1、1 函数的概念函数的概念 第一节第一节 函数及其表示函数及其表示 一、基础知识一、基础知识 1函数的有关概念 (1)函数的定义域、值域： 在函数 yf(x)，xA 中，x 叫做自变量，x 的取值范围 A 叫做函数的定义域；与 x 的值 相对应的 y 值叫做函数值，函数值的集合f(x)|xA叫做函数的值域 (2)函数的三要素：定义域、值域和对应关系 3分段函数 若函数在其定义域内，对于定义域内的不同取值区间，有着不同的对应关系，这样的函 数通常叫做分段函数 关于分段函数的 3 个注意 (1)分段函数虽然由几个部分构成，但它表示同一个函数 (2)分段函数的定义域是各段定义域的并集，值域是各段值域的
2、并集 (3)各段函数的定义域不可以相交 考点一考点一函数的定义域函数的定义域 典例(1)(2019长春质检)函数 yln1x x1 1 x的定义域是( ) A1,0)(0,1)B1,0)(0,1 C(1,0)(0,1D(1,0)(0,1) (2)已知函数 f(x)的定义域为(1,0)，则函数 f(2x1)的定义域为() A(1,1)B. 1，1 2C(1,0)D. 1 2，1 题组训练 1.(2018 江苏)函数 2 ( )log1f xx的定义域为 2.若函数yf(x)的定义域是1,2 019， 则函数g(x)fx1 x1 的定义域是_ 2 考点二考点二求函数的解析式求函数的解析式 典例(1
3、)已知函数321xxxf (2)已知函数 f(x)满足 f(x)2f(x)2x，求 f(x) 考点考点二二分段函数分段函数 考法(一)求函数值 典例 （2015 新课标） 设函数 2 1 1 log (2),1 ( ) 2,1 x x x f x x ， 则 2 ( 2)(log 12)ff A3B6C9D12 考法(二)求参数或自变量的值(或范围) 典例设函数 f(x) 2 x，x0， 1，x0， 则满足 f(x1)0， 则满足f(x)f x1 2 1的x的取值范围_ 2设函数 f(x) 1 2 x7，x0， x，x0， 若 f(a)1，则实数 a 的取值范围是_ 3 第二节第二节 函数的单
4、调性与最值函数的单调性与最值 一、基础知识一、基础知识 1增函数、减函数 定义：设函数 f(x)的定义域为 I： 一是任意性；二是有大小，即 x1x2)；三是同属于一个单调区间，三者缺一不可 2单调性、单调区间 若函数 yf(x)在区间 D 上是增函数或减函数， 则称函数 yf(x)在这一区间具有(严格的) 单调性，区间 D 叫做函数 yf(x)的单调区间. 3函数的最值 设函数 yf(x)的定义域为 I，如果存在实数 M 满足： (1)对于任意的 xI，都有 f(x)M 或 f(x)M. (2)存在 x0I，使得 f(x0)M. 那么，我们称 M 是函数 yf(x)的最大值或最小值 函数最值
5、存在的两条结论 二、常用结论二、常用结论 在公共定义域内： (1)函数 f(x)单调递增，g(x)单调递增，则 f(x)g(x)是增函数； (2)函数 f(x)单调递减，g(x)单调递减，则 f(x)g(x)是减函数； (3)函数 f(x)单调递增，g(x)单调递减，则 f(x)g(x)是增函数； (4)函数 f(x)单调递减，g(x)单调递增，则 f(x)g(x)是减函数； (5)若 k0，则 kf(x)与 f(x)单调性相同；若 k0)在公共定义域内与 yf(x)，y 1 fx的单调性相反； (7)复合函数yfg(x)的单调性与yf(u)和ug(x)的单调性有关 简记： “同增异减” 4
6、考点考点一一单调区间单调区间 1（2014 天津）函数 2 1 2 ( )log (4)f xx=-的单调递增区间是_ 2函数 23 2 xxlgxf的单调增区间是_ 考点二、考点二、函数单调性的应用函数单调性的应用 考法(一)比较函数值的大小 典例偶函数 f(x)定义域为 R，当 x0，)时，f(x)是增函数，则 f(2)，f()，f(3) 的大小关系是() Af()f(3)f(2) Bf()f(2)f(3) Cf()f(3)f(2) Df()f(2)f(3) 考法(二)解函数不等式 典例设函数 f(x) 2x，x1 是 R 上的单调函数，则实数 a 的取值范 围是() A. 1 4， 1
7、2B. 1 4， 1 2C. 0，1 2D. 1 2，1 课时跟踪检测课时跟踪检测 1函数 f(x)是定义在区间0，)的单调增函数，满足 f(2x1)f 1 3 的 x 的取值范围是 A. 1 3， 2 3B. 1 3， 2 3C. 1 2， 2 3D. 1 2， 2 3 2已知函数 f(x)ln xx，若 f(a2a)f(a3)，则正数 a 的取值范围是_ 5 第三节第三节 函数的奇偶性与周期性函数的奇偶性与周期性 一、基础知识 1函数的奇偶性 偶函数奇函数 定义 如果对于函数 f(x)的定义域内任意一个 x 都有 f(x)f(x)，那么函 数 f(x)是偶函数 都有 f(x)f(x)，那么
8、函数 f(x)是奇函数 图象特征关于 y 轴对称关于原点对称 函数的定义域关于原点对称是函数具有奇偶性的前提条件 2函数的周期性 (1)周期函数 对于函数 f(x)，如果存在一个非零常数 T，使得当 x 取定义域内的任何值时，都有 f(xT) f(x)，那么就称函数 f(x)为周期函数，称 T 为这个函数的周期 (2)最小正周期 如果在周期函数 f(x)的所有周期中存在一个最小的正数，这个最小正数就叫做 f(x)的最小正 周期 二、常用结论二、常用结论 1函数奇偶性常用结论 (1)如果函数 f(x)是奇函数且在 x0 处有定义，则一定有 f(0)0；如果函数 f(x)是偶函数， 那么 f(x)
9、f(|x|) (2)奇函数在两个对称的区间上具有相同的单调性；偶函数在两个对称的区间上具有相反的 单调性 (3)在公共定义域内有：奇奇奇，偶偶偶，奇奇偶，偶偶偶，奇偶奇 2函数周期性常用结论 对 f(x)定义域内任一自变量 x： (1)若 f(xa)f(x)，则 T2a(a0) (2)若 f(xa) 1 fx，则 T2a(a0) (3)若 f(xa) 1 fx，则 T2a(a0) 6 3函数图象的对称性 (1)若函数 yf(xa)是偶函数，即 f(ax)f(ax)，函数 yf(x)的图象关于直线 xa 对称 (2)若对于 R 上的任意 x 都有 f(2ax)f(x)或 f(x)f(2ax)，则
10、 yf(x)的图象关于直线 x a 对称 (3)若函数 yf(xb)是奇函数，即 f(xb)f(xb)0，函数 yf(x)关于点(b,0)中心对称 考点一考点一函数奇偶性的判断函数奇偶性的判断 1(2015 福建)下列函数为奇函数的是 AyxBsinyxCcosyxD xx yee 2(2015 广东)下列函数中，既不是奇函数，也不是偶函数的是 A 2 1yxB 1 yx x C 1 2 2 x x y D x yxe 3(2014 新课标 1)设函数( )f x，( )g x的定义域都为R，且( )f x是奇函数，( )g x是偶函 数，则下列结论正确的是 A( )f x( )g x是偶函数
11、B( )f x|( )g x|是奇函数 C|( )f x|( )g x是奇函数D|( )f x( )g x|是奇函数 4(2014 重庆)下列函数为偶函数的是 A( )1f xxB 3 ( )f xxxC( )22 xx f x D( )22 xx f x 考点二考点二函数奇偶性的应用函数奇偶性的应用 典例(1)(2019福建三明模拟)函数 yf(x)是 R 上的奇函数， 当 x0 时，f(x)() A2xB2 x C2 x D2x (2)设函数 2 ( ) xx eae f x x 是奇函数,则实数a的值为_. （3） （2019全国理14） 已知( )f x是奇函数， 且当0 x时，( )
12、eaxf x .若(ln2)8f， 则a _. 题组训练 1设函数 f(x)= sinxx x 的最大值为M，最小值为m，则Mm 7 2(2018合肥八中模拟)若函数 f(x)xln(x ax2)为偶函数，则 a_. 3.(2014 湖南)已知( ), ( )f x g x分别是R上的偶函数和奇函数( )( )f xf x= 32 1xx， (1)(1)fg则 A3B1C1D3 考点三考点三、由函数的单调性与奇偶性，求解不等式、由函数的单调性与奇偶性，求解不等式 1.已知偶函数( )f x在区间0,)单调增加，则满足 1 (21)( ) 3 fxf的x的取值范围是( A. 1 2 ( , )
13、3 3 B. 1 2 , 3 3 C. 1 2 ( , ) 2 3 D. 1 2 , 2 3 2已知奇函数( )f x在区间2,2上单调递减,则不等式 2 ()(2 )0f xfx的解集是( A)1,0-B()2,0-C2, 1D , 20, 3 （2013 天津）已知函数( )f x是定义在 R 上的偶函数， 且在区间0,)单调递增若实 数 a 满足 21 2 (log)(log)2 (1)faffa ， 则 a 的取值范围是 A1,2B 1 0, 2 C 1 ,2 2 D(0,2 4 （2017 新课标）函数( )f x在(,) 单调递减，且为奇函数若(1)1f ，则满足 1(2)1f x
14、的x的取值范围是 A? ? ?t?B? ? ?t?C?t?D?t? 考点四考点四、由函数的、由函数的奇偶、周期性求值奇偶、周期性求值 典例(1)(2018开封期末)已知定义在 R 上的函数 f(x)满足 f(x)f(x2)，当 x(0,2时， f(x)2xlog2x，则 f(2 019)() A5B.1 2 C2D2 （2）定义在R上的函数( )f x满足()( )fxf x ,(1)(1)f xfx,且x (1,0) 时,则 2 (log 20)f_. 8 考点五、具体函数的对称中心或对称轴问题考点五、具体函数的对称中心或对称轴问题 1若函数 1 ( ) 1 x f x mx 的图像的对称中
15、心为( 1, 1) ,则实数m的值为() A.1B.1C.2D.2 2函数 3 52sin3tan6yxxx的图象的对称中心是（） A.(0,0)B.(6,0)C.( 6,0)D.(0, 6) 3.函数 f(x)9 x1 3x 的图象() A关于 x 轴对称B关于 y 轴对称 C关于坐标原点对称 D关于直线 yx 对称 4.(2016 全国 II) 已知函数 f xxR满足 2fxf x ，若函数 1x y x 与 yf x图像的交点为 11 xy， ， 22 xy， ， mm xy， ，则 1 m ii i xy A0B Bm mC2mD4m对称对称 5函数 2 2 x y x 的图象关于_
16、对称 考点六考点六 函数性质的综合问题函数性质的综合问题 1.函数 yf(x)在0,2上单调递增，且函数 f(x2)是偶函数，则下列结论成立的是() Af(1)f 5 2 f 7 2Bf 7 2 f(1)f 5 2Cf 7 2 f 5 2 f(1)Df 5 2 f(1)f 7 2 2.(2018 全国卷)已知( )f x是定义域为(,) 的奇函数，(1)(1)fxfx若 (1)2f，则(1)(2)(3)(50)ffff A50B0C C2 2D50奇偶奇偶+ +对称对称= =周期周期 3、若定义在 R R 上的奇函数)(xf满足(4)( )f xf x ，且在区间0,2上是增函数，则有 ()奇偶奇偶+ +周期周期+ +单调单调 A.A.( 25)(80)(11)fffB.(11)(80)( 25)fff C.( 25)(11)(80)fffD.(80)(11)( 25)fff
