1、第第 5 讲讲椭椭圆圆 一、选择题 1.椭圆x 2 m y2 4 1 的焦距为 2，则 m 的值等于() A.5B.3C.5 或 3D.8 解析当 m4 时，m41，m5；当 0m4 时，4m1，m3. 答案C 2.“2m0， 6m0， m26m， 2m6 且 m4. 故“2m6”是“ x2 m2 y2 6m1 表示椭圆”的必要不充分条件. 答案B 3.设椭圆 C：x 2 a2 y2 b21(ab0)的左、右焦点分别为 F 1，F2，P 是 C 上的点， PF2F1F2，PF1F230，则 C 的离心率为() A. 3 6 B.1 3 C.1 2 D. 3 3 解析在 RtPF2F1中，令|P
2、F2|1，因为PF1F230，所以|PF1|2，|F1F2| 3.故 e2c 2a |F1F2| |PF1|PF2| 3 3 .故选 D. 答案D 4.(2015全国卷)已知椭圆 E 的中心在坐标原点，离心率为1 2，E 的右焦点与抛 物线 C：y28x 的焦点重合，A，B 是 C 的准线与 E 的两个交点，则|AB| () A.3B.6C.9D.12 解析抛物线 C：y28x 的焦点坐标为(2，0)，准线方程为 x2.从而椭圆 E 的半焦距 c2.可设椭圆 E 的方程为x 2 a2 y2 b21(ab0)， 因为离心率 e c a 1 2， 所以 a4，所以 b2a2c212.由题意知|AB
3、|2b 2 a 212 4 6.故选 B. 答案B 5.(2016江西师大附中模拟)椭圆ax2by21(a0， b0)与直线y1x交于A， B 两点，过原点与线段 AB 中点的直线的斜率为 3 2 ，则b a的值为( ) A. 3 2 B.2 3 3 C.9 3 2 D.2 3 27 解析设 A(x1，y1)，B(x2，y2)， 则 ax21by211，ax22by221， 即 ax21ax22(by21by22)，by 2 1by22 ax21ax221， b（y1y2） （y1y2） a（x1x2） （x1x2）1， b a(1) 3 2 1， b a 2 3 3 ，故选 B. 答案B 二
4、、填空题 6.焦距是 8，离心率等于 0.8 的椭圆的标准方程为_. 解析由题意知 2c8， c a0.8， 解得 a5， c4， 又 b2a2c2，b29，b3. 当焦点在 x 轴上时，椭圆方程为x 2 25 y2 9 1， 当焦点在 y 轴上时，椭圆方程为y 2 25 x2 9 1. 答案 x2 25 y2 9 1 或y 2 25 x2 9 1 7.(2017昆明质检)椭圆x 2 9 y 2 251 上的一点 P 到两焦点的距离的乘积为 m， 当 m 取最大值时，点 P 的坐标是_. 解析记椭圆的两个焦点分别为 F1，F2，有|PF1|PF2|2a10. 则 m|PF1|PF2| |PF1
5、|PF2| 2 2 25，当且仅当|PF1|PF2|5，即点 P 位 于椭圆的短轴的顶点处时，m 取得最大值 25. 点 P 的坐标为(3，0)或(3，0). 答案(3，0)或(3，0) 8.(2017乌鲁木齐调研)已知 F1(c，0)，F2(c，0)为椭圆x 2 a2 y2 b21(ab0)的两 个焦点，P 为椭圆上一点，且PF1 PF2 c2，则此椭圆离心率的取值范围是 _. 解析设 P(x，y)，则PF1 PF2 (cx，y)(cx，y)x2c2y2c2， 将 y2b2b 2 a2x 2代入式解得 x2（2c 2b2）a2 c2 （3c 2a2）a2 c2 ， 又 x20，a2，2c2a
6、23c2， ec a 3 3 ， 2 2 . 答案 3 3 ， 2 2 三、解答题 9.设 F1，F2分别是椭圆 C：x 2 a2 y2 b21(ab0)的左、右焦点，M 是 C 上一点 且 MF2与 x 轴垂直，直线 MF1与 C 的另一个交点为 N. (1)若直线 MN 的斜率为3 4，求 C 的离心率； (2)若直线 MN 在 y 轴上的截距为 2，且|MN|5|F1N|，求 a，b. 解(1)根据 c a2b2及题设知 M c，b 2 a ，2b23ac. 将 b2a2c2代入 2b23ac，解得c a 1 2或 c a2(舍去).故 C 的离心率为 1 2. (2)由题意，知原点 O
7、 为 F1F2的中点，MF2y 轴，所以直线 MF1与 y 轴的交 点 D(0，2)是线段 MF1的中点，故b 2 a 4，即 b24a. 由|MN|5|F1N|，得|DF1|2|F1N|. 设 N(x1，y1)，由题意知 y10，则 2（cx1）c， 2y12， 即 x13 2c. y11. 代入 C 的方程，得9c 2 4a2 1 b21. 将及 c a2b2代入得9（a 24a） 4a2 1 4a1. 解得 a7，b24a28，故 a7，b27. 10.(2017兴义月考)已知点 M( 6， 2)在椭圆 C：x 2 a2 y2 b21(ab0)上，且椭 圆的离心率为 6 3 . (1)求
8、椭圆 C 的方程； (2)若斜率为 1 的直线 l 与椭圆 C 交于 A，B 两点，以 AB 为底边作等腰三角形， 顶点为 P(3，2)，求PAB 的面积. 解(1)由已知得 6 a2 2 b21， c a 6 3 ， a2b2c2， 解得 a212， b24. 故椭圆 C 的方程为x 2 12 y2 4 1. (2)设直线 l 的方程为 yxm，A(x1，y1)，B(x2，y2)，AB 的中点为 D(x0，y0). 由 yxm， x2 12 y2 4 1，消去 y，整理得 4x 26mx3m2120， 则 x0 x1x2 2 3 4m，y 0 x0m1 4m， 即 D 3 4m， 1 4m.
9、 因为 AB 是等腰三角形 PAB 的底边，所以 PDAB， 即 PD 的斜率 k 2m 4 33m 4 1，解得 m2. 此时 x1x23，x1x20， 则|AB| 2|x1x2| 2 （x1x2）24x1x23 2， 又点 P 到直线 l：xy20 的距离为 d 3 2， 所以PAB 的面积为 S1 2|AB|d 9 2. 11.(2016海沧实验中学模拟)已知直线 l：ykx2 过椭圆x 2 a2 y2 b21(ab0)的 上顶点 B 和左焦点 F，且被圆 x2y24 截得的弦长为 L，若 L4 5 5 ，则椭圆 离心率 e 的取值范围是() A. 0， 5 5B. 0，2 5 5 C.
10、 0，3 5 5D. 0，4 5 5 解析依题意，知 b2，kc2. 设圆心到直线 l 的距离为 d，则 L2 4d24 5 5 ， 解得 d216 5 .又因为 d 2 1k2，所以 1 1k2 4 5， 解得 k21 4. 于是 e2c 2 a2 c2 b2c2 1 1k2，所以 0e 24 5，解得 0e 2 5 5 .故选 B. 答案B 12.椭圆x 2 4 y21 的左、 右焦点分别为 F1， F2， 点 P 为椭圆上一动点， 若F1PF2 为钝角，则点 P 的横坐标的取值范围是_. 解析设椭圆上一点 P 的坐标为(x，y)， 则F1P (x 3，y)，F2P (x 3，y). F1
11、PF2为钝角，F1P F2P 0， 即 x23y20， y21x 2 4 ，代入得 x231x 2 4 0， 即 3 4x 22，x28 3. 解得2 6 3 xb0)的右焦点，直线 y b 2与椭圆交于 B，C 两 点，且BFC90，则该椭圆的离心率是_. 解 析由已知条件易得 B 3 2 a，b 2 ，C 3 2 a，b 2 ，F(c， 0)，BF c 3 2 a，b 2 ，CF c 3 2 a，b 2 ， 由BFC90，可得BF CF0， 所以 c 3 2 a c 3 2 a b 2 2 0， c23 4a 21 4b 20， 即 4c23a2(a2c2)0， 3c22a2. 所以c 2
12、 a2 2 3，则 e c a 6 3 . 答案 6 3 14.(2017沈阳质监)已知椭圆x 2 a2 y2 b21(ab0)的左、右焦点分别为 F 1，F2， 且|F1F2|6，直线 ykx 与椭圆交于 A，B 两点. (1)若AF1F2的周长为 16，求椭圆的标准方程； (2)若 k 2 4 ，且 A，B，F1，F2四点共圆，求椭圆离心率 e 的值； (3)在(2)的条件下，设 P(x0，y0)为椭圆上一点，且直线 PA 的斜率 k1(2， 1)，试求直线 PB 的斜率 k2的取值范围. 解(1)由题意得 c3，根据 2a2c16，得 a5. 结合 a2b2c2， 解得 a225，b21
13、6. 所以椭圆的标准方程为x 2 25 y2 161. (2)法一由 x2 a2 y2 b21， y 2 4 x， 得 b21 8a 2 x2a2b20. 设 A(x1，y1)，B(x2，y2)， 所以 x1x20，x1x2 a2b2 b21 8a 2， 由 AB，F1F2互相平分且共圆，易知，AF2BF2， 因为F2A (x13，y1)，F2B (x23，y2)， 所以F2A F2B (x13)(x23)y1y2 11 8 x1x290.即 x1x28， 所以有 a2b2 b21 8a 28， 结合 b29a2， 解得 a212，e 3 2 . 法二设 A(x1，y1)，又 AB，F1F2互
14、相平分且共圆，所以 AB，F1F2是圆的直径， 所以 x21y219， 又由椭圆及直线方程综合可得 x21y219， y1 2 4 x1， x21 a2 y21 b21. 由前两个方程解得 x218，y211， 将其代入第三个方程并结合 b2a2c2a29， 解得 a212，故 e 3 2 . (3)由(2)的结论知，椭圆方程为x 2 12 y2 3 1， 由题可设 A(x1，y1)，B(x1，y1)，k1y0y1 x0 x1，k 2y 0y1 x0 x1，所以 k 1k2y 2 0y21 x20 x21， 又y 2 0y21 x20 x21 3 1x 2 0 12 3 1x 2 1 12 x20 x21 1 4. 即 k2 1 4k1， 由2k11 可知，1 8k 21 4. 故直线 PB 的斜率 k2的取值范围是 1 8， 1 4 .
