1、4.4对数函数对数函数 4.4.1对数函数的概念对数函数的概念 学习目标1.理解对数函数的概念.2.会求与对数函数有关的定义域问题.3.了解对数函数在 生产实际中的简单应用 导语 通过前面的学习，我们知道了“对数源出于指数”，然而对数的发明先于指数，对数的出现 是基于当时天文、航海等发展的需要，大家知道，我国在探索太空、大洋等方面取得了很大 的成就，比如 2020 年 11 月 24 日，我国成功发射嫦娥五号探测器，12 月 17 日凌晨嫦娥五号 携带月球土壤样品安全着陆， 大家知道吗？指挥本次月球探索的是一位 24 岁的小姑娘， 同学 们好好学习吧，说不定下一个指挥探索别的星球的人就是你哦
2、一、对数函数的概念及应用 问题我想问一下同学们，今天你向家长要零花钱了吗？构造向家长要零花钱的函数 y2x. x12310 y2481 0241 048 5761 073 741 824 在学习指数函数时，我们想知道的是，第几天我们能获得多少零花钱，而现在，我们知道的 是，当你获得 1 024 元的时候，是在第 10 天，同学们可以大胆猜测一下，你在第几天可以获 得 1 048 576 元和 1 073 741 824 元？ 提示根据指数与对数的相互转化，我们知道 y2x可以化为 xlog2y，根据对数的运算，我 们便可得到是在第 20 天和 30 天获得上述钱数 知识梳理 一般地，函数 yl
3、ogax(a0，且 a1)叫做对数函数，其中 x 是自变量，函数的定义域是(0， ) 注意点： (1)对数函数的系数为 1；(2)真数只能是一个 x；(3)底数与指数函数的范围相同；(4)对于函数 y2log2x 等这一类的函数，根据对数的运算法则，它可以化为对数函数，因为它与对数函数 y 1 2 2 logx有相同的定义域和对应关系，故函数相等 例 1(1)给出下列函数： y 2 2 3 log x；ylog3(x1)； ylog(x1)x；ylogx. 其中是对数函数的有() A1 个B2 个C3 个D4 个 答案A 解析只有第个满足对数函数的定义 (2)已知对数函数 f(x)的图象过点
4、P(8,3)，则 f 1 32 _. 答案5 解析设对数函数 f(x)logax(a0，且 a1)， f(x)的图象过点 P(8,3)， 3loga8，a38，a2. f(x)log2x， f 1 32 log2 1 32log 22 55. 反思感悟判断一个函数是否为对数函数的方法 判断一个函数是对数函数必须是形如 ylogax(a0，且 a1)的形式，即必须满足以下条件： (1)系数为 1. (2)底数为大于 0 且不等于 1 的常数 (3)对数的真数仅有自变量 x. 跟踪训练 1(1)下列函数是对数函数的是_(填序号) yloga(5x)(a0 且 a1)；y 3 1 logx ； yl
5、og3(x)；ylogx3(x0 且 x1) 答案 解析和中自变量不是 x，所以不是对数函数，中底数是 x，不是常数；符合对数函 数的特征，所以是对数函数 (2)已知函数 f(x)是对数函数，且 f 2 2 1 2，则 f(2 2)_. 答案 3 2 解析设 f(x)logax(a0，且 a1)， 因为 f 2 2 1 2，所以 a2，f(x)log 2x， 所以 f(2 2)3 2. 二、求函数的定义域 例 2函数 ylg 1x 1x的定义域为_ 答案(1,1) 解析因为 ylg 1x 1x，所以 1x 1x0，解得1x0， 3x10， 3x11， 解得1 3x0， x11， 9x20， 解
6、得1x0 或 00，得 x1. 3某种动物的数量 y(单位：只)与时间 x(单位：年)的函数关系式为 yalog2(x1)，若这种 动物第 1 年有 100 只，则第 7 年它们的数量为() A300 只B400 只C500 只D600 只 答案A 解析由题意，知 100alog2(11)，得 a100， 则当 x7 时，y100log2(71)1003300. 4对数函数 f(x)过点(9,2)，则 f 1 3 _. 答案1 解析设 f(x)logax(a0 且 a1)，loga92， a29，a3(a3 舍去)， f(x)log3x， f 1 3 log31 31. 课时对点练课时对点练
7、1函数 ylog(a3)(7a)中，实数 a 的取值范围是() A(，7)B(3,7) C(3,4)(4,7)D(3，) 答案C 解析由 a30， a31， 7a0， 得 3a1Bx|x1 Cx|1x0 x|x0 x|x1， MNx|1x0 且 a1)， 对数函数的图象过点 M(9，2)，loga92， 即 a 29，解得 a1 3.f(x) 1 3 log x. 5设函数 f(x) x21，x1， lg x，x1， 则 f(f(10)的值为() Alg 101B1 C2D0 答案C 解析f(f(10)f(lg 10)f(1)1212. 6“每天进步一点点”可以用数学来诠释，假如你今天的数学水
8、平是 1，以后每天比前一天 增加千分之五，则经过 y 天之后，你的数学水平 x 与 y 之间的函数关系式是() Aylog1.05xBylog1.005x Cylog0.95xDylog0.995x 答案B 解析由题意得 x(15)y1.005y，化为对数函数得 ylog1.005x. 7函数 f(x)logaxa22a3 为对数函数，则 a_. 答案3 解析依题意有 a22a30， a0， a1， 解得 a3. 8某公司为了业务发展制定了一个激励销售人员的奖励方案，在销售额为 x 万元时，奖励 y 万元若公司拟定的奖励方案为 y2log4x2，某业务员要得到 5 万元奖励，则他的销售额 应为
9、_万元 答案128 解析由题意得 52log4x2， 即 7log2x，得 x128. 9求下列函数的定义域： (1)ylog5(1x)； (2)ylog(3x1)5； (3)yln4x x3 . 解(1)要使函数式有意义，需 1x0，解得 x1， 所以函数 ylog5(1x)的定义域是x|x0， 3x11， 解得 x1 3，且 x 2 3， 所以函数 ylog(3x1)5 的定义域是 x|x 1 3，且 x 2 3. (3)要使函数式有意义，需 4x0， x30， 解得 x4，且 x3， 所以函数 yln4x x3 的定义域是x|x0， 1x0， 解得1x0， log2x20， 解得 x2，
10、且 x3. 12下列函数相等的是() Aylog3x2与 y2log3x Bylg 10 x与 y10lg x Cylog3x2与 y2log3|x| Dylg x 与 yln x 答案C 解析由函数的三要素可知，只有 C 成立 13设 f(x)是对数函数，且 f( 3 4)2 3，那么 f( 2)等于( ) A.1 2 B.1 4 C1 2 D1 4 答案C 解析设 f(x)logax(a0 且 a1) 由 f( 3 4)2 3，解得 a 1 2，f(x) 1 2 log x. f( 2) 1 2 log21 2. 14函数 f(x)lg 2kx2kx3 8 的定义域为 R，则实数 k 的取值范围是_ 答案0,3) 解析依题意，得 2kx2kx3 80 的解集为 R， 即不等式 2kx2kx3 80 恒成立， 当 k0 时，3 80 恒成立，k0 满足条件 当 k0 时，则 k0， k242k3 80， 解得 0k0，且 a1)当 x0,2时，函数 f(x)恒有意义，求实数 a 的取值范围 解设 t(x)3ax， a0，且 a1， t(x)3ax 为减函数， 则当 x0,2时，t(x)的最小值为 32a. 当 x0,2时，f(x)恒有意义， 即当 x0,2时，3ax0 恒成立 32a0，a0 且 a1，0a1 或 1a3 2， 实数 a 的取值范围为(0,1) 1，3 2 .
