1、泉州市泉州市 2022 届高中毕业班质量检测（届高中毕业班质量检测（一一）数学）数学试题试题第第 1 页（共页（共 3 页）页） 泉州市泉州市 2022022 2 届高中毕业班质量监测（届高中毕业班质量监测（一一） 2021.08 数学参考答案及评分细则（第 22 题） 22 （12 分） 已知函数 ln1x fx ax . （1） 讨论( )f x的单调性； （2） 若 21 12 xx exex(e是自然对数的底数)，且 1212 0,0 xxxx， 证明： 22 12 2xx. 【命题意图】本小题主要考查运用导函数求单调性、对数运算性质、函数极值点偏移、不等式放缩、基本 不等式等基础知识
2、；考查抽象概括、推理论证、运算求解等能力；考查函数与方程、化归与 转化、分类与整合等数学思想；体现综合性、应用性与创新性，导向对发展逻辑推理、数学 运算、数学抽象、数学建模等核心素养的关注鉴于高三复习前测特点鉴于高三复习前测特点，适当提高试题前半适当提高试题前半 部分基础性应用的分值分配比例部分基础性应用的分值分配比例. 【试题简析】（1） 由 2 ln x fx ax ，. 1分 令 0fx ，得1x ，.2分 当0a 时, 若0,1x时， 0fx ；若 1,x时， 0fx . .3 分 所以( )f x在0,1上单调递增，在 1,上单调递减.4分 当0a 时, 若0,1x时， 0fx ；若
3、 1,x时， 0fx . 所以( )f x在0,1上单调递减，在 1,上单调递增.5分 综上, 当0a 时,( )f x在0,1上单调递增，在 1,上单调递减； 当0a 时,( )f x在0,1上单调递减，在 1,上单调递增. （2）证明： 由 21 12 xx exex，两边取对数，得 2112 lnlnxexxex（）（），.6分 即 2112 ln1ln1xxxx，所以 12 12 ln1ln1xx xx ， 保密启用用 前 泉州市泉州市 2022 届高中毕业班质量检测（届高中毕业班质量检测（一一）数学）数学试题试题第第 2 页（共页（共 3 页）页） 此即当1a 时，存在 1212 0
4、,0 xxxx，满足 12 fxfx. 解法解法 1：由（1）可知，当1a 时,( )f x在0,1上单调递增，在 1,上单调递减， 不妨令 12 xx，所以 12 0,1 ,1,xx. .7分 若 2 2,x ，则 222 122 24xxx显然成立. .8 分 【注：亦可讨论， 2 ,2x ，则 222 122 2xxx.】 【强化特例、容易优先原则】 若 2 1,2x ，则 2 20,1x， 记 ln 2ln11 2,01 22 xx g xfxfxx xxxx ， 所以 2 22222 ln11 ln 2ln 2lnln 0 2 x xxxx gx xxxx x ，.9分 所以 g x
5、在0,1上单调递增，所以 10g xg，即 2fxfx， 所以 112 2fxfxfx.10分 因为 1 0,1x ，所以 1 21x, 又 2 1x ，( )f x在1,上单调递减， 所以 12 2xx，即 12 2xx. .11分 又 2222 111222 212,2211xxx xxx ，以上两式左右两端分别相加， 得 22 1212 211xxxx ，即 22 1212 222xxxx.12分 综合，证得 22 12 2xx. 解法解法 2：由（1）可知，当1a 时,( )f x在0,1上单调递增，在 1,上单调递减， 所以( )(1)1f xf. 当1,x时, ln1 0 x fx
6、 x ； 由于 1 0f e ，故( )f x在,1 1 e 上恒有( )0f x .7分 不妨令 12 xx，记 12 fxfxm,则0,1m，且 11 ln1xmx, 22 ln1xmx, 以上两式相减得, 2 21 1 ln x m xx x ， 泉州市泉州市 2022 届高中毕业班质量检测（届高中毕业班质量检测（一一）数学）数学试题试题第第 3 页（共页（共 3 页）页） 记 2 1 x t x ，由 12 xx，知1,t, 1 ln 1 x t m t , 2 ln 1 x tt m t ,故 12 1ln 1 xx tt m t .8分 记 21 ln1 1 m t g ttt t , 2 2 14 1 tm g t t t ,.9分 又 2 14t ,44m ,所以 0g t .10分 所以( )g t在1,上单调递增,所以( )(1)0g tg, 所以 21 ln0 1 m t t t ,可知 12 1ln 2 1 xx tt m t .11分 即 2 22 12 12 )4 2 22 xx xx （ .12分
