1、空间向量及其线性运算 问题问题1 1 我们已经学习过平面向量的概念和线性运算，你能我们已经学习过平面向量的概念和线性运算，你能 类比平面向量，给出空间向量的概念和线性运算吗？类比平面向量，给出空间向量的概念和线性运算吗？ 平面向量的概念平面向量的概念空间向量的概念空间向量的概念 追问追问(1) (1) 平面向量是什么？你能类比平面向量给平面向量是什么？你能类比平面向量给 出空间向量的概念吗？出空间向量的概念吗？ 平面内平面内，既有大小又有 方向的量，称为平面向量， 平面向量的大小叫做向量的 长度或模， 记作 或|a|. 空间中空间中，既有大小又有 方向的量，称为空间向量， 空间向量的大小叫做向
2、量的 长度或模， 记作 或|a|. 追问追问(2) (2) 如何表示平面向量？你能类比平面向量的表示，给出空如何表示平面向量？你能类比平面向量的表示，给出空 间向量的表示吗？间向量的表示吗？ 平面向量的表示法平面向量的表示法空间向量的表示法空间向量的表示法 (1)有向线段 (1)有向线段 A (起点) B (终点) a (2)字母 a，b，c， (3)坐标表示：a(x，y) (2)字母 a，b，c， (3)坐标表示：a(x，y，z) a c b 印刷体： a 手写体： 追问追问(3) (3) 从平面向量的概念出发，我们又学习了不少新的概念从平面向量的概念出发，我们又学习了不少新的概念. .你你
3、 还记得有哪些吗？你能把这些概念推广到空间向量中吗？还记得有哪些吗？你能把这些概念推广到空间向量中吗？ 平面向量的相关概念平面向量的相关概念 零向量零向量： 单位向量单位向量： 相等向量相等向量： 相反向量相反向量： 共线向量共线向量： 平面向量的相关概念平面向量的相关概念空间向量的相关概念空间向量的相关概念 模为 0 的向量，记作 0 ；零向量的方向任意； 模为 1 的向量； 模和方向都相同的两个向量，记作 ab； 模相同，方向相反的两个向量，记作ab ； 零向量零向量： 单位向量单位向量： 相等向量相等向量： 相反向量相反向量： 平面向量的相关概念平面向量的相关概念空间向量空间向量的相关概
4、念的相关概念 共线向量共线向量：方向相同方向相同或相反相反 的两个非零向量，叫做共线 向量或平行向量，记作 ab； 规定，零向量和任意向 量共线. 共线向量共线向量：若表示空间向量 的有向线段所在直线平行直线平行或 重合重合，则这些向量叫做共线 向量或平行向量，记作 ab； 规定，零向量和任意向 量共线. 问题问题2 2 在学习完平面向量的相关概念以后，我们研究了平面向量的在学习完平面向量的相关概念以后，我们研究了平面向量的 线性运算线性运算. .你能类比平面向量，研究空间向量的线性运算吗？你能类比平面向量，研究空间向量的线性运算吗？ 追问追问(1)(1) 平面向量的线性运算有哪些？我们如何研
5、究这些运平面向量的线性运算有哪些？我们如何研究这些运 算？算？ 平面向量的线性运算有加法加法、减法减法和数乘运算数乘运算.先研究它们的定义及 运算法则，再研究它们的运算律. 追问追问(2)(2) 平面向量的加法、减法和数乘运算的定义及运算法则分别平面向量的加法、减法和数乘运算的定义及运算法则分别 是什么？你能类比它们得出空间向量的加法、减法和数乘运算的定义是什么？你能类比它们得出空间向量的加法、减法和数乘运算的定义 及运算法则吗？及运算法则吗？ 平面向量的线性运算平面向量的线性运算 (1) (1) 加、减运算：加、减运算：求两个平面 向量的和与差的运算. 法则法则：三角形和平行四边形 法则；
6、b 平面向量的线性运算平面向量的线性运算 实数与平面向 量a的积是一个向量，记作a， 其长度和方向规定如下： |a|a|； 若 0，a与a的方向相同； 若 0，a与a的方向相同； 若 0，a与a的方向相同； 若 0，a与a的方向相反； 若0，a0. (2) (2) 数乘运算：数乘运算： 追问追问(3)(3) 平面向量线性运算的运算律有哪些？你能类比它们得出空间向平面向量线性运算的运算律有哪些？你能类比它们得出空间向 量线性运算的运算律吗？量线性运算的运算律吗？ 平面向量的线性运算平面向量的线性运算空间向量的线性运算空间向量的线性运算 (3)(3)运算律：运算律： 交换律： a + bb + a
7、； 结合律： a + (b + c) (a + b) + c， (a)()a； 分配律： (+)aa + a， (a+b)a + b. 平面向量的线性运算平面向量的线性运算空间向量的线性运算空间向量的线性运算 (3)(3)运算律：运算律：(3)(3)运算律：运算律： 交换律： a + bb + a； 结合律： a + (b + c) (a + b) + c， (a)()a； 分配律： (+)aa + a， (a+b)a + b. 交换律： a + bb + a； 结合律： a + (b + c) (a + b) + c， (a)()a； 分配律： (+)aa + a， (a+b)a + b.
8、追问追问(4)(4) 空间向量线性运算运算律的证明，和平面向量有哪些空间向量线性运算运算律的证明，和平面向量有哪些 异同？异同？ 平面向量的线性运算平面向量的线性运算空间向量的线性运算空间向量的线性运算 交换律： a + bb + a； 结合律： a + (b + c) (a + b) + c， (a)()a； 分配律： (+)aa + a， (a+b)a + b. (3)(3)运算律：运算律：(3)(3)运算律：运算律： a + (b + c) (a + b) + c 交换律： a + bb + a； 结合律： a + (b + c) (a + b) + c， (a)()a； 分配律： (+
9、)aa + a， (a+b)a + b. 追问追问(5)(5) 如何证明空间向量的加法结合律呢？如何证明空间向量的加法结合律呢？ a c b 追问追问(5)(5) 如何证明空间向量的加法结合律呢？如何证明空间向量的加法结合律呢？ a c b 在平行六面体ABCDABCD中，记 则 a + (b + c) (a + b ) + c 所以有：a + (b + c)(a + b ) + c. a， b， c . 一般地，对于三个不共面的向量 a， b，c，以任意点 O为起点， a，b，c为 邻边作平行六面体，则 a，b，c的和等 于以O为起点的平行六面体对角线所表 示的向量. 追问(5) 如何证明空
10、间向量的加法结合律呢？ a c b 问题问题3 3 平面向量的线性运算可以解决平面中的很多问题，空间向平面向量的线性运算可以解决平面中的很多问题，空间向 量的线性运算是否可以解决空间中的相关问题呢？量的线性运算是否可以解决空间中的相关问题呢？ 追问追问(1)(1) 你还记得两个向量共线的充要条件吗？你还记得两个向量共线的充要条件吗？ 这个充要条件对于空间向量也成立吗？这个充要条件对于空间向量也成立吗？ 平面向量共线的充要条件平面向量共线的充要条件空间向量空间向量共线的充要条件共线的充要条件 对任意两个平面向量 a， b(b0)，ab的充要条件是 存在实数， 使ab . 对任意两个空间向量 a，
11、 b(b0)，ab的充要条件是 存在实数， 使ab . 追问追问(1)(1) 你还记得两个向量共线的充要条件吗？你还记得两个向量共线的充要条件吗？ 这个充要条件对于空间向量也成立吗？这个充要条件对于空间向量也成立吗？ 如右图，O是直线 l上一点，在直 线 l上取非零向量 a，我们把与向量 a平 行的非零向量称为直线 l的方向向量. 对于直线 l上任意一点 P，由向量共线的充要条件可知， 存在唯一确定的实数 ，使得 = a. 也就是说，直线可 以由其上一点和它的方向向量确定. 追问追问(2)(2) 任意两个空间向量都可以通过平移，移到同任意两个空间向量都可以通过平移，移到同 一平面内，三个向量呢
12、？一平面内，三个向量呢？ 任意两个空间向量总是共面的，但三个空间向量既 可能共面，也可能不共面. a b . O cp 如何判断三个向量是否共面呢？ 追问(3) 你还记得平面向量基本定理的内容吗？它和 三个空间向量共面有什么关系？ a b . O p pxa +yb 平面向量基本定理平面向量基本定理 若向量 a，b是平面内 两个不共线的向量，则内任 意一个向量 p，存在唯一的有 序实数对 (x，y) ，使得： pxa +yb. 追问(3) 你还记得平面向量基本定理的内容吗？它和 三个空间向量共面有什么关系吗？ a b . O p 若若 p在在内，则有内，则有 pxa +yb； p 若若 pxa
13、 +yb，则，则 p在在内内. 平面向量基本定理平面向量基本定理 若向量 a，b是平面内 两个不共线的向量，则内任 意一个向量 p，存在唯一的有 序实数对 (x，y) ，使得： pxa +yb. 两个向量 a，b不共线， 那么向量 p与向量 a ，b共面 的充要条件是存在唯一的有序 实数对 (x，y)，使得： pxa +yb. 空间向量共面的充要条件空间向量共面的充要条件 A BC 问题4 如右图，已知平行四边形ABCD， 过平面AC外一点O作射线OA ，OB ，OC ， OD，在四条射线上分别取点E ，F ，G ，H， 使 . 求证： E ，F ，G ，H 四点共面. 追问(1) 如何证明E
14、 ，F ，G ，H 四点共面？ 追问(2) 如何证明这三个向量共面？ 根据向量共面的充要条件，用 表示 即可. 可以通过证明 这四点构成的 三个向量，如 共面，来证明这 四点共面. 追问(3) 如何实现上述表示？ 把根据三角形法则，把 分别 用 等向量来表示；再利用 已知条件，将它们转化为用 来表示的形式. 而由平行四边形ABCD，得到 ，从而可以 得到 的关系，进一步得到 的关系，最终用 表示 . 证明:因为四边形ABCD是平行四边形， 所以 . 因此， 因此， 共面，即 四点共面. 因为 ，所以 选择恰当的选择恰当的向量表示向量表示问题中问题中 的的几何元素几何元素，通过，通过向量运算向量
15、运算得出得出 几何元素的几何元素的关系，关系，是用向量解决是用向量解决 立体几何问题的常用方法立体几何问题的常用方法. 问题问题5 5 回顾回顾本节课本节课的探究过程，你学到了什么？的探究过程，你学到了什么？ 1 空间向量及线性运算 (1) 空间向量的概念：空间向量的概念：定义；表示法；相关概念定义；表示法；相关概念. (2) 空间向量的线性运算：空间向量的线性运算： 加、减、数乘运算及其运算律加、减、数乘运算及其运算律. (3) 线性运算的应用：线性运算的应用： 直线的方向向量；向量共面直线的方向向量；向量共面. 2 类比平面向量的研究方法 类比猜想证明或转化推广 课后作业课后作业 1.本节教材P5-P6课后练习； 2.复习平面向量的数量积运算相关内容.
