1、第第 6 讲讲双曲线双曲线 一、选择题 1.(2017郑州模拟)设双曲线x 2 a2 y2 b21(a0，b0)的虚轴长为 2，焦距为 2 3， 则双曲线的渐近线方程为() A.y1 2x B.y 2 2 x C.y 2xD.y2x 解析因为 2b2，所以 b1，因为 2c2 3，所以 c 3，所以 a c2b2 2，所以双曲线的渐近线方程为 yb ax 2 2 x，故选 B. 答案B 2.(2015广东卷)已知双曲线 C：x 2 a2 y2 b21 的离心率 e 5 4，且其右焦点为 F 2(5， 0)，则双曲线 C 的方程为() A.x 2 4 y 2 3 1B.x 2 9 y 2 161
2、 C.x 2 16 y2 9 1D.x 2 3 y 2 4 1 解析因为所求双曲线的右焦点为 F2(5，0)且离心率为 ec a 5 4，所以 c5， a4，b2c2a29，所以所求双曲线方程为x 2 16 y2 9 1，故选 C. 答案C 3.(2017山西省四校联考)已知双曲线 C：x 2 a2 y2 b21(a0，b0)，右焦点 F 到 渐近线的距离为 2，点 F 到原点的距离为 3，则双曲线 C 的离心率 e 为() A. 5 3 B.3 5 5 C. 6 3 D. 6 2 解析右焦点 F 到渐近线的距离为 2，F(c，0)到 yb ax 的距离为 2，即 |bc| a2b22，又 b
3、0，c0，a 2b2c2，bc c b2，又点 F 到原点的距 离为 3，c3，a c2b2 5，离心率 ec a 3 5 3 5 5 . 答案B 4.已知 F1， F2为双曲线 C： x2y22 的左、 右焦点， 点 P 在 C 上， |PF1|2|PF2|， 则 cos F1PF2() A.1 4 B.3 5 C.3 4 D.4 5 解析由 x2y22，知 ab 2，c2. 由双曲线定义，|PF1|PF2|2a2 2， 又|PF1|2|PF2|， |PF1|4 2，|PF2|2 2， 在PF1F2中，|F1F2|2c4，由余弦定理，得 cos F1PF2|PF1| 2|PF2|2|F1F2
4、|2 2|PF1|PF2| 3 4. 答案C 5.(2017成都调研)过双曲线 x2y 2 3 1 的右焦点且与 x 轴垂直的直线， 交该双曲 线的两条渐近线于 A，B 两点，则|AB|() A.4 3 3 B.2 3C.6D.4 3 解析由题意知，双曲线 x2y 2 3 1 的渐近线方程为 y 3x，将 xc2 代 入得 y2 3，即 A，B 两点的坐标分别为(2，2 3)，(2，2 3)，所以|AB| 4 3. 答案D 二、填空题 6.(2016江苏卷)在平面直角坐标系 xOy 中， 双曲线x 2 7 y 2 3 1 的焦距是_. 解析由已知，得 a27，b23，则 c27310，故焦距为
5、 2c2 10. 答案2 10 7.(2016北京卷)双曲线x 2 a2 y2 b21(a0， b0)的渐近线为正方形OABC的边OA， OC 所在的直线，点 B 为该双曲线的焦点，若正方形 OABC 的边长为 2，则 a _. 解析取 B 为双曲线右焦点， 如图所示.四边形 OABC 为正 方形且边长为 2，c|OB|2 2， 又AOB 4 ， b atan 4 1，即 ab. 又 a2b2c28，a2. 答案2 8.(2016山东卷)已知双曲线 E：x 2 a2 y2 b21(a0，b0).若矩形 ABCD 的四个顶 点在 E 上，AB，CD 的中点为 E 的两个焦点，且 2|AB|3|B
6、C|，则 E 的离心率 是_. 解析由已知得|AB|2b 2 a ，|BC|2c，22b 2 a 32c. 又b2c2a2，整理得：2c23ac2a20，两边同除以 a2得 2 c a 2 3 c a 2 0，即 2e23e20，解得 e2 或 e1(舍去). 答案2 三、解答题 9.(2017安徽江南十校联考)已知双曲线的中心在原点， 焦点 F1， F2在坐标轴上， 离心率为 2，且过点 P(4， 10). (1)求双曲线的方程； (2)若点 M(3，m)在双曲线上，求证： MF1 MF2 0. (1)解e 2， 可设双曲线的方程为 x2y2(0). 双曲线过点(4， 10)，1610，即6
7、. 双曲线的方程为 x2y26. (2)证明法一由(1)可知，ab 6， c2 3，F1(2 3，0)，F2(2 3，0)， kMF1 m 32 3，k MF2 m 32 3， kMF1kMF2 m2 912 m2 3 . 点 M(3，m)在双曲线上，9m26，m23， 故 kMF1kMF21，MF1MF2.MF1 MF2 0. 法二由(1)可知，ab 6，c2 3， F1(2 3，0)，F2(2 3，0)， MF1 (2 33，m)，MF2 (2 33，m)， MF1 MF2 (32 3)(32 3)m23m2， 点 M(3，0)在双曲线上，9m26，即 m230， MF1 MF2 0. 1
8、0.已知椭圆 C1的方程为x 2 4 y21，双曲线 C2的左、右焦点分别是 C1的左、右 顶点，而 C2的左、右顶点分别是 C1的左、右焦点. (1)求双曲线 C2的方程； (2)若直线 l：ykx 2与双曲线 C2恒有两个不同的交点 A 和 B，且OA OB 2(其中 O 为原点)，求 k 的取值范围. 解(1)设双曲线 C2的方程为x 2 a2 y2 b21(a0，b0)， 则 a23，c24，再由 a2b2c2，得 b21. 故 C2的方程为x 2 3 y21. (2)将 ykx 2代入x 2 3 y21， 得(13k2)x26 2kx90. 由直线 l 与双曲线 C2交于不同的两点，
9、得 13k20， （6 2k）236（13k2）36（1k2）0， k21 3且 k 21. 设 A(x1，y1)，B(x2，y2)， 则 x1x2 6 2k 13k2，x 1x2 9 13k2. x1x2y1y2x1x2(kx1 2)(kx2 2) (k21)x1x2 2k(x1x2)23k 27 3k21. 又OA OB 2，得 x1x2y1y22， 3k 27 3k212，即 3k29 3k21 0， 解得1 3k 23. 由得1 3k 21， 故 k 的取值范围为 1， 3 3 3 3 ，1 . 11.过双曲线 C：x 2 a2 y2 b21(a0，b0)的右顶点作 x 轴的垂线，与
10、C 的一条渐 近线相交于点 A.若以 C 的右焦点为圆心、半径为 4 的圆经过 A，O 两点(O 为 坐标原点)，则双曲线 C 的方程为() A.x 2 4 y 2 121 B.x 2 7 y 2 9 1 C.x 2 8 y 2 8 1D.x 2 12 y2 4 1 解析由双曲线方程知右顶点为(a，0)，不妨设其中一条渐近线方程为 yb ax， 因此可得点 A 的坐标为(a，b). 设右焦点为 F(c，0)，由已知可知 c4，且|AF|4，即(ca)2b216，所以 有(ca)2b2c2，又 c2a2b2，则 c2a，即 ac 22，所以 b 2c2a2 422212.故双曲线的方程为x 2
11、4 y 2 121，故选 A. 答案A 12.若双曲线x 2 a2 y2 b21(a0，b0)上存在一点 P 满足以|OP|为边长的正方形的 面积等于 2ab(其中 O 为坐标原点)，则双曲线的离心率的取值范围是() A. 1， 5 2B. 1， 7 2 C. 5 2 ， D. 7 2 ， 解析由条件，得|OP|22ab，又 P 为双曲线上一点，从而|OP|a，2ab a2，2ba，又c2a2b2a2a 2 4 5 4a 2，ec a 5 2 . 答案C 13.(2016浙江卷)设双曲线 x2y 2 3 1 的左、右焦点分别为 F1，F2，若点 P 在双 曲线上，且F1PF2为锐角三角形，则|
12、PF1|PF2|的取值范围是_. 解析如图，由已知可得 a1，b 3，c2，从而|F1F2| 4，由对称性不妨设点 P 在右支上，设|PF2|m，则|PF1| m2am2， 由于PF1F2为锐角三角形， 结合实际意义需满足 （m2）2m242， 42（m2）2m2， 解得1 7m3，又|PF1|PF2|2m2， 2 72m28. 答案(2 7，8) 14.已知双曲线y 2 a2 x2 b21(a0，b0)的一条渐近线方程为 2xy0，且顶点到 渐近线的距离为2 5 5 . (1)求此双曲线的方程； (2)设 P 为双曲线上一点，A，B 两点在双曲线的渐近线上，且分别位于第一、 二象限，若AP PB，求AOB 的面积. 解(1)依题意得 a b2， |20a| 5 2 5 5 ， 解得 a2， b1， 故双曲线的方程为y 2 4 x21. (2)由(1)知双曲线的渐近线方程为 y2x， 设 A(m，2m)，B(n，2n)，其中 m0，n0， 由AP PB得点 P 的坐标为 mn 2 ，mn . 将点 P 的坐标代入y 2 4 x21， 整理得 mn1.设AOB2， tan 2 2， 则 tan1 2，从而 sin 2 4 5. 又|OA| 5m，|OB| 5n， SAOB1 2|OA|OB|sin 22mn2.
