1、5.3平面向量的数量积平面向量的数量积 最新考纲考情考向分析 1.理解平面向量数量积的含义及其物理意义. 2.了解平面向量的数量积与向量投影的关系. 3.掌握数量积的坐标表达式， 会进行平面向量 数量积的运算. 4.能运用数量积表示两个向量的夹角， 会用数 量积判断两个平面向量的垂直关系. 主要考查利用数量积的定义解决数量积的运 算、投影、求模与夹角等问题，考查利用数 量积的坐标表示求两个向量的夹角、模以及 判断两个平面向量的平行与垂直关系一般 以选择题、填空题的形式考查，偶尔会在解 答题中出现，属于中档题. 1向量的夹角 已知两个非零向量 a 和 b，作OA a，OB b，则AOB 就是向量
2、 a 与 b 的夹角，向量夹角 的范围是0， 2平面向量的数量积 定义 设两个非零向量 a，b 的夹角为，则数量|a|b|cos 叫做 a 与 b 的数量 积，记作 ab 投影 |a|cos 叫做向量 a 在 b 方向上的投影， |b|cos 叫做向量 b 在 a 方向上的投影 几何意义数量积 ab 等于 a 的长度|a|与 b 在 a 的方向上的投影|b|cos 的乘积 3.平面向量数量积的性质 设 a，b 都是非零向量，e 是单位向量，为 a 与 b(或 e)的夹角则 (1)eaae|a|cos . (2)abab0. (3)当 a 与 b 同向时，ab|a|b|； 当 a 与 b 反向时
3、，ab|a|b|. 特别地，aa|a|2或|a| aa. (4)cos ab |a|b|. (5)|ab|a|b|. 4平面向量数量积满足的运算律 (1)abba； (2)(a)b(ab)a(b)(为实数)； (3)(ab)cacbc. 5平面向量数量积有关性质的坐标表示 设向量 a(x1，y1)，b(x2，y2)，则 abx1x2y1y2，由此得到 (1)若 a(x，y)，则|a|2x2y2或|a| x2y2. (2)设 A(x1，y1)，B(x2，y2)，则 A，B 两点间的距离|AB|AB | x 2x12y2y12. (3)设两个非零向量 a，b，a(x1，y1)，b(x2，y2)，则
4、 abx1x2y1y20. (4)若 a，b 都是非零向量，是 a 与 b 的夹角，则 cos ab |a|b| x1x2y1y2 x21y21x22y22 . 知识拓展 1两个向量 a，b 的夹角为锐角ab0 且 a，b 不共线； 两个向量 a，b 的夹角为钝角ab0，则 a 和 b 的夹角为锐角；若 ab0，则 a 和 b 的夹角为钝角() 题组二教材改编 2P105 例 4已知向量 a(2,1)，b(1，k)，a(2ab)0，则 k_. 答案12 解析2ab(4,2)(1，k)(5,2k)， 由 a(2ab)0，得(2,1)(5,2k)0， 102k0，解得 k12. 3P106T3已知
5、|a|5，|b|4，a 与 b 的夹角120，则向量 b 在向量 a 方向上的投影为 _ 答案2 解析由数量积的定义知，b 在 a 方向上的投影为 |b|cos 4cos 1202. 题组三易错自纠 4设向量 a(1,2)，b(m,1)，如果向量 a2b 与 2ab 平行，那么 a 与 b 的数量积等于 _ 答案 5 2 解析a2b(12m,4)，2ab(2m,3)，由题意得 3(12m)4(2m)0，则 m1 2， 所以 ab1 1 2 215 2. 5已知点 A(1,1)，B(1,2)，C(2，1)，D(3,4)，则向量AB 在CD 方向上的投影为_ 答案 3 2 2 解析AB (2,1)
6、，CD (5,5)， 由定义知，AB 在CD 方向上的投影为 AB CD |CD | 15 5 2 3 2 2 . 6已知ABC 的三边长均为 1，且AB c，BC a，CA b，则 abbcac_. 答案3 2 解析a，bb，ca，c120，|a|b|c|1， abbcac11cos 1201 2， abbcac3 2. 题型一题型一平面向量数量积的运算平面向量数量积的运算 1设四边形 ABCD 为平行四边形，|AB |6，|AD |4，若点 M，N 满足BM 3MC ，DN 2NC ， 则AM NM 等于() A20B.15C9D6 答案C 解析AM AB 3 4AD ， NM CM CN
7、 1 4AD 1 3AB ， AM NM 1 4(4AB 3AD ) 1 12(4AB 3AD ) 1 48(16AB 29AD2)1 48(166 2942)9， 故选 C. 2.如图，已知ABC 是边长为 1 的等边三角形，点 D，E 分别是边 AB，BC 的中点，连接 DE 并延长到点 F，使得 DE2EF，则AF BC的值为( ) A5 8 B.1 8 C.1 4 D.11 8 答案B 解析由条件可知 BC ACAB， AF AD DF 1 2AB 3 2DE 1 2AB 3 4AC ， 所以BC AF (AC AB ) 1 2AB 3 4AC 3 4AC 21 4AB AC1 2AB
8、 2. 因为ABC 是边长为 1 的等边三角形， 所以|AC |AB |1，BAC60， 所以BC AF3 4 1 8 1 2 1 8. 思维升华 平面向量数量积的三种运算方法 (1)当已知向量的模和夹角时，可利用定义法求解，即 ab|a|b|cosa，b (2)当已知向量的坐标时，可利用坐标法求解，即若 a(x1，y1)，b(x2，y2)，则 abx1x2 y1y2. (3)利用数量积的几何意义求解 题型二题型二平面向量数量积的应用平面向量数量积的应用 命题点 1求向量的模 典例 (1)(2017湘中名校联考)平面向量 a 与 b 的夹角为 45，a(1,1)，|b|2，则|3ab|等于 (
9、) A136 2B2 5 C. 30D. 34 答案D 解析依题意得|a| 2，ab 22cos 452， |3ab| 3ab2 9a26abb2 18124 34， 故选 D. (2)(2017衡水调研)已知在直角梯形 ABCD 中，ADBC，ADC90，AD2，BC1，P 是腰 DC 上的动点，则|PA 3PB|的最小值为_ 答案5 解析建立平面直角坐标系如图所示，则 A(2,0)，设 P(0，y)，C(0，b)， 则 B(1，b)，则PA 3PB(2，y)3(1，by)(5,3b4y) 所以|PA 3PB| 253b4y2(0yb) 当 y3 4b 时，|PA 3PB| min5. 命题
10、点 2求向量的夹角 典例 (1)(2017山西四校联考)已知向量 a，b 满足(2ab)(ab)6，且|a|2，|b|1，则 a 与 b 的夹角为_ 答案 2 3 解析(2ab)(ab)6，2a2abb26， 又|a|2，|b|1，ab1， cosa，b ab |a|b| 1 2， 又a，b0，a 与 b 的夹角为2 3 . (2)平面向量 a(1,2)，b(4,2)，cmab(mR)，且 c 与 a 的夹角等于 c 与 b 的夹角，则 m 等于() A2B1 C1D2 答案D 解析因为 a(1,2)，b(4,2)，所以 cmab(m,2m)(4,2)(m4,2m2)根据题意可 得 ca |c
11、|a| cb |c|b|，所以 5m8 5 8m20 20 ，解得 m2. 思维升华 (1)求解平面向量模的方法 写出有关向量的坐标，利用公式|a| x2y2即可 当利用向量的线性运算和向量的数量积公式进行求解，|a| a2. (2)求平面向量的夹角的方法 定义法：cos ab |a|b|，注意的取值范围为0， 坐标法：若 a(x1，y1)，b(x2，y2)，则 cos x1x2y1y2 x21y21 x22y22 . 解三角形法：可以把所求两向量的夹角放到三角形中进行求解 跟踪训练 (1)(2017全国)已知向量 a，b 的夹角为 60，|a|2，|b|1，则|a2b|_. 答案2 3 解析
12、方法一 |a2b| a2b2 a24ab4b2 22421cos 60412 122 3. 方法二(数形结合法) 由|a|2b|2 知，以 a 与 2b 为邻边可作出边长为 2 的菱形 OACB，如图，则|a2b|OC |. 又AOB60，所以|a2b|2 3. (2)(2017山东)已知 e1，e2是互相垂直的单位向量，若3e1e2与 e1e2的夹角为 60，则实 数的值是_ 答案 3 3 解析由题意知|e1|e2|1，e1e20， | 3e1e2| 3e1e22 3e212 3e1e2e22 3012. 同理|e1e2| 12. 所以 cos 60 3e1e2e1e2 | 3e1e2|e1
13、e2| 3e21 31e1e2e22 2 12 3 2 12 1 2， 解得 3 3 . 题型三题型三平面向量与三角函数平面向量与三角函数 典例 (2017广州海珠区摸底)在ABC 中， 角 A， B， C 的对边分别为 a， b， c， 向量 m(cos(A B)，sin(AB)，n(cos B，sin B)，且 mn3 5. (1)求 sin A 的值； (2)若 a4 2，b5，求角 B 的大小及向量BA 在BC方向上的投影 解(1)由 mn3 5， 得 cos(AB)cos Bsin(AB)sin B3 5， 所以 cos A3 5. 因为 0Ab，所以 AB，则 B 4， 由余弦定理
14、得(4 2)252c225c 3 5 ， 解得 c1. 故向量BA 在BC方向上的投影为 |BA |cos Bccos B12 2 2 2 . 思维升华 平面向量与三角函数的综合问题的解题思路 (1)题目条件给出向量的坐标中含有三角函数的形式，运用向量共线或垂直或等式成立等，得 到三角函数的关系式，然后求解 (2)给出用三角函数表示的向量坐标，要求的是向量的模或者其他向量的表达形式，解题思路 是经过向量的运算，利用三角函数在定义域内的有界性，求得值域等 跟踪训练 在平面直角坐标系 xOy 中， 已知向量 m 2 2 ， 2 2 ， n(sin x， cos x)， x 0， 2 . (1)若
15、mn，求 tan x 的值； (2)若 m 与 n 的夹角为 3，求 x 的值 解(1)因为 m 2 2 ， 2 2 ，n(sin x，cos x)，mn. 所以 mn0，即 2 2 sin x 2 2 cos x0， 所以 sin xcos x，所以 tan x1. (2)因为|m|n|1，所以 mncos 3 1 2， 即 2 2 sin x 2 2 cos x1 2，所以 sin x 4 1 2， 因为 0 x 2，所以 4x 4 4， 所以 x 4 6，即 x 5 12. 利用数量积求向量夹角 典例 已知直线 y2x 上一点 P 的横坐标为 a， 直线外有两个点 A(1,1)， B(3
16、,3) 求使向量PA 与PB 夹角为钝角的充要条件 错解展示： 现场纠错 解错解中，cos 0 包含了， 即PA ，PB反向的情况，此时 a1， 故PA ，PB夹角为钝角的充要条件是 0a|b| 答案A 解析方法一|ab|ab|， |ab|2|ab|2. a2b22aba2b22ab. ab0.ab. 故选 A. 方法二利用向量加法的平行四边形法则 在ABCD 中，设AB a，AD b， 由|ab|ab|知，|AC |DB |， 从而四边形 ABCD 为矩形，即 ABAD，故 ab. 故选 A. 2(2017河北唐山一模)已知向量 a，b 满足 a(ab)2，且|a|1，|b|2，则 a 与
17、b 的夹角 为() A. 6 B. 2 C.5 6 D.2 3 答案D 解析由 a(ab)2，得 a2ab2， 即|a|2|a|b|cosa，b12cosa，b2. 所以 cosa，b1 2，所以a，b 2 3 ，故选 D. 3(2017豫南九校联考)已知向量 a(m,2)，b(2，1)，且 ab，则 |2ab| aab等于( ) A5 3 B1 C2D.5 4 答案B 解析ab，2m20，m1，则 2ab(0,5)， ab(3,1)，a(ab)13215， |2ab|5， |2ab| aab 5 51，故选 B. 4(2018乐山质检)在ABC 中，AB3，AC2，BC 10，则AB AC等
18、于( ) A3 2 B2 3 C.2 3 D.3 2 答案D 解析在ABC 中，cosBACAB 2AC2BC2 2ABAC 9410 232 1 4， AB AC|AB|AC|cosBAC321 4 3 2. 5(2017沈阳质检)在ABC 中，|AB AC|ABAC|，AB2，AC1，E，F 为 BC 的三等 分点，则AE AF等于( ) A.8 9 B.10 9 C.25 9 D.26 9 答案B 解析由|AB AC|ABAC|，化简得ABAC0，又因为 AB 和 AC 为三 角形的两条边，它们的长不可能为 0，所以 AB 与 AC 垂直，所以ABC 为直角三角形以 A 为原点，以 AC
19、 所在直线为 x 轴，以 AB 所在直线为 y 轴建立平面直角坐标系，如图所示， 则 A(0,0)，B(0,2)，C(1,0)不妨令 E 为 BC 的靠近 C 的三等分点，则 E 2 3， 2 3 ，F 1 3， 4 3 ， 所以AE 2 3， 2 3 ，AF 1 3， 4 3 ， 所以AE AF2 3 1 3 2 3 4 3 10 9 . 6(2017驻马店质检)若 O 为ABC 所在平面内任一点，且满足(OB OC )(OB OC 2OA ) 0，则ABC 的形状为() A正三角形B直角三角形 C等腰三角形D等腰直角三角形 答案C 解析因为(OB OC )(OB OC 2OA )0， 即C
20、B (ABAC)0，因为ABACCB， 所以(AB AC)(ABAC)0，即|AB|AC|， 所以ABC 是等腰三角形，故选 C. 7(2017全国)已知向量 a(1,2)，b(m,1)若向量 ab 与 a 垂直，则 m_. 答案7 解析a(1,2)，b(m,1)， ab(1m,21)(m1,3) 又 ab 与 a 垂直，(ab)a0， 即(m1)(1)320， 解得 m7. 8(2018银川质检)已知向量 a，b 的夹角为3 4 ，|a| 2，|b|2，则 a(a2b)_. 答案6 解析a(a2b)a22ab 22 22 2 2 6. 9(2017河南百校联盟联考)已知非零向量 a，b 满足
21、：2a(2ab)b(b2a)，|a 2b|3|a|， 则 a 与 b 的夹角为_ 答案90 解析由 2a(2ab)b(b2a)，得 4a2b2， 由|a 2b|3|a|，得 a22 2ab2b29a2， 则 ab0，即 ab，a 与 b 的夹角为 90. 10(2017巢湖质检)已知 a(，2)，b(3，2)，如果 a 与 b 的夹角为锐角，则的取值范 围是_ 答案 ，4 3 0，1 3 1 3， 解析a 与 b 的夹角为锐角， 则 ab0 且 a 与 b 不共线， 则 3240， 2620， 解得4 3或 01 3，所以的取值范围是 ，4 3 0，1 3 1 3，. 11(2018贵阳质检)
22、已知|a|4，|b|3，(2a3b)(2ab)61. (1)求 a 与 b 的夹角； (2)求|ab|； (3)若AB a，BCb，求ABC 的面积 解(1)因为(2a3b)(2ab)61， 所以 4|a|24ab3|b|261. 又|a|4，|b|3，所以 644ab2761， 所以 ab6， 所以 cos ab |a|b| 6 43 1 2. 又 0，所以2 3 . (2)|ab|2(ab)2|a|22ab|b|2 422(6)3213， 所以|ab| 13. (3)因为AB 与BC 的夹角2 3 ， 所以ABC2 3 3. 又|AB |a|4，|BC|b|3， 所以 SABC1 2|AB
23、 |BC |sinABC 1 243 3 2 3 3. 12(2017江苏)已知向量 a(cos x，sin x)，b(3， 3)，x0， (1)若 ab，求 x 的值； (2)记 f(x)ab，求 f(x)的最大值和最小值以及对应的 x 的值 解(1)因为 a(cos x，sin x)，b(3， 3)，ab， 所以 3cos x3sin x. 若 cos x0，则 sin x0，与 sin2xcos2x1 矛盾， 故 cos x0. 于是 tan x 3 3 . 又 x0，所以 x5 6 . (2)f(x)ab(cos x，sin x)(3， 3) 3cos x 3sin x 2 3cos
24、x 6 . 因为 x0，所以 x 6 6， 7 6 ， 从而1cos x 6 3 2 ， 于是，当 x 6 6，即 x0 时，f(x)取得最大值 3； 当 x 6，即 x 5 6 时，f(x)取得最小值2 3. 13(2018长沙质检)已知DEF 的外接圆的圆心为 O，半径 R4，如果OD DE DF 0， 且|OD |DF |，则向量EF 在FD 方向上的投影为_ 答案6 解析由OD DE DF 0，得DO DE DF . DO 经过 EF 的中点，DOEF. 连接 OF，|OF |OD |DF |4， DOF 为等边三角形，ODF60， DFE30，且 EF4sin 6024 3. 向量E
25、F 在FD 方向上的投影为|EF |cosEF， FD 4 3cos 1506. 14(2017广东七校联考)在等腰直角ABC 中，ABC90，ABBC2，M，N 为 AC 边 上的两个动点(M，N 不与 A，C 重合)，且满足|MN | 2，则BM BN 的取值范围为_ 答案 3 2，2 解析 不妨设点 M 靠近点 A，点 N 靠近点 C，以等腰直角三角形 ABC 的直角边所在直线为坐标轴 建立平面直角坐标系，如图所示， 则 B(0,0)，A(0,2)，C(2,0)， 线段 AC 的方程为 xy20(0 x2) 设 M(a,2a)，N(a1,1a)(由题意可知 0a1)， BM (a,2a)
26、，BN (a1,1a)， BM BN a(a1)(2a)(1a) 2a22a22 a1 2 23 2， 0a1， 由二次函数的知识可得BM BN 3 2，2. 15(2018湖北黄冈二模)已知平面向量 a，b，c 满足|a|b|1，a(a2b)，(c2a)(cb) 0，则|c|的最大值与最小值的和为() A0B. 3 C. 2D. 7 答案D 解析a(a2b)，a(a2b)0， 即 a22ab，又|a|b|1， ab1 2，a 与 b 的夹角为 60. 设OA a，OB b，OC c，以 O 为坐标原点，OB 的方向为 x 轴正方向建立如图所示的平面 直角坐标系，则 a 1 2， 3 2 ，b
27、(1,0) 设 c(x，y)，则 c2a(x1，y 3)， cb(x1，y) 又(c2a)(cb)0， (x1)2y(y 3)0. 即(x1)2 y 3 2 23 4， 点 C 的轨迹是以点 M 1， 3 2 为圆心， 3 2 为半径的圆 又|c| x2y2表示圆 M 上的点与原点 O(0,0)之间的距离，所以|c|max|OM| 3 2 ，|c|min|OM| 3 2 ， |c|max|c|min2|OM|212 3 2 2 7， 故选 D. 16(2017河北衡水模拟)已知在ABC 所在平面内有两点 P，Q，满足PA PC0，QA QB QC BC ，若|AB|4，|AC|2，S APQ2 3，则AB AC的值为_ 答案4 3 解析由PA PC 0 知，P 是 AC 的中点，由QA QB QC BC ，可得QA QB BC QC ， 即QA QB BQ ，即QA 2BQ ， Q 是 AB 边靠近 B 的三等分点， SAPQ2 3 1 2S ABC1 3S ABC， SABC3SAPQ32 32. SABC1 2|AB |AC|sin A1 242sin A2， sin A1 2，cos A 3 2 ， AB AC |AB |AC |cos A4 3.
