1、3.1.2函数的表示法函数的表示法 第第 1 课时课时函数的表示法函数的表示法(1) 学习目标1.了解函数的三种表示方法及各自的优缺点.2.能用图象法表示函数并能通过函 数图象得到函数的值域 导语 如果一个人极有才华，我们会用“才高八斗”来形容；如果一个人兼有文武才能，我们会用 “出将入相”来形容；如果一个人是稀有而可贵的人才，我们会用“凤毛麟角”来形容；如 果一个人品行卓越，天下绝无仅有，我们会用“斗南一人”来形容，那么对于不同呈现出来 的函数，是否也会有不同的表示方法呢？让我们一起来探究吧 一、函数的表示法 问题结合初中所学以及上节课的几个问题，你能总结出函数的几种表示方法？ 提示解析法：
2、就是用数学表达式表示两个变量之间的对应关系；列表法：就是列出表格来 表示两个变量之间的对应关系；图象法：就是用图象表示两个变量之间的对应关系 例 1中秋节到了，小明想买几块月饼，已知每块月饼的单价是 6 元，买 x(x1,2,3,4,5,6) 块月饼需要 y 元，你能用函数的三种表示方法表示函数 yf(x)吗？ 解函数的定义域是数集1,2,3,4,5,6，用解析法可将函数表示为 f(x)6x，x1,2,3,4,5,6 列表法可将函数表示为 月饼数 x123456 钱数 y61218243036 图象法可将函数表示为 反思感悟理解函数表示法的三个关注点 (1)列表法、图象法、解析法均是函数的表示
3、法，无论是哪种方式表示函数，都必须满足函数 的概念 (2)列表法更直观形象，图象法从形的角度描述函数，解析法从数的角度描述函数 (3)函数的三种表示法互相兼容或补充， 许多函数是可以用三种方法表示的， 但在实际操作中， 仍以解析法为主 跟踪训练 1已知函数 f(x)x1，x1,2,3,4， 试分别用图象法和列表法表示函数 yf(x) 解用图象法表示函数 yf(x)，如图所示 用列表法表示函数 yf(x)，如表所示 x1234 y2345 二、函数的图象 例 2作出下列函数的图象： (1)y2x1，x0,2； (2)y2 x，x2，)； (3)yx22x，x2,2 解(1)当 x0,2时，图象是
4、直线 y2x1 的一部分 如图所示 (2)当 x2，)时，图象是反比例函数 y2 x的一部分如图所示 (3)当2x2 时，图象是抛物线 yx22x 的一部分如图所示 反思感悟作函数 yf(x)图象的方法 (1)若 yf(x)是已学过的函数，则描出图象上的几个关键点，直接画出图象即可，有些可能需 要根据定义域进行取舍 (2)若 yf(x)不是所学过的函数之一，则要按：列表；描点；连线三个基本步骤作出 y f(x)的图象 跟踪训练 2作出下列函数的图象： (1)y1x(xZ)； (2)yx24x3，x1,3 解(1)因为 xZ，所以图象为直线 y1x 上的孤立点，其图象如图所示 (2)yx24x3
5、(x2)21，当 x1,3 时，y0； 当 x2 时，y1，其图象如图所示 三、求简单函数的值域 例 3求下列函数的值域： (1)y2x1，x1,2,3,4,5； (2)y x1； (3)yx24x6，x1,5； (4)y3x2 x1 . 解(1)y2x1，且 x1,2,3,4,5， y3,5,7,9,11 函数的值域为3,5,7,9,11 (2) x0， x11.函数的值域为1，) (3)配方得 y(x2)22.x1,5，画函数图象如图所示，由图知，2y11，即函数的值 域为2,11 (4)y3x2 x1 3x15 x1 3 5 x13， 函数的值域为(，3)(3，) 反思感悟求函数值域的方
6、法 (1)观察法：对于一些比较简单的函数，其值域可通过观察得到 (2)配方法：此方法是求“二次函数类”值域的基本方法，即把函数通过配方转化为能直接看 出其值域的方法 (3)图象法：利用已知一次函数、二次函数或反比例函数的图象写出函数的值域 (4)分离常数法： 此方法主要是针对有理分式， 即将有理分式转化为“反比例函数类”的形式， 便于求值域 (5)换元法：对于一些无理函数(如 yaxb cxd)，通过换元把它们转化为有理函数，然后 利用有理函数求值域的方法，间接地求解原函数的值域 跟踪训练 3求下列函数的值域： (1)yx22x3(5x2)； (2)yx 2x1. 解(1)x5，2在对称轴 x
7、1 的左侧， x5，2时，抛物线上升 当 x5 时，ymin12，当 x2 时，ymax3. yx22x3(5x2)的值域是12,3 (2)设 u 2x1，则 u0，x1u 2 2 . y1u 2 2 u1 2(u1) 2. u0，y1 2， yx 2x1的值域为 1 2，. 1知识清单： (1)函数的表示法 (2)函数的图象及其应用 (3)求函数的值域 2方法归纳：观察法、配方法、换元法、分离常数法、数形结合法 3常见误区：求函数值域时忽略函数的定义域 1函数 yf(x)的图象如图所示，则 f(x)的定义域是() ARB(，1)(1，) C(，0)(0，)D(1,0) 答案C 解析由题图知
8、x0，即 x(，0)(0，) 2函数 yx22x 的定义域为0,1,2,3，那么其值域为() A1,0,3B0,1,2,3 Cy|1y3Dy|0y3 答案A 解析由对应关系 yx22x 得， 00,11,20,33， 所以值域为1,0,3 3函数 f(x) 1 x22x2(xR)的值域是( ) A0,1B0,1) C(0,1D(0,1) 答案C 解析因为 x22x2(x1)211， 所以 0 1 x1211， 所以函数的值域为(0,1 4已知函数 f(x)由下表给出，则 f(3)_. x1x222x4 f(x)123 答案3 解析当 2x4 时，f(x)3， f(3)3. 课时对点练课时对点练
9、 1购买某种饮料 x 听，所需钱数为 y 元若每听 2 元，用解析法将 y 表示成 x(x1,2,3,4) 的函数为() Ay2x By2x(xR) Cy2x(x1,2,3，) Dy2x(x1,2,3,4) 答案D 解析题中已给出自变量的取值范围，x1,2,3,4 2函数 yx 2 |x|的图象的大致形状是( ) 答案C 3函数 y x1的值域为() A1，)B0，) C(，0D(，1 答案B 解析由题意得，x10，则有 y0，所以 B 正确 4李明在放学回家的路上，开始时和同学边走边讨论问题，走得比较慢，后来他们索性停下 来将问题彻底解决，再后来他加快速度回到了家下列图象中与这一过程吻合得最
10、好的是 () 答案D 解析由题意可知，李明离家的距离随时间的变化先是变小，且变化得比较慢，后来保持不 变，再后来继续变小，且变化得比较快，直至为 0，只有 D 选项符合题意 5(多选)已知函数 f(x1)x23x，且 f(a)2，则 a 的值为() A3B2 C1D0 答案AB 解析由 x23x2 得 x1 或 x2，所以 a112 或 a123. 6若一系列函数的解析式相同，值域相同，但定义域不同，则称这些函数为“孪生函数”函 数解析式为 y2x21，值域为1,7的“孪生函数”共有() A10 个B9 个 C8 个D4 个 答案B 解析由 2x211，得 x11，x21；由 2x217，得
11、x32，x42，所以定义域为 2 个元素的集合有 4 个，定义域为 3 个元素的集合有 4 个，定义域为 4 个元素的集合有 1 个， 因此共有 9 个“孪生函数” 7已知 xQ 时，f(x)1；x 为无理数时，f(x)0，我们知道函数表示法有三种：列表法， 图象法，解析法，那么该函数 yf(x)应用_表示(填序号) 答案 解析因为 Q 和无理数的元素无法具体表示，所以列表法，图象法都无法建立 x 和 y 之 间的对应关系，所以不能表示函数 yf(x) 利用解析法表示为 f(x) 1，xQ， 0，x 为无理数. 8试写出一个与函数 yx2定义域和值域都相同的函数_ 答案y(x1)2(答案不唯一
12、) 解析函数 yx2与 y(x1)2的定义域和值域都相同 9求下列函数的值域： (1)y2x1 x3 ； (2)y2x x1. 解(1)y2x1 x3 2x37 x3 2 7 x3， 显然 7 x30，所以 y2， 故函数的值域为(，2)(2，) (2)设 t x1，则 t0，且 xt21， 所以 y2(t21)t2 t1 4 215 8 ， 由 t0，结合函数的图象可得原函数的值域为 15 8 ， . 10某问答游戏的规则是：共 5 道选择题，基础分为 50 分，每答错一道题扣 10 分，答对不 扣分试分别用列表法、图象法、解析法表示一个参与者的得分 y 与答错题目道数 x(x0,1,2,3
13、,4,5)之间的函数关系 解(1)列表法，列出参赛者得分 y 与答错题目道数 x(x0,1,2,3,4,5)之间的函数关系为 x012345 y50403020100 (2)图象法，画出参赛者得分 y 与答错题目道数 x(x0,1,2,3,4,5)之间的函数关系如图 (3)解析法，参赛者得分 y 与答错题目道数 x(x0,1,2,3,4,5)之间的函数关系为 y5010 x， x0,1,2,3,4,5 11一水池有 2 个进水口，1 个出水口，进、出水速度如图甲、乙所示某天从 0 点到 6 点， 该水池的蓄水量如图丙所示(至少打开一个水口) 给出以下 3 个论断： 0 点到 3 点只进水不出水
14、； 3 点到 4 点不进水只出水； 4 点到 6 点不进水也不出水 则正确论断的个数是() A0B1 C2D3 答案B 解析由题意可知在 0 点到 3 点这段时间，每小时进水量为 2，即 2 个进水口同时进水且不 出水，故正确；从题干丙图可知 3 点到 4 点水量减少了 1，所以应该是有一个进水口进水， 同时出水口也出水，故错；当两个进水口同时进水，出水口也同时出水时，水量也保持不 变，故错 12已知陈校长某日晨练时，行走的时间 x 与离家的直线距离 y 之间的函数图象如图，若用 黑点表示陈校长家的位置，则陈校长晨练所走的路线可能是() 答案D 解析由函数图象可知，在行走过程中，有一段路程离陈
15、校长家距离不变，除 D 选项外，其 余都不符合，故排除 A，B，C. 13已知函数 f(x)，g(x)分别由下表给出，则满足 f(g(x)g(f(x)的 x 的值为_ x1234 f(x)1313 g(x)3232 答案2 或 4 解析当 x1 时，f(g(1)f(3)1，g(f(1)g(1)3. 当 x2 时，f(g(2)f(2)3，g(f(2)g(3)3. 当 x3 时，f(g(3)f(3)1，g(f(3)g(1)3. 当 x4 时，f(g(4)f(2)3，g(f(4)g(3)3. 满足 f(g(x)g(f(x)的 x 的值只有 2 或 4. 14在实数的原有运算中，我们定义新运算“*”如下：当 ab 时，a*ba；当 a1)？ 若存在，求出 m 的值；若不存在，说明理由 解存在理由如下： f(x)1 2x 2x3 2 1 2(x1) 21 的对称轴为 x1，顶点为(1,1)且开口向上 m1，当 x1，m时，y 随 x 的增大而增大， 要使 f(x)的定义域和值域都是1，m，则有 f11， fmm， 1 2m 2m3 2m，即 m 24m30， m3 或 m1(舍) 存在实数 m3 满足条件
