1、1.5.2全称量词命题与存在量词命题的否定全称量词命题与存在量词命题的否定 学习目标1.通过实例总结含有一个量词的命题与它们的否定在形式上的变化规律.2.能正 确地对含有一个量词的命题进行否定 导语 同学们，不知道大家在生活中有没有这样的经历，比如说，某天你惹父母生气了，你父母可 能会说：“天天惹我生气，被你气死算了”，但实际上你也许有过让你父母高兴的时刻；或 者说，你某次成绩考的很好，你父母会说：“宝贝儿，你总是那么优秀”，这也许忽略了之 前某次考的不好的时候，而数学的神奇就在于它总能用符号语言描述生活中的实例，那就让 我们开始今天的探究之旅！ 一、全称量词命题的否定 问题 1写出下列命题的
2、否定： (1)所有的矩形都是平行四边形； (2)每一个素数都是奇数； (3)xR，x|x|0. 它们与原命题在形式上有什么变化？ 提示上面三个命题都是全称量词命题，即具有“xM，p(x)”的形式其中命题(1)的否 定是“并非所有的矩形都是平行四边形”，也就是说，存在一个矩形不是平行四边形； 命题(2)的否定是“并非每一个素数都是奇数”，也就是说，存在一个素数不是奇数； 命题(3)的否定是“并非所有的 xR，x|x|0”，也就是说，xR，x|x|0. 当 ab0 时，a2b20， 命题的否定是假命题 三、全称量词命题与存在量词命题的综合应用 例 3命题“存在 x1，使得 2xa1，使得 2xa1
3、，使得 2xa3”是真命题， 因为对任意 x1，都有 2xa2a， 所以 2a3， 所以 a1. 延伸探究若把本例中的“假命题”改为“真命题”，求实数 a 的取值范围 解由题意知：“存在 x1，使得 x1，所以 ay(或 aymax(或 ay(或 aymin(或 aymax) 跟踪训练 3已知命题 p：xx|3x2，都有 xx|a4xa5，且綈 p 是假命 题，求实数 a 的取值范围 解因为綈 p 是假命题，所以 p 是真命题， 又xx|3x2，都有 xx|a4xa5， 所以x|3x2x|a4xa5， 则 a43， a52， 解得3a1， 即实数 a 的取值范围是3a1. 1知识清单： (1)
4、全称量词命题、存在量词命题的否定 (2)命题真假的判断 (3)全称量词命题与存在量词命题的综合应用 2方法归纳：转化法 3常见误区：否定不唯一，命题与其否定的真假性相反 1命题“xR，|x|x20”的否定是() AxR，|x|x20BxR，|x|x20 CxR，|x|x20DxR，|x|x20 答案C 解析此全称量词命题的否定为xR，|x|x20,2x25x1”的否定是() Ax0,2x25x1Bx0,2x25x1 Cx0,2x25x1Dx0,2x25x1 答案A 解析存在量词命题的否定是全称量词命题 3已知命题 p：实数的平方是非负数，则下列结论正确的是() A命题綈 p 是真命题 B命题
5、p 是存在量词命题 C命题 p 是全称量词命题 D命题 p 既不是全称量词命题也不是存在量词命题 答案C 解析命题 p：实数的平方是非负数，是真命题，故綈 p 是假命题，命题 p 是全称量词命题， 故选 C. 4若命题“xR，x24xa0”为假命题，则实数 a 的取值范围是_ 答案a|a4 解析命题xR，x24xa0 为假命题， xR，x24xa0 是真命题， 方程 x24xa0 有实数根，则(4)24a0，解得 a4. 课时对点练课时对点练 1命题 p：“存在实数 m，使方程 x2mx10 有实数根”，则 p 的否定是() A存在实数 m，使方程 x2mx10 无实数根 B不存在实数 m，使
6、方程 x2mx10 无实数根 C对任意的实数 m，方程 x2mx10 无实数根 D至多有一个实数 m，使方程 x2mx10 有实数根 答案C 解析命题 p 是存在量词命题，其否定形式为全称量词命题，即对任意的实数 m，方程 x2 mx10 无实数根 2设 xZ，集合 A 是奇数集，集合 B 是偶数集若命题 p：xA,2xB，则() A綈 p：xA,2xBB綈 p：xA,2xB C綈 p：xA,2xBD綈 p：xA,2xB 答案D 解析命题 p：xA,2xB 是一个全称量词命题，命题 p 的否定：xA,2xB. 3设非空集合 P，Q 满足 PQP，则() AxQ，有 xPBxQ，有 xP CxQ
7、，使得 xPDxP，使得 xQ 答案B 解析因为 PQP，所以 PQ，所以 A，C，D 错误，B 正确 4下列命题中的假命题是() AxR，|x|10BxN*，(x1)20 CxR，|x|0 恒成立，故是真命题；B 中命题是全称量词 命题，当 x1 时，(x1)20，故是假命题；C 中命题是存在量词命题，当 x0 时，|x|0， 故是真命题；D 中命题是存在量词命题，当 x1 时， 1 |x|12，故是真命题 5(多选)关于命题 p：“xR，x210”的叙述，正确的是() A綈 p：xR，x210 B綈 p：xR，x210 Cp 是真命题，綈 p 是假命题 Dp 是假命题，綈 p 是真命题 答
8、案AC 解析命题 p：“xR，x210”的否定是“xR，x210”所以 p 是真命题， 綈 p 是假命题 6(多选)对下列命题的否定说法正确的是() Ap：能被 2 整除的数是偶数；p 的否定：存在一个能被 2 整除的数不是偶数 Bp：有些矩形是正方形；p 的否定：所有的矩形都不是正方形 Cp：有的三角形为正三角形；p 的否定：所有的三角形不都是正三角形 Dp：nN,2n100；p 的否定：nN,2n100 答案ABD 解析“有的三角形为正三角形”为存在量词命题，其否定为全称量词命题：“所有的三角 形都不是正三角形”，故选项 C 错误 7某中学开展小组合作学习模式，高一某班某组王小一同学给组内
9、王小二同学出题如下：若 命题“xR，x22xm0”是假命题，求 m 的取值范围王小二略加思索，反手给了王 小一一道题：若命题“xR，x22xm0”是真命题，求 m 的取值范围你认为，两位 同学题中 m 的取值范围是否一致？_.(填“是”“否”中的一个) 答案是 解析因为命题“xR， x22xm0”的否定是“xR， x22xm0”， 而命题“ xR，x22xm0”是假命题，则其否定“xR，x22xm0”为真命题，所以两位 同学题中 m 的取值范围是一致的 8已知命题 p：存在 xR，x22xa0.若命题綈 p 是假命题，则实数 a 的取值范围是 _ 答案a|a1 解析命题綈 p 是假命题， p
10、是真命题， 即存在 xR，x22xa0 为真命题， 44a0， a1. 9写出下列命题的否定： (1)有些四边形有外接圆； (2)末位数字为 9 的整数能被 3 整除； (3)xR，x210 恒成立， 綈 p 为假命题 (2)綈 p：x，yR，x2y22x4y50. x2y22x4y5(x1)2(y2)2， 当 x0，y0 时，x2y22x4y50 成立， 綈 p 为真命题 11下列命题的否定是真命题的为() Ap1：每一个合数都是偶数 Bp2：两条平行线被第三条直线所截内错角相等 Cp3：全等三角形的周长相等 Dp4：所有的无理数都是实数 答案A 解析若判断某命题的否定的真假，只要判断出原命
11、题的真假即可，它们的真假性始终相 反因为 p1为全称量词命题，且是假命题，所以綈 p1是真命题命题 p2，p3，p4均为真命题， 即綈 p2，綈 p3，綈 p4均为假命题 12(多选)下列命题的否定是假命题的是() A等圆的面积相等，周长相等 BxN，x21 C任意两个等边三角形都是相似的 D有些梯形的对角线相等 答案ACD 解析A 的否定：存在一对等圆，其面积不相等或周长不相等，假命题； B 的否定：xN，x20，xa10 为假命题，则实数 a 的取值范围是() Aa1Ba1Ca0，xa10 为假命题， 所以綈 p：x0，xa10 是真命题， 即 x1a， 所以 1a0，即 a1. 所以 a
12、 的取值范围为 a1. 14已知任意 0 x13，存在1 4mx 22，使得 x1x2，则实数 m 的取值范围是_ 答案m1 4 解析任意 0 x13，存在1 4mx 22，使得 x1x2等价于(x1)min(x2)min， 得 01 4m，所以 m 1 4. 15命题“xR，nN*，使得 n2x1”的否定形式是() AxR，nN*，使得 n2x1 BxR，nN*，使得 n2x1 CxR，nN*，使得 n2x1 DxR，nN*，使得 n2x1 答案D 解析由题意可知，全称量词命题“xR，nN*，使得 n2x1”的否定形式为存在 量词命题“xR，nN*，使得 n0， x1x24m0， m0， x1x2m0， m1 4. (1)若命题 p 真，q 假，则 m0， m1 4， m0. (2)若命题 p 假，q 真，则 m0， m1 4， m1 4. 综合(1)(2)可知，m 的取值范围为 m|m0，或 m 1 4.
