1、第第 8 讲讲函数与方程、函数的应用函数与方程、函数的应用 一、选择题 1.(2017赣中南五校联考)函数 f(x)3xx2的零点所在区间是() A.(0，1)B.(1，2)C.(2，1)D.(1，0) 解析由于 f(1)2 30， f(1)f(0)1，则函数 f(x)的零点为( ) A.1 2，0 B.2，0C.1 2 D.0 解析当 x1 时，由 f(x)2x10，解得 x0；当 x1 时，由 f(x)1log2x 0，解得 x1 2，又因为 x1，所以此时方程无解.综上函数 f(x)的零点只有 0. 答案D 3.函数 f(x)2x2 xa 的一个零点在区间(1，2)内，则实数 a 的取值
2、范围是( ) A.(1，3)B.(1，2)C.(0，3)D.(0，2) 解析因为函数 f(x)2x2 xa 在区间(1，2)上单调递增，又函数 f(x)2 x2 x a 的一个零点在区间(1，2)内，则有 f(1)f(2)0，所以(a)(41a)0，即 a(a 3)0，所以 0a0， f（0）0， 即 34a0， 12a0， 解得1 2a 3 4. 故实数 a 的取值范围为 a| 1 2a0， 则使函数 g(x)f(x)xm 有零点的实数 m 的取值 范围是() A.0，1)B.(，1) C.(，1(2，)D.(，0(1，) 解析函数 g(x)f(x)xm 的零点就是方程 f(x)xm 的根，
3、画出 h(x)f(x) x x，x0， exx，x0的大致图象(图略). 观察它与直线 ym 的交点， 得知当 m0 或 m1 时， 有交点， 即函数 g(x)f(x) xm 有零点. 答案D 12.(2017石家庄质检)加工爆米花时，爆开且不糊的粒数占加 工总粒数的百分比称为“可食用率”.在特定条件下，可食用率 p 与加工时间 t(单位：分钟)满足函数关系 pat2btc(a，b，c 是常数)，如图 3 记录了三 次实验的数据.根据上述函数模型和实验数据， 可以得到最佳加工时间为() A.3.50 分钟B.3.75 分钟 C.4.00 分钟D.4.25 分钟 解析根据图表，把(t，p)的三组
4、数据(3，0.7)，(4，0.8)，(5，0.5)分别代入函 数关系式，联立方程组得 0.79a3bc， 0.816a4bc， 0.525a5bc， 消去 c 化简得 7ab0.1， 9ab0.3， 解得 a0.2， b1.5， c2. 所以 p0.2t21.5t21 5 t215 2 t225 16 45 162 1 5 t15 4 2 13 16，所以当 t 15 4 3.75 时，p 取得最大值，即最佳加工时间为 3.75 分钟. 答案B 13.(2015湖南卷)若函数 f(x)|2x2|b 有两个零点，则实数 b 的取值范围是 _. 解析由 f(x)|2x2|b0，得|2x2|b.在同
5、一平面直 角坐标系中画出 y|2x2|与 yb 的图象，如图所示. 则当 0b0). (1)作出函数 f(x)的图象； (2)当 0ab，且 f(a)f(b)时，求1 a 1 b的值； (3)若方程 f(x)m 有两个不相等的正根，求 m 的取值范围. 解(1)如图所示. (2)f(x)|1 1 x| 1 x1，x（0，1， 11 x，x（1，） ， 故 f(x)在(0，1上是减函数，而在(1，)上是增函数. 由 0ab 且 f(a)f(b)，得 0a1b，且1 a11 1 b， 1 a 1 b2. (3)由函数 f(x)的图象可知，当 0m1 时，函数 f(x)的图象与直线 ym 有两个不 同的交点，即方程 f(x)m 有两个不相等的正根.
