课时作业(五十二)　直线与圆、圆与圆的位置关系.DOC

1、课时作业(五十二)直线与圆、圆与圆的位置关系 基础过关组 一、单项选择题 1直线 y3 4x 5 2和圆 x 2y24x2y200( ) A相交且过圆心B相交但不过圆心 C相离D相切 解析将圆的方程配方，得(x2)2(y1)225，圆心为(2，1)，半径 r5，将 x2 代入 y3 4x 5 2中， 得3 42 5 21，故直线过圆心，与圆相交。故选 A。 答案A 2圆 x2y24 与圆(x3)2(y4)249 的位置关系为() A内切B相交 C外切D相离 解析圆 x2y24 的圆心为(0,0)，半径为 2，圆(x3)2(y4)249 的圆心为(3,4)，半径为 7，圆心距 为 3242572

2、(等于两圆半径的差)，所以圆 x2y24 与圆(x3)2(y4)249 的位置关系是内切。故 选 A。 答案A 3过点 P(1,2)的直线与圆 x2y21 相切，且与直线 axy10 垂直，则实数 a 的值为() A0B4 3 C0 或4 3 D.4 3 解析当 a0 时，直线 axy10 即直线 y1，此时过点 P(1,2)且与直线 y1 垂直的直线为 x1， 并且直线 x1 与圆相切，满足题意，所以 a0 成立。当 a0 时，过点 P(1,2)且与直线 axy10 垂直的 直线斜率为1 a，则直线方程为 y2 1 a(x1)，即 xay2a10，再根据直线与圆相切，即圆心到直线的距 离为

3、1 可得|2a1| a211，解得 a 4 3。故选 C。 答案C 4已知直线 l 过点(2，1)，则“直线 l 的斜率为3 4”是“直线 l 被圆 C：(x1) 2(y3)24 截得的弦长 为 2 3”的() A充分不必要条件 B必要不充分条件 C充要条件 D既不充分也不必要条件 解析直线 l 被圆 C：(x1)2(y3)24 截得的弦长为 2 3圆心(1，3)到直线 l 的距离为 1。当直线 的斜率不存在时，显然符合要求；当直线斜率存在时，设斜率为 k，则 l：kxy2k10，由|k32k1| k21 1，得(k2)2k21，解得 k3 4，因此直线 l 被圆 C：(x1) 2(y3)24

4、 截得的弦长为 2 3k3 4或斜率 不存在。故选 A。 答案A 5与圆 C1：x2y26x4y120，C2：x2y214x2y140 都相切的直线有() A1 条B2 条 C3 条D4 条 解析C1：(x3)2(y2)21，C2：(x7)2(y1)236，|C1C2| 7321225，所以两圆相 内切，故公切线只有一条。 答案A 6在平面直角坐标系 xOy 中，以点(0,1)为圆心且与直线 xby2b10 相切的所有圆中，半径最大的 圆的标准方程为() Ax2(y1)24Bx2(y1)22 Cx2(y1)28Dx2(y1)216 解析解法一：由题意可得圆心(0,1)到直线 xby2b10 的

5、距离 d |1b| 1b2 1 2b 1b2 12b 2b 2，当且仅当 b1 时取等号。所以半径最大的圆的半径 r 2，此时圆的标准方程为 x 2(y1)2 2。故选 B。 解法二：由 xby2b10 可得该直线过定点 A(1,2)，设圆心为 B(0,1)，由题意可知要使所求圆的半 径最大，则 rmax|AB| 102212 2，所以半径最大的圆的标准方程为 x2(y1)22。故选 B。 答案B 二、多项选择题 7(2020山东德州二模)直线 ykx1 与圆 C：(x3)2(y3)236 相交于 A，B 两点，则 AB 的长度可 能为() A6B8 C12D16 解析圆 C 的圆心坐标为(3

6、,3)，半径为 6，所以弦长 AB 的最大值为圆 C 的直径 12。又直线 ykx1 过点 P(0， 1)， 当直线 CP 与直线 ykx1 垂直时， 弦长 AB 最短， 此时|AB|2 62|CP|22 62522 11， 所以 2 11|AB|12。故选 BC。 答案BC 8如图，已知 A(2,0)，B(1,1)，C(1,1)，D(2,0)， CD 是以 OD 为直径的圆上的一段圆弧，CB 是以 BC 为直径的圆上的一段圆弧，BA 是以 OA 为直径的圆上的 一段圆弧，三段弧构成曲线 W，则下述正确的是() A曲线 W 与 x 轴围成区域的面积等于 2 B曲线 W 上有 5 个整点(横、纵

7、坐标均为整数的点) C. CB 所在圆的方程为 x2(y1)21 D. CB 与BA 的公切线方程为 xy 21 解析如图所示，连接 BC，过点 C 作 CKx 轴于点 K，过点 B 作 BLx 轴于点 L。则曲线 W 和 x 轴围 成区域的面积 S2，故 A 错误；曲线 W 上有 A，B，C，D，M 这 5 个整点，故 B 正确；CB 所在圆的圆 心为(0,1)，半径为 1，故CB 所在圆的方程为 x2(y1)21，故 C 正确；设CB 与BA 的公切线方程为 ykxb， 由图知 k0，则 |kb| 1k21， |1b| 1k21，解得 k1，b 21，即 xy 21，故 D 正确。故选 B

8、CD。 答案BCD 三、填空题 9以点(2，1)为圆心且与直线 3x4y50 相切的圆的标准方程为_。 解析圆心到直线的距离为|32415| 5 3，则所求圆的标准方程为(x2)2(y1)29。 答案(x2)2(y1)29 10(2020天津高考)已知直线 x 3y80 和圆 x2y2r2(r0)相交于 A，B 两点。若|AB|6，则 r 的 值为_。 解析依题意得，圆心(0,0)到直线 x 3y80 的距离 d8 24，因此 r 2d2 |AB| 2 225，又 r0，所 以 r5。 答案5 11(2021福建龙岩教学质检)已知直线 l 的方程为xy30(R)，则直线 l 恒过定点_，若 直

9、线 l 与圆 C：x2y22x0 相交于 A，B 两点，且满足ABC 为等边三角形，则_。 解析将直线 l 的方程变形为(x3)y0，可得出 x30， y0， 解得 x3， y0， 则直线 l 恒过定点(3,0)。 圆 C 的标准方程为(x1)2y21，圆心 C 的坐标为(1,0)，半径为 1。由于ABC 为等边三角形，则圆心 C 到 直线 l 的距离 d1sin 60 3 2 。由点到直线的距离公式可得 d |2| 21 3 2 ，解得 39 13 。 答案(3,0) 39 13 四、解答题 12已知圆 C 经过点 A(2，1)和直线 xy1 相切，且圆心在直线 y2x 上。 (1)求圆 C

10、 的方程； (2)已知直线 l 经过原点，并且被圆 C 截得的弦长为 2，求直线 l 的方程。 解(1)设圆心的坐标为 C(a，2a)， 则 a222a12|a2a1| 2 。 化简，得 a22a10，解得 a1。 所以 C(1，2)， 半径 r|AC| 122212 2。 所以圆 C 的方程为(x1)2(y2)22。 (2)当直线 l 的斜率不存在时，直线 l 的方程为 x0，此时直线 l 被圆 C 截得的弦长为 2，满足条件。 当直线 l 的斜率存在时，设直线 l 的方程为 ykx，由题意得 |k2| 1k21，解得 k 3 4，所以直线 l 的方 程为 y3 4x。综上所述，直线 l 的

11、方程为 x0 或 3x4y0。 13已知点(0,1)，(32 2，0)，(32 2，0)在圆 C 上。 (1)求圆 C 的方程； (2)若圆 C 与直线 xya0 交于 A，B 两点，且 OAOB，求 a 的值。 解(1)由题意可设圆 C 的圆心为(3，t)， 则有 32(t1)2(2 2)2t2，解得 t1。 则圆 C 的圆心为(3,1)，半径为 3021123， 所以圆 C 的方程为(x3)2(y1)29。 (2)由 xya0， x32y129， 消去 y，得 2x2(2a8)xa22a10， 此时判别式5616a4a2。 设 A(x1，y1)，B(x2，y2)， 则有 x1x24a， x

12、1x2a 22a1 2 ， 由于 OAOB，可得 OA OB x1x2y1y20， 又 y1x1a，y2x2a， 所以 2x1x2a(x1x2)a20， 由得 a1，满足0，故 a1。 素养提升组 14(2021湖南郴州教学质量监测)唐代诗人李颀的诗古从军行开头两句说：“白日登山望烽火，黄 昏饮马傍交河。”诗中隐含着一个有趣的数学问题“将军饮马”问题，即将军在观望烽火之后从山脚下 某处出发，先到河边饮马后再回军营，怎样走才能使总路程最短？在平面直角坐标系中，设军营所在区域为 x2y22，若将军从点 A(3,0)处出发，河岸线所在直线方程为 xy4，并假定将军只要到达军营所在区域即 回到军营，则

13、“将军饮马”的最短总路程为() A2 5B. 17 2 C. 17D3 2 解析由题意知点 A(3,0)和军营所在区域在河岸线的同侧，设点 A(3,0)关于直线 xy4 的对称点为 A(a，b)，AA的中点为 M a3 2 ，b 2 ，则 a3 2 b 24， b0 a31， 解得 a4， b1， 即 A(4,1)。如图，设将军饮马 点为 P，到达军营区点为 B，则总路程为|PB|PA|PB|PA|，要使路程最短，只需|PB|PA|最短，即 点 A到军营的最短距离。A到区域 x2y22 的最短距离为|OA| 2 17 2。故选 B。 答案B 15(多选)已知圆 C1：x2y2r2(r0)，圆

14、C2：(xa)2(yb)2r2交于不同的 A(x1，y1)，B(x2，y2)两点， 下列结论正确的有() Aa(x1x2)b(y1y2)0 B2ax12by1a2b2 Cx1x2a Dy1y12b 解析由题意，圆 C2的方程可化为 x2y22ax2bya2b2r20，两圆的方程相减可得直线 AB 的 方程为 2ax2bya2b20，即 2ax2bya2b2，分别把 A(x1，y1)，B(x2，y2)两点代入可得 2ax12by1 a2b2,2ax22by2a2b2，两式相减可得 2a(x1x2)2b(y1y2)0，即 a(x1x2)b(y1y2)0，所以 A，B 正确；由圆的性质可得，线段 A

15、B 与线段 C1C2互相平分，所以 x1x2a，y1y2b，所以 C 正确，D 不正确。 故选 ABC。 答案ABC 16已知圆 M 的半径为 5，圆心 M 在 y 轴的正半轴上，直线 l1：x1，l2：4x3y10 被圆 M 截得 的弦长分别为 d1，d2，且 d12d2。 (1)求圆 M 的方程； (2)是否存在与直线 l1，l2，x 轴，y 轴都相切的圆 G？若存在，请求出所有满足条件的圆 G 的方程；若不 存在，请说明理由。 解(1)设圆心 M(0，m)，m0， 则直线 l1被圆 M 截得的弦长为 d12 514，所以 d22。 又因为圆心 M 到直线 l2的距离为|3m1| 5 ，

16、所以 d225 3m1 5 2， 所以 225 3m1 5 2，解得 m3。 故圆 M 的方程为 x2(y3)25。 (2)解法一：与 x 轴、y 轴都相切的圆，其圆心在直线 l3：yx(x0)或直线 l4：yx(x0)上。 当圆心在直线 l3上时，设圆心 G(t，t)(t0)， 则圆心 G 到直线 l1的距离 h1|t1|。 圆心 G 到直线 l2的距离 h21 5|t1|。 由 h1h2得 t1，此时 h1h20，舍去。 当圆心在直线 l4上时，设圆心 G(t，t)(t0)，则圆心 G 到直线 l1的距离 h1|t1|， 圆心 G 到直线 l2的距离 h21 5|7t1|。 由 h1h2得

17、 t1 2或 t2。 当 t2 时，圆心为 G(2,2)，不合题意，舍去； 当 t1 2时，圆心 G 1 2， 1 2 ，符合题意。 综上，满足题意的圆 G 有且仅有一个， 其方程为 x1 2 2 y1 2 21 4。 解法二：因为圆 G 与 y 轴和 l1：x1 都相切， 所以圆心坐标应为 G 1 2，b，半径 r1 2， 又因为圆 G 与 x 轴相切， 所以|b|r，即 b1 2。 若圆 G 为 x1 2 2 y1 2 21 4时， G 到 l2的距离 d| 41 23 1 21| 4232 1 10 1 2， 所以此时圆 G 与 l2不相切； 若圆 G 为 x1 2 2 y1 2 21 4时， G 到 l2的距离 d| 41 23 1 2 1| 4232 1 2r， 所以此时圆 G 与 l2相切， 故圆 G 存在，且方程为 x1 2 2 y1 2 21 4。