1、第第 2 讲讲直接证明与间接证明直接证明与间接证明 一、选择题 1.若 a，bR，则下面四个式子中恒成立的是() A.lg(1a2)0B.a2b22(ab1) C.a23ab2b2D.a b1，a m1 m，b m m1，则以下结论正确的是() A.abB.a m m10(m1)， 1 m1 m 1 m m1，即 ab. 答案B 4.分析法又称执果索因法，若用分析法证明：“设 abc，且 abc0， 求证 b2ac 3a”索的因应是() A.ab0B.ac0 C.(ab)(ac)0D.(ab)(ac)0 解析由题意知 b2ac 3ab2ac3a2 (ac)2ac3a2 a22acc2ac3a2
2、0 2a2acc20 2a2acc20 (ac)(2ac)0(ac)(ab)0. 答案C 5.已知 p3q32，求证 pq2，用反证法证明时，可假设 pq2；已 知 a，bR，|a|b|40， 6 72 2 5. 答案6 72 2 5 7.用反证法证明命题“a，bR，ab 可以被 5 整除，那么 a，b 中至少有一个能 被 5 整除”，那么假设的内容是_. 答案都不能被 5 整除 8.下列条件：ab0，ab0，b0，a0，b0 成立，即 a，b 不为 0 且同号即可，故能 使b a a b2 成立. 答案 三、解答题 9.若 a，b，c 是不全相等的正数，求证： lgab 2 lgbc 2 l
3、gca 2 lg alg blg c. 证明a，b，c(0，)， ab 2 ab0，bc 2 bc0，ac 2 ac0. 又上述三个不等式中等号不能同时成立. ab 2 bc 2 ca 2 abc 成立. 上式两边同时取常用对数， 得 lg ab 2 bc 2 ca 2lg abc， lgab 2 lgbc 2 lgca 2 lg alg blg c. 10.设数列an是公比为 q 的等比数列，Sn是它的前 n 项和. (1)求证：数列Sn不是等比数列； (2)数列Sn是等差数列吗？为什么？ (1)证明假设数列Sn是等比数列，则 S22S1S3， 即 a21(1q)2a1a1(1qq2)， 因
4、为 a10，所以(1q)21qq2， 即 q0，这与公比 q0 矛盾， 所以数列Sn不是等比数列. (2)解当 q1 时，Snna1，故Sn是等差数列； 当 q1 时，Sn不是等差数列， 否则 2S2S1S3，即 2a1(1q)a1a1(1qq2)， 得 q0，这与公比 q0 矛盾. 综上，当 q1 时，数列Sn是等差数列；当 q1 时，数列Sn不是等差数列. 11.已知函数 f(x) 1 2 x ，a，b 是正实数，Af ab 2，Bf( ab)，Cf 2ab ab ， 则 A，B，C 的大小关系为() A.ABCB.ACB C.BCAD.CBA 解析ab 2 ab 2ab ab ，又 f(
5、x) 1 2 x 在 R 上是减函数，f ab 2 f( ab)f 2ab ab . 答案A 12.设 a，b，c 均为正实数，则三个数 a1 b，b 1 c，c 1 a( ) A.都大于 2B.都小于 2 C.至少有一个不大于 2D.至少有一个不小于 2 解析a0，b0，c0， a1 b b1 c c1 a a1 a b1 b c1 c 6，当且仅当 abc1 时， “”成立，故三者不能都小于 2，即至 少有一个不小于 2. 答案D 13.如果 a ab ba bb a，则 a，b 应满足的条件是_. 解析a ab b(a bb a) a(ab) b(ba) ( a b)(ab) ( a b
6、)2( a b). 当 a0，b0 且 ab 时，( a b)2( a b)0. a ab ba bba成立的条件是 a0，b0 且 ab. 答案a0，b0 且 ab 14.(2015安徽卷)设 nN*，xn是曲线 yx2n 21 在点(1，2)处的切线与 x 轴交 点的横坐标. (1)求数列xn的通项公式； (2)记 Tnx21x23x22n1，证明：Tn 1 4n. (1)解y(x2n 21)(2n2)x2n1， 曲线 yx2n21 在点(1， 2)处的切线斜率 为 2n2，从而切线方程为 y2(2n2)(x1). 令 y0，解得切线与 x 轴的交点的横坐标 xn1 1 n1 n n1，所以数列x n 的通项公式 xn n n1. (2)证明由题设和(1)中的计算结果知， Tnx21x23x22n1 1 2 2 3 4 2 2n1 2n 2 . 当 n1 时，T11 4. 当 n2 时， 因为 x22n1 2n1 2n 2 （2n1） 2 （2n）2 （2n1） 21 （2n）2 2n2 2n n1 n ， 所以 Tn 1 2 2 1 2 2 3 n1 n 1 4n.综上可得，对任意的 nN *，均有 Tn1 4n.
