1、第第 2 讲讲导数的应用导数的应用 一、选择题 1.函数 f(x)xln x，则() A.在(0，)上递增B.在(0，)上递减 C.在 0，1 e 上递增D.在 0，1 e 上递减 解析f(x)的定义域为(0， )，f(x)ln x1，令 f(x)0 得 x1 e，令 f(x)0 得 0 x0. 答案C 3.已知函数 f(x)1 2x 3ax4，则“a0”是“f(x)在 R 上单调递增”的( ) A.充分不必要条件B.必要不充分条件 C.充要条件D.既不充分也不必要条件 解析f(x)3 2x 2a，当 a0 时，f(x)0 恒成立，故“a0”是“f(x)在 R 上单 调递增”的充分不必要条件.
2、 答案A 4.已知函数 yf(x)的图象是下列四个图象之一， 且其导函数 yf (x)的图象如图所示，则该函数的图象是() 解析由 yf(x)的图象知，yf(x)在1，1上为增函数，且在区间(1，0) 上增长速度越来越快，而在区间(0，1)上增长速度越来越慢. 答案B 5.设函数 f(x)1 2x 29ln x 在区间a1，a1上单调递减，则实数 a 的取值范 围是() A.(1，2B.(4， C.，2)D.(0，3 解析f(x)1 2x 29ln x，f(x)x9 x(x0)， 当 x9 x0 时，有 00 且 a13，解得 10 得 x1. 答案(1，) 7.已知 a0，函数 f(x)(x
3、22ax)ex，若 f(x)在1，1上是单调减函数，则实 数 a 的取值范围是_. 解析f(x)(2x2a)ex(x22ax)ex x2(22a)x2aex， 由题意当 x1，1时，f(x)0 恒成立， 即 x2(22a)x2a0 在 x1，1时恒成立. 令 g(x)x2(22a)x2a， 则有 g（1）0， g（1）0， 即 （1）2（22a）（1）2a0， 1222a2a0， 解得 a3 4. 答案 3 4， 8.(2017合肥模拟)若函数 f(x)1 3x 31 2x 22ax 在 2 3，上存在单调递增区 间，则实数 a 的取值范围是_. 解析对 f(x)求导，得 f(x)x2x2a
4、x1 2 2 1 42a. 当 x 2 3，时， f(x)的最大值为 f 2 3 2 92a. 令2 92a0，解得 a 1 9. 所以实数 a 的取值范围是 1 9，. 答案 1 9， 三、解答题 9.(2016北京卷)设函数 f(x)xea xbx，曲线 yf(x)在点(2，f(2)处的切线方程 为 y(e1)x4. (1)求 a，b 的值； (2)求 f(x)的单调区间. 解(1)f(x)xea xbx，f(x)(1x)eaxb. 由题意得 f（2）2e2， f（2）e1，即 2ea 22b2e2， ea 2be1， 解得 a2，be. (2)由(1)得 f(x)xe2 xex， 由 f
5、(x)e2 x(1xex1)及 e2x0 知，f(x)与 1xex1 同号. 令 g(x)1xex 1，则 g(x)1ex1. 当 x(，1)时，g(x)0，g(x)在(1，)上递增， g(x)g(1)1 在 R 上恒成立， f(x)0 在 R 上恒成立. f(x)的单调递增区间为(，). 10.设函数 f(x)1 3x 3a 2x 21. (1)若 a0，求函数 f(x)的单调区间； (2)设函数 g(x)f(x)2x，且 g(x)在区间(2，1)内存在单调递减区间，求实 数 a 的取值范围. 解(1)由已知得，f(x)x2axx(xa)(a0)， 当 x(，0)时，f(x)0； 当 x(0
6、，a)时，f(x)0. 所以函数 f(x)的单调递增区间为(，0)，(a，)， 单调递减区间为(0，a). (2)g(x)x2ax2，依题意，存在 x(2，1)， 使不等式 g(x)x2ax20 成立， 即 x(2，1)时，a x2 x max 2 2， 当且仅当 x2 x即 x 2时等号成立. 所以满足要求的实数 a 的取值范围是(，2 2). 11.(2017承德调考)已知 f(x)是可导的函数，且 f(x)f(x)对于 xR 恒成立，则 () A.f(1)e2 017f(0) B.f(1)ef(0)，f(2 017)e2 017f(0) C.f(1)ef(0)，f(2 017)e2 01
7、7f(0) D.f(1)ef(0)，f(2 017)e2 017f(0) 解析令 g(x)f（x） ex ， 则 g(x) f（x） exf（x）e xf（x） （ex） e2x f（x）f（x） ex 0， 所以函数 g(x)f（x） ex 在 R 上是单调减函数， 所以 g(1)g(0)，g(2 017)g(0)， 即f（1） e1 f（0） 1 ，f（2 017） e2 017 f（0） 1 ， 故 f(1)ef(0)，f(2 017)e2 017f(0). 答案D 12.(2016全国卷)若函数 f(x)x1 3sin 2xasin x 在(，)上单调递增， 则 a 的取值范围是()
8、A.1，1B. 1，1 3 C. 1 3， 1 3D. 1，1 3 解析f(x)x1 3sin 2xasin x， f(x)12 3cos 2xacos x 4 3cos 2xacos x5 3. 由 f(x)在 R 上单调递增，则 f(x)0 在 R 上恒成立. 令 tcos x，t1，1，则4 3t 2at5 30， 在 t1，1上恒成立. 4t23at50 在 t1，1上恒成立. 令 g(t)4t23at5， 则 g（1）3a10， g（1）3a10. 解之得1 3a 1 3. 答案C 13.已知函数 f(x)1 2x 24x3ln x 在区间t，t1上不单调，则实数 t 的取值 范围是
9、_. 解析由题意知 f(x)x43 x （x1） （x3） x ，由 f(x)0 得函数 f(x) 的两个极值点为 1 和 3，则只要这两个极值点有一个在区间(t，t1)内，函数 f(x)在区间t，t1上就不单调，由 t1t1 或 t3t1，得 0t1 或 2t0 时，f(x)的增区间为(0，1)， 减区间为(1，)； 当 a0 时，f(x)的增区间为(1，)，减区间为(0，1)； 当 a0 时，f(x)不是单调函数. (2)由(1)及题意得 f(2)a 21，即 a2， f(x)2ln x2x3，f(x)2x2 x . g(x)x3 m 2 2 x22x， g(x)3x2(m4)x2. g(x)在区间(t，3)上总不是单调函数， 即 g(x)0 在区间(t，3)上有变号零点. 由于 g(0)2， g（t）0. 当 g(t)0， 即 3t2(m4)t20 对任意 t1，2恒成立， 由于 g(0)0，故只要 g(1)0 且 g(2)0， 即 m5 且 m9，即 m0，即 m37 3 ， 所以37 3 m9， 即实数 m 的取值范围是 37 3 ，9 .
