1、第第 2 讲讲空间几何体的表面积与体积空间几何体的表面积与体积 一、选择题 1.(2015全国卷)九章算术是我国古代内容极为丰富的数 学名著，书中有如下问题：“今有委米依垣内角，下周八尺， 高五尺.问：积及为米几何？”其意思为：“在屋内墙角处堆 放米(如图，米堆为一个圆锥的四分之一)，米堆底部的弧长 为 8 尺，米堆的高为 5 尺，问米堆的体积和堆放的米各为多少？”已知 1 斛 米的体积约为 1.62 立方尺，圆周率约为 3，估算出堆放的米约有() A.14 斛B.22 斛 C.36 斛D.66 斛 解析设米堆的底面半径为 r 尺，则 2 r8，所以 r16 . 所以米堆的体积为 V1 4 1
2、 3r 25 12 16 2 5320 9 (立方尺). 故堆放的米约有320 9 1.6222(斛). 答案B 2.某几何体的三视图如图所示， 且该几何体的体积是 3， 则正视图中的 x 的值是 () A.2B.9 2 C.3 2 D.3 解析由三视图知，该几何体是四棱锥，底面是直角梯形，且 S底1 2(12)2 3.V1 3x33，解得 x3. 答案D 3.(2017合肥模拟)一个四面体的三视图如图所示， 则该四面体的表面积是() A.1 3B.2 3C.12 2D.2 2 解析四面体的直观图如图所示. 侧面 SAC底面 ABC，且SAC 与ABC 均为腰长是 2的 等腰直角三角形，SAS
3、CABBC 2，AC2. 设 AC 的中点为 O，连接 SO，BO，则 SOAC，又 SO平 面 SAC，平面 SAC平面 ABCAC， SO平面 ABC，又 BO平面 ABC，SOBO. 又 OSOB1，SB 2， 故SAB与SBC均是边长为 2的正三角形， 故该四面体的表面积为21 2 2 22 3 4 ( 2)22 3. 答案B 4.(2015全国卷)已知 A，B 是球 O 的球面上两点，AOB90，C 为该球 面上的动点.若三棱锥 OABC 体积的最大值为 36， 则球 O 的表面积为() A.36B.64C.144D.256 解析因为AOB 的面积为定值，所以当 OC 垂直于平面 A
4、OB 时，三棱锥 O ABC 的体积取得最大值.由1 3 1 2R 2R36， 得 R6.从而球 O 的表面积 S4 R2144. 答案C 5.(2017青岛模拟)如图，四棱锥 PABCD 的底面 ABCD 为平行 四边形，NB2PN，则三棱锥 NPAC 与三棱锥 DPAC 的体 积比为() A.12B.18 C.16D.13 解析设点P， N在平面ABCD内的投影分别为点P， N， 则PP平面ABCD， NN平面 ABCD，所以 PPNN， 则在BPP中，由 BN2PN 得NN PP 2 3. V三棱锥NPACV 三棱锥PABCV三棱锥NABC 1 3S ABCPP1 3S ABCNN 1
5、3S ABC(PPNN)1 3S ABC1 3PP 1 9S ABCPP，V三棱锥DPACV三棱锥PACD1 3S ACDPP， 又四边形 ABCD 是平行四边形，SABCSACD， V 三棱锥NPAC V三棱锥DPAC 1 3.故选 D. 答案D 二、填空题 6.现有橡皮泥制作的底面半径为 5，高为 4 的圆锥和底面半径为 2、高为 8 的圆 柱各一个.若将它们重新制作成总体积与高均保持不变，但底面半径相同的新 的圆锥和圆柱各一个，则新的底面半径为_. 解析设新的底面半径为 r，由题意得1 3r 24r281 35 2422 8，解得 r 7. 答案7 7.已知底面边长为 1，侧棱长为 2的
6、正四棱柱的各顶点均在同一个球面上，则 该球的体积为_. 解析依题意可知正四棱柱体对角线的长度等于球的直径，可设球半径为 R， 则 2R 1212（ 2）22， 解得 R1，所以 V4 3 R34 3 . 答案 4 3 8.(2017郑州质检)某几何体的三视图如图所示，则该几何体的体积为_. 解析由三视图可知，该几何体是一个底面半径为 1，高为 2 的圆柱和底面半径为 1，高为 1 的半圆锥拼成的组合体. 体积 V1221 2 1 31 2113 6 . 答案 13 6 三、解答题 9.已知一个几何体的三视图如图所示. (1)求此几何体的表面积； (2)如果点 P，Q 在正视图中所示位置，P 为
7、所在线段中点，Q 为顶点，求在几 何体表面上，从 P 点到 Q 点的最短路径的长. 解(1)由三视图知该几何体是由一个圆锥与一个圆柱组成的组合体， 其表面积 是圆锥的侧面积、圆柱的侧面积和圆柱的一个底面积之和. S圆锥侧1 2(2a)( 2a) 2a 2， S圆柱侧(2a)(2a)4a2， S圆柱底a2， 所以 S表 2a24a2a2( 25)a2. (2)沿 P 点与 Q 点所在母线剪开圆柱侧面，如图. 则 PQ AP2AQ2 a2（a）2a 12， 所以从 P 点到 Q 点在侧面上的最短路径的长为 a 12. 10.(2015全国卷)如图，长方体 ABCDA1B1C1D1中，AB 16，B
8、C10，AA18，点 E，F 分别在 A1B1，D1C1上，A1E D1F4.过点 E，F 的平面与此长方体的面相交，交线围 成一个正方形. (1)在图中画出这个正方形(不必说明画法和理由)； (2)求平面把该长方体分成的两部分体积的比值. 解(1)交线围成的正方形 EHGF 如图所示. (2)如图，作 EMAB，垂足为 M，则 AMA1E4，EB112，EMAA18. 因为四边形 EHGF 为正方形，所以 EHEFBC10. 于是 MH EH2EM26，AH10，HB6. 故 S 四边形 A1EHA1 2(410)856， S 四边形 EB1BH1 2(126)872. 因为长方体被平面分成
9、两个高为 10 的直棱柱， 所以其体积的比值为9 7 7 9也正确. 11.若某一几何体的正视图与侧视图均为边长是 1 的正方形，且其体积为1 2，则 该几何体的俯视图可以是() 解析若俯视图为 A，则该几何体为正方体，其体积为 1，不满足条件.若俯视 图为 B，则该几何体为圆柱，其体积为 1 2 2 1 4 ，不满足条件.若俯视图 为 C，则该几何体为三棱柱，其体积为1 2111 1 2，满足条件.若俯视图为 D，则该几何体为圆柱的1 4，体积为 1 41 4 ，不满足条件. 答案C 12.(2015全国卷)圆柱被一个平面截去一部分后与半球(半径为 r)组成一个几 何体，该几何体三视图中的正
10、视图和俯视图如图所示.若该几何体的表面积为 1620，则 r() A.1B.2C.4D.8 解析该几何体是一个半球与一个半圆柱的组合体，球 的半径为 r，圆柱的底面半径为 r，高为 2r，如图. 则表面积 S1 24r 2r2(2r)2r2r(54)r2， 又 S1620，(54)r21620，解得 r2. 答案B 13.圆锥被一个平面截去一部分，剩余部分再被另一个平面截去一部分后，与半 球(半径为 r)组成一个几何体， 该几何体三视图中的正视图和俯视图如图所示， 若 r1，则该几何体的体积为_. 解析根据三视图中的正视图和俯视图知，该几何体是由一个半径 r1 的半 球，一个底面半径 r1、高
11、 2r2 的1 4圆锥组成的，则其体积为 V 4 3r 31 2 1 3r 22r1 4 5 6 . 答案 5 6 14.四面体 ABCD 及其三视图如图所示， 平行于棱 AD， BC 的平面分别交四面体 的棱 AB，BD，DC，CA 于点 E，F，G，H. (1)求四面体 ABCD 的体积； (2)证明：四边形 EFGH 是矩形. (1)解由该四面体的三视图可知， BDDC，BDAD，ADDC，BDDC2，AD1， 又 BDDCD，AD平面 BDC， 四面体 ABCD 的体积 V1 3 1 2221 2 3. (2)证明BC平面 EFGH，平面 EFGH平面 BDCFG， 平面 EFGH平面 ABCEH，BCFG，BCEH， FGEH. 同理，EFAD，HGAD，EFHG， 四边形 EFGH 是平行四边形. 又AD平面 BDC， BC平面 BDC， ADBC， EFFG， 四边形 EFGH 是矩形.
