阵。 nm FA , , :)F(V n n n 21 21 , , :)F(V m m m 21 21 设在两个空间中分别取两组基：设在两个空间中分别取两组基： 分析线性变换在两组基下变换矩阵的关系分析线性变换在两组基下变换矩阵的关系 等价！等价！ LOGO 1 1 . n i i i Va x P P（，） 2 （，） 2 P LL P P u W ),( ),( 11 ),( ),( ),( 11 1 0 . n i i i Va x LOGO n 2 1 12 12 ( )det() ()() s kkk s fIA 1 1 s i kn 0 1 1 2 1 u 1 1
