1、第第 3 讲讲函数的奇偶性与周期性函数的奇偶性与周期性 一、选择题 1.(2017肇庆三模)在函数 yxcos x，yexx2，ylg x22，yxsin x 中，偶 函数的个数是() A.3B.2C.1D.0 解析yxcos x 为奇函数，yexx2为非奇非偶函数，ylgx22与 yxsin x 为偶函数. 答案B 2.(2015湖南卷)设函数 f(x)ln(1x)ln(1x)，则 f(x)是() A.奇函数，且在(0，1)内是增函数 B.奇函数，且在(0，1)内是减函数 C.偶函数，且在(0，1)内是增函数 D.偶函数，且在(0，1)内是减函数 解析易知 f(x)的定义域为(1，1)，且
2、f(x)ln(1x)ln(1x)f(x)，则 yf(x)为奇函数， 又 yln(1x)与 yln(1x)在(0，1)上是增函数， 所以 f(x)ln(1x)ln(1x)在(0，1)上是增函数. 答案A 3.(2017赣中南五校联考)已知 yf(x)是奇函数， 当 x0 时， f(x)x2ax， 且 f(3) 6，则 a 的值为() A.5B.1C.1D.3 解析yf(x)是奇函数，且 f(3)6.f(3)6，则 93a6，解得 a 5. 答案A 4.已知函数 f(x)x ex1 ex，若 f(x1)x2B.x1x20 C.x1x2D.x210 时，f(x)0，f(x)在0，)上为增函数， 由
3、f(x1)f(x2)，得 f(|x1|)f(|x2|)， |x1|x2|，x21x22. 答案D 5.(2017西安一模)奇函数 f(x)的定义域为 R，若 f(x1)为偶函数，且 f(1)2， 则 f(4)f(5)的值为() A.2B.1C.1D.2 解析f(x1)为偶函数， f(x1)f(x1)，则 f(x)f(x2)， 又 yf(x)为奇函数，则 f(x)f(x)f(x2)，且 f(0)0. 从而 f(x4)f(x2)f(x)，yf(x)的周期为 4. f(4)f(5)f(0)f(1)022. 答案A 二、填空题 6.若 f(x)ln(e3x1)ax 是偶函数，则 a_. 解析由于 f(
4、x)f(x)， ln(e 3x1)axln(e3x1)ax， 化简得 2ax3x0(xR)，则 2a30， a3 2. 答案3 2 7.(2017合肥质检)若函数 f(x)(xR)是周期为 4 的奇函数，且在0，2上的解析 式为 f(x) x（1x） ，0 x1， sin x，10 的 x 的集合为_. 解析由奇函数 yf(x)在(0，)上递增，且 f 1 2 0，得函数 yf(x)在(， 0)上递增，且 f 1 2 0， f(x)0 时，x1 2或 1 2x0. 答案x| 1 2x 1 2 三、解答题 9.设 f(x)是定义域为 R 的周期函数，最小正周期为 2，且 f(1x)f(1x)，当
5、 1x0 时，f(x)x. (1)判定 f(x)的奇偶性； (2)试求出函数 f(x)在区间1，2上的表达式. 解(1)f(1x)f(1x)， f(x)f(2x). 又 f(x2)f(x)，f(x)f(x). 又 f(x)的定义域为 R， f(x)是偶函数. (2)当 x0，1时，x1，0， 则 f(x)f(x)x； 进而当 1x2 时，1x20， f(x)f(x2)(x2)x2. 故 f(x) x，x1，0， x，x（0，1） ， x2，x1，2. 10.已知函数 f(x) x22x，x0， 0，x0， x2mx，x0 是奇函数. (1)求实数 m 的值； (2)若函数 f(x)在区间1，a
6、2上单调递增，求实数 a 的取值范围. 解(1)设 x0， 所以 f(x)(x)22(x)x22x. 又 f(x)为奇函数，所以 f(x)f(x). 于是 x1， a21， 所以 1a3， 故实数 a 的取值范围是(1，3. 11.(2017石家庄一模)已知 f(x)是定义在 R 上的以 3 为周期的偶函数， 若 f(1)1， f(5)2a3 a1 ，则实数 a 的取值范围为() A.(1，4)B.(2，0) C.(1，0)D.(1，2) 解析f(x)是定义在 R 上的周期为 3 的偶函数， f(5)f(56)f(1)f(1)， f(1)1，f(5)2a3 a1 ， 2a3 a1 1，即a4
7、a10， 解得1a4. 答案A 12.对任意的实数 x 都有 f(x2)f(x)2f(1)，若 yf(x1)的图象关于 x1 对 称，且 f(0)2，则 f(2 015)f(2 016)() A.0B.2C.3D.4 解析yf(x1)的图象关于 x1 对称，则函数 yf(x)的图象关于 x0 对称， 即函数 f(x)是偶函数， 令 x1，则 f(12)f(1)2f(1)， f(1)f(1)2f(1)0，即 f(1)0， 则 f(x2)f(x)2f(1)0， 即 f(x2)f(x)， 则函数的周期是 2，又 f(0)2， 则 f(2 015)f(2 016)f(1)f(0)022. 答案B 13
8、.(2017东北四市联考)已知 f(x)是 R 上最小正周期为 2 的周期函数，且当 0 x2 时，f(x)x3x，则函数 yf(x)的图象在区间0，6上与 x 轴的交点个 数为_. 解析因为当 0 x2 时，f(x)x3x. 又 f(x)是 R 上最小正周期为 2 的周期函数，且 f(0)0， 则 f(6)f(4)f(2)f(0)0. 又 f(1)0， f(3)f(5)f(1)0， 故函数 yf(x)的图象在区间0，6上与 x 轴的交点有 7 个. 答案7 14.设 f(x)是(，)上的奇函数，f(x2)f(x)，当 0 x1 时，f(x)x. (1)求 f()的值； (2)当4x4 时，求 f(x)的图象与 x 轴所围成图形的面积. 解(1)由 f(x2)f(x)得，f(x4)f(x2)2f(x2)f(x)， 所以 f(x)是以 4 为周期的周期函数， 所以 f()f(14)f(4)f(4)(4)4. (2)由 f(x)是奇函数且 f(x2)f(x)， 得 f(x1)2f(x1)f(x1)，即 f(1x)f(1x). 故知函数 yf(x)的图象关于直线 x1 对称. 又当 0 x1 时，f(x)x，且 f(x)的图象关于原点成中心对称，则 f(x)的图象如 下图所示. 当4x4 时，f(x)的图象与 x 轴围成的图形面积为 S，则 S4SOAB 4 1 2214.
